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D5 单元综合
【数学理卷·2021届辽宁省沈阳二中高三上学期期中考试（202211）】21.（本题满分12分）
如图，、、…、 是曲线：上的个点，点（）在轴的正半轴上，且是正三角形（是坐标原点）．
（1）写出、、；
（2）求出点（）的横坐标关于的表达式并证明.
【学问点】单元综合D5
【答案解析】（1）（2）
（1）
（2）依题意，得，由此及得
，即．
由（Ⅰ）可猜想：．
下面用数学归纳法予以证明：
（1）当时，命题明显成立；
（2）假定当时命题成立，即有，则当时，由归纳假设及
得，即
，
解之得（不合题意，舍去），
即当时，命题成立．由（1）、（2）知：命题成立．
【思路点拨】构造新数列求出表达式，利用数学归纳法证明结论。
【数学理卷·2021届辽宁省沈阳二中高三上学期期中考试（202211）】15. 若数列是等差数列，对于，则数列也是等差数列。类比上述性质，若数列是各项都为正数的等比数列，对于，则= 时，数列也是等比数列.
【学问点】单元综合D5
【答案解析】 在类比等差数列的性质推理等比数列的性质时，我们一般的思路有：由加法类比推理为乘法，由减法类比推理为除法，由算术平均数类比推理为几何平均数等，故我们可以由数列{an}是等差数列，则当bn=（a1+a2+..+an），时，数列{dn}也是等差数列．类比推断：若数列{cn}是各项均为正数的等比数列，则当dn=时，数列{dn}也是等比数列．故答案为
【思路点拨】本题考查的学问点是类比推理，在类比等差数列的性质推理等比数列的性质时，我们一般的思路有：由加法类比推理为乘法，由减法类比推理为除法，由算术平均数类比推理为几何平均数等，故我们可以由数列{an}是等差数列，则当bn=（a1+a2+..+an），时，数列{bn}也是等差数列．类比上述性质，若数列{cn}是各项均为正数的等比数列，则当dn=时，数列{bn}也是等比数列．
【数学理卷·2021届湖南省岳阳一中高三上学期第三次月考（202211）】20. （本小题满分13分）
若数列的前项和为，对任意正整数都有.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和
【学问点】数列的求和；对数的运算性质；数列与不等式的综合．B7 D4 D5
【答案】【解析】（1）；（2）
解析：(1)由，得，解得． …………2分
由 ……①，
当时，有 ……②， …………3分
①－②得：， …………4分
数列是首项，公比的等比数列 …………5分
， …………6分
（2）由（1）知．…………7分
所以…………9分
当为偶数时，
…………11分
当为奇数时，
所以…………13分
【思路点拨】（1）由，得，解得，当时，有，两式相减可得数列是首项，公比的等比数列，进而得到通项公式；（2）依据条件得到的通项，然后对n分类争辩即可得到.
【数学理卷·2021届河北省衡水中学高三上学期期中考试（202211）】19、（本小题满分12分）
设不等式组所表示的平面区域，记内整点的个数为（横纵坐标均为整数的点称为整点）。
（1）式，先在平面直角坐标系中做出平面区域，在求的值；
（2）求数列的通项公式；
（3）记数列的前n项和为，试证明：对任意，恒有
成立。
【学问点】数列的应用.D5
【答案】【解析】(1)25(2) 10n+5 (3) 略 解析：解：（1）D2如图中阴影部分所示，
∵在4×8的矩形区域内有5×9个整点，对角线上有5个整点，
∴a2==25．（3分）
（另解：a2=1+3+5+7+9=25）
（2）直线y=nx与x=4交于点P（4，4n），
据题意有an==10n+5．（6分）
（另解：an=1+（n+1）+（2n+1）+（3n+1）+（4n+1）=10n+5）
（3）Sn=5n（n+2）． （8分）
∵==•＜，
∴++…+＜++…+
=（﹣+…+﹣）=（+﹣﹣）＜ （13分）
【思路点拨】（1）在4×8的矩形区域内有5×9个整点，对角线上有5个整点，可求a2的值；
（2）直线y=nx与x=4交于点P（4，4n），即可求数列{an}的通项公式；
（3）利用裂项法，放缩，求和即可证明结论
【数学理卷·2021届江西省赣州市十二县（市）高三上学期期中联考（202211）】20.（本小题满分13分）
已知数列为等比数列，其前项和为，已知，且对于任意的有，，成等差数列；
（1）求数列的通项公式；
（2）已知（），记，若对于恒成立，求实数的范围。
【学问点】等比数列的通项公式；数列的求和；数列与函数的综合.D3 D4 D5
【答案】【解析】(1) ；(2)
解析：（1）
…………4分
（2），
………10分
若对于恒成立，则，
， ，
令，
所以为减函数， …………13分
【思路点拨】(1) 设出等比数列的公比，利用对于任意的有，，成等差得代入首项和公比后即可求得公比，再由已知，代入公比后可求得首项，则数列{an}的通项公式可求； (2) 把（1）中求得的an和已知代入整理，然后利用错位相减法求Tn，把Tn代入后分别变量m，使问题转化为求函数的最大值问题，分析函数的单调性时可用作差法．
【数学理卷·2021届四川省成都外国语学校高三11月月考（202211）(1)】20.（13分）已知数列中,且点在直线上。
(1)求数列的通项公式；
(2)若函数求函数的最小值；
(3)设表示数列的前项和.试问:是否存在关于的整式,使得
对于一切不小于2的自然数恒成立？若存在，写出的解析式，并加以证明；若不存在,试说明理由。
【学问点】已知递推公式求通项；求数列的最小值； 数列综合. D1 D5
【答案】【解析】 (1) (2) (3) 略解析： （1）∵点在直线x-y-1=0上，即，且=1
∴数列是以1为首项1为公差的等差数列.
∴，=1也满足，∴
（2）由（1）知，则
，
∴
∴是的增函数，∴函数的最小值是；
（3）∵，∴
即，
∴，
∴
∴，∴.
故存在关于n的整式使等式对于一切不小于2 的自然数n恒成立.
法二：先由n=2,n=3的状况，猜想出g(n)=n，再用数学归纳法证明.
【思路点拨】（1）由已知得，数列是以1为首项1为公差的等差数列，所以；
（2）推断是的增函数即可得结论；（3）构造新的递推式
，然后用累加法求得结论.
【数学文卷·2021届四川省成都外国语学校高三11月月考（202211）】20.（13分）已知数列中,且点在直线上。(1)求数列的通项公式；
(2) 若函数,求函数的最小值；
(3)设表示数列的前项和.试求出关于的整式,使得
对于一切不小于2的自然数恒成立.(不用证明)
【学问点】已知递推公式求通项；求数列的最小值； 数列综合. D1 D5
【答案】【解析】 解析： （1）∵点在直线x-y-1=0上，即，且=1
∴数列是以1为首项1为公差的等差数列.
∴，=1也满足，∴
（2）由（1）知，则
，
∴
∴是的增函数，∴函数的最小值是；
（3）∵，∴
即，
∴，
∴
∴，∴.
故存在关于n的整式使等式对于一切不小于2 的自然数n恒成立.
法二：先由n=2,n=3的状况，猜想出g(n)=n，再用数学归纳法证明.
【思路点拨】（1）由已知得，数列是以1为首项1为公差的等差数列，所以；
（2）推断是的增函数即可得结论；（3）构造新的递推式
，然后用累加法求得结论.
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