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南山中学2022届高三数学（理）模拟试题
命题人：汪琨 雍华 审题人：王怀修
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1. 已知集合A＝{x|x2－2x＞0}，B＝{x|－＜x＜}，则( )
A．A∩B＝ B．A∪B＝R C．B⊆A D．A⊆B
2.下列有关命题的说法正确的是( )．
A．“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分条件
B．命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为真命题
C．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为：“若x2＝1，则x≠1”
D．命题“∃x∈R，使得：x2＋x＋1<0”的否定是：“∀x∈R，均有x2＋x＋1<0”
3. 若，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
5． 函数的大致图像为( )
6.设，其中变量满足条件，若的最小值为3，则的值为（ ）
A．
1
B．
2
C．
3
D．
4
7.在△ABC中，，则△ABC的外形是( )
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．正三角形
8.已知函数若方程f(x)＝x＋a在区间[－2，4]内有3个不等的实根，则实数a的取值范围是( )
A．{a|－2<a<0} B．{a|－2<a≤0}
C．{a|－2<a<0或1<a<2} D．{a|－2<a<0或a＝1}
9. 已知定义在R上的可导函数的导函数为，满足，且为偶函数，，则不等式的解集为( )
A．(－2，＋∞) B．(0，＋∞) C．(1，＋∞) D．(4，＋∞)
10.在实数集R中定义一种运算“*”,对任意为唯一确定的实数,且具有性质:
(1)对任意
(2)对任意
(3)对任意
关于函数的性质,有如下说法:
①函数f(x)的最小值为3;
②函数f(x)为奇函数;
③函数f(x)的单调递增区间为.
其中全部正确说法的个数为 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．
11.计算得的值为 .
12. 已知正项等比数列的前项和，若 ．
13.已知函数的图像在点A(，)处的切线斜率为3，则的值是________．
14.设，若的最小值为 .
15.有下列4个命题：
①若函数定义域为R,则是奇函数;
②若函数是定义在R上的奇函数,,,则图像关于x=1对称;
③已知x1和x2是函数定义域内的两个值(x1<x2),若,则在定义域内单调递减;
④若是定义在R上的奇函数, 也是奇函数,则是以4为周期的周期函数.
其中,正确命题是 （把全部正确结论的序号都填上）.
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．
16.(本小题满分12分)已知p:函数在上单调递增,q:关于的不等式(m∈R)的解为R.若“p或q”为真命题,“p且q”为假命题,求实数m的取值范围.
17.（本小题满分12分）已知向量,
(1)当x∈[0,]时，求函数y＝f(x)的值域；
(2)锐角三角形ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若
18. （本小题满分12分）已知等差数列各项均为正数，，且成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)设且当时，，为数列的前项和，证明：.
19.(本小题满分12分)某厂生产某种产品的年固定成本为250万元,每生产x千件,需另投入成本C(x)万元.当年产量不足80千件时,(万元),当年产量不小于80千件时,(万元),每件商品售价为万元,通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完.
(1)写出年利润L(x) (万元)关于年产量x (千件)的函数解析式;
(2)当年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大？并求出最大利润.
20.(本小题满分13分)已知二次函数.
(1)若,且对任意时都有成立,求实数x的取值范围;
(2)若对,,方程有两个不等实根,证明必有一根属于.
21. （本小题满分14分）已知函数函数在[1，＋∞)上为增函数，且.
(1)求θ得值
(2)当m＝0时，求函数的单调区间和极值；
(3)若在[1，e]上至少存在一个x0，使得成立，求m的取值范围．
南山中学2022级高三一诊模拟考试
数学(理科)答案
一.选择题(本大题共10个小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
B
B
D
D
A
D
D
B
B
二.填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分)
11. 20. 12. 31. 13. 14. 9. 15. ①④.
三.解答题(本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明证明过程或推演步骤.)
16.函数的对称轴为,故为真时,.…………………3
q为真时,.……………………………………………6
∵“p或q”为真命题, “p且q”为假命题,∴p与q一真一假.
若p真q假,则且或,∴;……………………………………………………8
若p假q真,则且,∴.…………………………………………………10
综上,实数m的取值范围是或.……………………………………………………12
17.（1），所以
，…3分
即，………………………………………………………………4分
当时，，，
所以当时，函数的值域是；……………………………6分
（2）由，得，又，
所以，………………………………………………………………………8分
因此”, ……9分
由余弦定理，得， ……11分
所以：。……………………………………………………………………12分
18.设数列公差为，由题意知..............................................................................1“
19.(1), ……………………………………3
即.…………………………………………………………6
(2)当时,,当时, .…………………8
当时,. ………………………10
综上,当x=100千件时,利润最大,最大利润等于1000万元. …………………………………………12
20.(1).
令,则对任意时都有成立,
于是可得.
所以,x的取值范围是.…………………………………………………………………………6
(2)令,则g(x)是二次函数,
,
又,所以g(x)=0有两个根,且必有一根属于,
于是命题得证. ………………………………………………………………………………………13
21.(1)由于，又
只需，且 所以.......................3
(2)当m=0时，（x>0）........................4
当0<x<2e-1时，当x>2e-1时,
....................................8
(3) 方法一：.....................9
............................11
.........................................................12
.......................................................................14
方法二：
依据m的取值，争辩函数内的最值，确定的正负，从而确定的单调性，从而确定函数内的最大值。
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