2022届高三文科数学总复习课时提升作业(三十一)-5.4数列求和.docx

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课时提升作业(三十一)
数 列 求 和
(25分钟　60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.设数列{(-1)n}的前n项和为Sn,则对任意正整数n,Sn=　(　　)

【解析】选D.由于数列{(-1)n}是首项与公比均为-1的等比数列,
所以Sn==.
【加固训练】若数列{an}的通项公式是an=(-1)n(3n-2),则a1+a2+…+a10=(　　)
A.15　　　 B.12　　　　 C.-12　　　　 D.-15
【解析】选A.由于an=(-1)n(3n-2),
所以a1+a2+…+a10=(-1+4)+(-7+10)+…+(-25+28)=3×5=15.
2.(2021·青岛模拟)已知Sn=+++…+,若Sm=10,则m=
　(　　)
A.11 B.99 C.120 D.121
【解析】选C.由于==-,所以Sm=-+-+…+-=-1.由已知得-1=10,所以m=120.故选C.
3.设f(n)=2+24+27+210+…+23n+10(n∈N*),则f(n)等于　(　　)
A.(8n-1) B.(8n+1-1)
C.(8n+3-1) D.(8n+4-1)
【解析】选D.由题意知f(n)可看作以2为首项,23为公比的等比数列的前n+4项和,所以f(n)=
4.(2021·杭州模拟)已知函数f(x)=x2+2bx过(1,2)点,若数列{}的前n项和为Sn,则S2022的值为　(　　)
A. B.
C. D.
【解析】选D.由已知得b=,所以f(n)=n2+n,
所以===-,
所以S2022=1-+-+…+-=1-=.
5.数列{an}的通项公式an=ncos,其前n项和为Sn,则S2022等于(　　)
A.2022 B.1008 C.504 D.0
【解析】选B.由于an=ncos,
所以当n为奇数时,an=0,
当n为偶数时,an=其中m∈N*,
所以S2022=a1+a2+a3+a4+a5+…+a2022
=a2+a4+a6+a8+…+a2022
=-2+4-6+8-10+12-14+…+2022
=(-2+4)+(-6+8)+(-10+12)+…+(-2022+2022)=2×504=1008.故选B.
【加固训练】(2021·合肥模拟)已知数列{an}满足a1=1,an+1·an=2n(n∈N*),Sn是数列{an}的前n项和,则S2022=(　　)
A.22022-1 B.3×21008-3
C.3×21008-1 D.3×22022-2
【解析】选B.依题意得an·an+1=2n,an+1·an+2=2n+1,于是有=2,即=2,数列a1,a3,a5,…,a2n-1,…是以a1=1为首项、2为公比的等比数列;数列a2,a4,a6,…,a2n,…是以a2=2为首项、2为公比的等比数列,于是有S2022=(a1+a3+a5+…+a2021)+(a2+a4+a6+…+a2022)=+=3×21008-3,故选B.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.设f(x)=,利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法,可求得f(-12)+f(-11)+f(-10)+…+f(0)+…+f(11)+f(12)+f(13)的值为　　　　.
【解析】抓住求和式子与函数f(x)=的特征,我们对自变量进行配对,当自变量之和为1时,争辩函数值之和,即f(x)+f(1-x)=+ =+×=,共计配成13对,故所求的和为.
答案:
7.(2021·郑州模拟)设数列{an}的通项公式为an=2n-10(n∈N*),则|a1|+|a2|+…+|a15|=　　　　　.
【解析】由an=2n-10(n∈N*)知{an}是以-8为首项,2为公差的等差数列,又由an=2n-10≥0得n≥5,
所以当n<5时,an<0,
当n≥5时,an≥0,所以|a1|+|a2|+…+|a15|=-(a1+a2+a3+a4)+(a5+a6+…+a15)=20+110=130.
答案:130
【加固训练】(2021·郑州模拟)若数列{an}是1,,,…,
1+++…+,…,则数列{an}的前n项和Sn=　　　　.
【解析】an=1+++…+=
=2,
所以Sn=2
=2
=2=2
=2n-2+.
答案:2n-2+
8.(2021·厦门模拟)设f(x)是定义在R上恒不为零的函数,且对任意的x,y∈R,都有f(x)·f(y)=f(x+y),若a1=,an=f(n)(n∈N*),则数列{an}的前n项和Sn的取值范围是　　　　.
【解析】由已知可得a1=f(1)=,a2=f(2)=[f(1)]2=,
a3=f(3)=f(2)·f(1)=[f(1)]3=,…,an=f(n)=[f(1)]n=,
所以Sn=+++…+
==1-,由于n∈N*,
所以≤Sn<1.
答案:
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.(2021·洛阳模拟)已知等差数列{an}满足:a3=7,a5+a7=26,{an}的前n项和为Sn.
(1)求an及Sn.
(2)令bn=(n∈N*),求数列{bn}的前n项和Tn.
【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d,则由已知得
解得所以an=3+2(n-1)=2n+1,
Sn=3n+×2=n2+2n.
(2)由(1)知an=2n+1,

即数列{bn}的前n项和Tn=.
【误区警示】(1)在解答本题时有两点简洁造成失分:
①利用方程的思想联立求解在计算上简洁毁灭失误,不能精确求出首项a1和公差d;
②在求解数列{bn}的前n项和时,不能娴熟精确地利用裂项方法.
(2)解决等差数列问题时,还有以下几点简洁造成失分,在备考时要高度关注:
①对通项公式与前n项和公式记忆错误;
②基本公式中的项数或奇偶项的确定不正确;
③推断一个数列是否为等差数列时,易忽视验证第一项.
【加固训练】(2021·漳州模拟)在数列{an}和{bn}中,已知a1=2,a2=6,
an+2an=3(n∈N*),bn=,
(1)求证:数列{bn}是等比数列.
(2)求数列{an}的通项公式.
(3)若pn=,Sn为数列{pn}的前n项和,求Sn.
【解析】(1)由于an+2an=3(n∈N*),
所以====3,
所以数列{bn}是以3为公比的等比数列.
(2)由(1)可得到bn=b1qn-1=qn-1=×3n-1=3n,
所以bn==3n,
所以=31,
=32,
=33,
……
=3n-1,
所以×××…×=31×32×33×…×3n-1,
所以=31+2+3+…+(n-1)=.
又由于a1=2,所以an=a1×=2×.
(3)由(2)得:an=2×,
所以pn===
==-,
所以Sn=p1+p2+p3+…+pn
=+++…+=2-=.
10.(2022·安徽高考)数列{an}满足a1=1,nan+1=(n+1)an+n(n+1),n∈N*.
(1)证明:数列{}是等差数列.
(2)设bn=3n·,求数列{bn}的前n项和Sn.
【解析】(1)由已知可得
所以{}是以1为首项,1为公差的等差数列.
(2)由(1)得=1+(n-1)=n,
所以an=n2,从而bn=n·3n,
Sn=1·31+2·32+3·33+…+n·3n,　①
3Sn=1·32+2·33+3·34+…+(n-1)·3n+n·3n+1.②
①-②可得-2Sn=31+32+33+…+3n-n·3n+1
=-n·3n+1=

【加固训练】已知数列{an}是首项为a1=,公比为q=的等比数列,设bn+2=3loan(n∈N*),数列{cn}满足cn=an·bn.
(1)求数列{bn}的通项公式.
(2)求数列{cn}的前n项和Sn.
【解析】(1)由题意,知an=(n∈N*),
又bn=3loan-2,
故bn=3n-2(n∈N*).
(2)由(1),知an=,
bn=3n-2(n∈N*),
所以cn=(3n-2)×(n∈N*).
所以Sn=1×+4×+7×+…+(3n-5)×+(3n-2)×,
于是Sn=1×+4×+7×+…+(3n-5)×+(3n-2)×.
两式相减,得Sn=+3++…+-(3n-2)×
=-(3n+2)×.
所以Sn=-×(n∈N*).
(20分钟　40分)
1.(5分)(2021·重庆模拟)已知数列{an}:,+,++,…,+++…+,…,那么数列{bn}=的前n项和Sn为　(　　)
A. B. C. D.
【解析】选B.an==,所以bn===4(-),

2.(5分)已知数列2008,2009,1,-2008,-2009,…,这个数列的特点是从其次项起,每一项都等于它的前后两项之和,则这个数列的前2021项之和S2021等于
　(　　)
A.2008 B.2010 C.1 D.0
【解析】选C.由已知得an=an-1+an+1(n≥2),
所以an+1=an-an-1.
故数列的前8项依次为2008,2009,1,-2008,-2009,-1,2008,2009.
由此可知数列为周期数列,周期为6,且S6=0.
由于2021=6×335+5,所以S2021=S5=2008+2009+1+(-2008)+(-2009)=1.
【加固训练】在数列{an}中,a1=1,an+1=(-1)n(an+1),记Sn为{an}的前n项和,则S2021=　　　　.
【解析】由a1=1,an+1=(-1)n(an+1)可得a1=1,a2=-2,a3=-1,a4=0,该数列是周期为4的数列,a2021=a1=1,a2022=a2=-2,a2021=a3=-1,所以S2021=503(a1+a2+a3+a4)+a2021+a2022+a2021
=503×(1-2-1+0)+1-2-1=-1008.
答案:-1008
【方法技巧】数列求和的思路
(1)等差数列和等比数列的前n项和公式是求和的基础.一般数列的求和问题往往通过变形整理,转化为这两类特殊数列的和的问题.例如,一类特殊数列的求和通过倒序相加法或错位相减法变形后,就可以转化为这两类数列的求和问题.
(2)观看数列的特点是变形的基础.给定的数列有其自身的特点和规律,依据数列的特点和规律选择合适的方法变形是解题的突破口.
3.(5分)已知定义在R上的函数f(x)=ax(0<a<1),且f(1)+f(-1)=,若数列{f(n)}(n∈N*)的前n项和等于,则n等于(　　)
A.4 B.5 C.6 D.7
【解析】选B.由f(1)+f(-1)=,得a+a-1=,即a+=,解得a=2(舍去)或a=,
则数列{f(n)}是首项为a1=,公比q=的等比数列,
所以Sn==×=1-,
由1-=得=,
解得n=5,故选B.
4.(12分)已知数列{an}的前n项和为Sn=3n,数列{bn}满足b1=-1,bn+1=bn+(2n-1)(n∈N*).
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式.
(2)若cn=,求数列{cn}的前n项和Tn.
【解析】(1)由于Sn=3n,所以Sn-1=3n-1(n≥2),
所以an=Sn-Sn-1=3n-3n-1=2×3n-1(n≥2).
当n=1时,2×31-1=2≠S1=a1=3,
所以an=
又由于bn+1=bn+(2n-1),
所以b2-b1=1,b3-b2=3,b4-b3=5,…,bn-bn-1=2n-3.
以上各式相加得
bn-b1=1+3+5+…+(2n-3)==(n-1)2.
由于b1=-1,所以bn=n2-2n.
所以数列{an}的通项公式为an=数列{bn}的通项公式为bn=n2-2n.
(2)由题意得cn=
当n≥2时,Tn=-3+2×0×31+2×1×32+2×2×33+…+2(n-2)×3n-1,
所以3Tn=-9+2×0×32+2×1×33+2×2×34+…+2(n-2)×3n,
相减得-2Tn=6+2×32+2×33+…+2×3n-1-2(n-2)×3n.
所以Tn=(n-2)×3n-(3+32+33+…+3n-1)
=(n-2)×3n-=.

【加固训练】已知数列{an}和{bn},数列{an}的前n项和记为Sn.若点(n,Sn)在函数y=-x2+4x的图象上,点(n,bn)在函数y=2x的图象上.
(1)求数列{an}的通项公式.
(2)求数列{anbn}的前n项和Tn.
【解析】(1)由已知得Sn=-n2+4n,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-2n+5.
又当n=1时,a1=S1=3,也符合上式,
所以an=-2n+5.
(2)由已知得bn=2n,
结合(1)可得anbn=(-2n+5)2n,
所以Tn=3×21+1×22+(-1)×23+…+(-2n+5)2n　①,
2Tn=3×22+1×23+(-1)×24+…+(-2n+5)2n+1　②,
②—①可得
Tn=-6+(23+24+…+2n+1)+(-2n+5)2n+1
=+(-2n+5)2n+1-6
=(-2n+7)2n+1-14.
5.(13分)(2022·新课标全国卷Ⅱ)已知数列{an}满足a1=1,an+1=3an+1.
(1)证明{an+}是等比数列,并求{an}的通项公式.
(2)证明:++…+<.
【解题提示】(1)将an+1=3an+1进行配凑,得“an+1+”与“an+”的关系,得证,然后求得{an}的通项公式.
(2)求得{}的通项公式,然后证得不等式.
【解析】(1)由于a1=1,an+1=3an+1,n∈N*.
所以an+1+=3an+1+=3(an+).
所以{an+}是首项为a1+=,公比为3的等比数列.
所以an+=,所以an=.
(2)=.
=1,当n>1时,

【加固训练】等差数列{an}的首项a1=3,且公差d≠0,其前n项和为Sn,且a1,a4,a13分别是等比数列{bn}的b2,b3,b4项.
(1)求数列{an}与{bn}的通项公式.
(2)证明:≤++…+<.
【解析】(1)设等比数列的公比为q,
由于a1,a4,a13分别是等比数列{bn}的b2,b3,b4,
所以(a1+3d)2=a1(a1+12d).
又a1=3,所以d2-2d=0,
所以d=2或d=0(舍去).
所以an=3+2(n-1)=2n+1.
等比数列{bn}的公比为==3,b1==1.
所以bn=3n-1.
(2)由(1)知Sn=n2+2n.
所以==,
所以++…+
=
=
=-<.
由于+≤+=,
所以-≥,
所以≤++…+<.

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