2020年人教A版数学理(福建用)课时作业：第六章-第四节基本不等式.docx

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课时提升作业(三十八)
一、选择题
1.设0<a<b，则下列不等式中正确的是( )
(A)a<b<< (B)a<<<b
(C)a<<b< (D)<a<<b
2.(2021·福州模拟)若x>0，则的最小值是( )
(A)2 (B)4 (C) (D)2
3.(2022·湖北高考)设a,b,c∈R，则“abc=1”是“”的( )
(A)充分条件但不是必要条件
(B)必要条件但不是充分条件
(C)充分必要条件
(D)既不充分也不必要的条件
4.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x=( )
(A)20 (B)10 (C)16 (D)8
5.(2021·济宁模拟)已知a>0,b>0，且2是2a与b的等差中项，则的最小值为( )
(A) (B) (C)2 (D)4
6.(2022·陕西高考)小王从甲地到乙地来回的时速分别为a和b(a<b)，其全程的平均时速为v，则( )
(A)a<v< (B)v=
(C)<v< (D)v=
7．已知x,y均为正数，且x≠y，则下列四个数中最大的一个是( )
(A) (B)
(C) (D)
8.已知a>0,b>0，a+b=2,则的最小值是( )
(A) (B)4 (C) (D)5
9.若a>0,b>0,且a+b=1，则ab+的最小值为( )
(A)2 (B)4 (C) (D)
10.(2021·余姚模拟)已知f(x)=log2(x-2)，若实数m,n满足f(m)+f(2n)=3，则m+n的最小值为( )
(A)5 (B)7 (C)8 (D)9
二、填空题
11.若正数x,y满足x+4y=4，则xy的最大值为______.
12.设a>0,b>0，若lg a和lg b的等差中项是0，则的最小值是______.
13.设x≥0，则函数y=的最小值为______.
14.(2021·厦门模拟)若当x>1时不等式恒成立，则实数m的取值范围是______.

三、解答题
15.(力气挑战题)东海水晶制品厂去年的年产量为10万件，每件水晶产品的销售价格为100元，固定成本为80元.从今年起，工厂投入100万元科技成本，并方案以后每年比上一年多投入100万元科技成本.估量产量每年递增1万件，每件水晶产品的固定成本g(n)与科技成本的投入次数n的关系是若水晶产品的销售价格不变，第n次投入后的年利润为f(n)万元.
(1)求出f(n)的表达式.
(2)求从今年算起第几年利润最高？最高利润为多少万元？

答案解析
1.【解析】选B.方法一：令a=1，b=4，
则=2,,∴.
方法二：∵0<a<b,∴a2<ab,∴a<,a+b<2b,
∴<b,∴.
【变式备选】下列结论中正确的是( )
(A)若3a+3b≥则必有a>0,b>0
(B)要使成立，必有a>0,b>0
(C)若a>0,b>0，且a+b=4，则
(D)若ab>0，则
【解析】选D.当a,b∈R时，确定有3a>0,3b>0，必有3a+3b≥，A错.要使成立，只要即可，这时只要a,b同号，B错.当a>0,b>0，且a+b=4时，则，由于所以C错.当a>0,b>0时，a+b≥2，所以，而当a<0,b<0时，明显有所以当>0时，确定有故D正确.
2.【解析】选D.由基本不等式可得当且仅当即x=时取等号，故最小值是.
3.【解析】选A.由于
可知当abc=1时，可推出反之，如a=1,b=4,c=9,满足，但abc=1不成立.
4.【解析】选A.该公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，则需要购买次，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，故一年的总运费与总存储费用之和为万元.
而当且仅当即x=20时,一年的总运费与总存储费用之和最小.
5.【解析】选B.由已知可得2a+b=4，因此4≥,所以0<ab≤2，故即的最小值为，当且仅当a=1,b=2时取等号.
6.【解析】选A. 设甲乙两地的路程为s，则来回时间分别是所以平均速度是由于a<b，所以即a<v<.
7.【解析】选A.取x=1,y=2，可得因此最大的是，故选A.
8.【解析】选C.由已知可得≥，当且仅当时取等号，即的最小值是.
9.【思路点拨】由已知利用基本不等式得ab的取值范围而后换元利用函数的单调性求解.
【解析】选C.由a+b=1，a>0,b>0得

令ab=t,则0<t≤,
则，结合函数的图象可知t+在(0,］上单调递减，故当t=时,t+有最小值为+4=.
10.【解析】选B.由已知得log2(m-2)+log2(2n-2)=3，即log2［(m-2)(2n-2)］=3，
因此于是
所以
当且仅当
即m=4时等号成立，此时m+n取最小值7.
11.【解析】由基本不等式可得x+4y≥2=4，于是4≤4，xy≤1，当且仅当x=2,y=时取等号，故xy的最大值为1.
答案:1
12.【解析】由已知得lg a+lg b=0，即ab=1，于是当且仅当a=b=1时取等号，故的最小值是2.
答案:2
13.【解析】y=
=
=，而x≥0，
所以由基本不等式可得x+1+
≥，当且仅当x=1时取等号，故函数的最小值等于9.
答案：9
14.【思路点拨】关键是用基本不等式求的最小值，可将其分子依据分母x-1进行配方，然后分解为3项，再利用基本不等式求最值.
【解析】由于当且仅当x=3时取等号，所以要使不等式恒成立，应有m2+1<6，解得
答案:
15.【解析】(1)第n次投入后，产量为(10＋n)万件，销售价格为100元，固定成本为元，科技成本投入为100n万元.
所以，年利润为f(n)＝(10＋n)(100－)－100n(n∈N*).
(2)由(1)知f(n)＝(10＋n)(100－)－100n
＝1 000－80()≤520(万元).
当且仅当，
即n＝8时，利润最高，最高利润为520万元.
所以，从今年算起第8年利润最高，最高利润为520万元.
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