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第一章第一章 行列式行列式 行列式是研究线性代数的基础工具，也是线性行列式是研究线性代数的基础工具，也是线性代数中的一个重要概念，它广泛应用于数学、工程、代数中的一个重要概念，它广泛应用于数学、工程、技术及经济等众多领域技术及经济等众多领域.本章首先介绍预备知识，接下来从低价行列式入本章首先介绍预备知识，接下来从低价行列式入手，给出行列式的一般定义；然后讲解行列式的性手，给出行列式的一般定义；然后讲解行列式的性质和计算方法；最后研究任意阶线性方程组的行列质和计算方法；最后研究任意阶线性方程组的行列式解法式解法-克莱姆法则克莱姆法则.1.1 1.1 预备知识预备知识一、和号和积号一、和号和积号 二、排列及其性质二、排列及其性质 三、小结三、小结第一章第一章 行列式行列式1.1.和号和号 如如,表示表示 的连加和的连加和.其中其中 称为下标称为下标,下标是虚拟变量下标是虚拟变量,可由可由任意字母替代任意字母替代,如如一、和号和积号一、和号和积号 表示表示 个数个数 的连加和的连加和.在本课程中在本课程中,我们还要采用双重和号我们还要采用双重和号,如如表示所有可能的表示所有可能的 的连乘积的连乘积.积号积号 在学习中还要用到求积的符号在学习中还要用到求积的符号,如如 表示表示 的连乘积的连乘积 再如再如 定义定义1 1 由自然数由自然数 组成的一个无组成的一个无重复有序数组重复有序数组 称为一个称为一个 级排列级排列.例例 由自然数由自然数 可组成几级排列？分别可组成几级排列？分别是什么？是什么？解解 组成一个三级排列组成一个三级排列,它们是它们是 二、排列及其性质二、排列及其性质显然，三级排列共有显然，三级排列共有 个，所以个，所以 级排列级排列的总数为的总数为个个.定义定义 在一个在一个级排列级排列中，如果较大中，如果较大排在较小数排在较小数之前，即之前，即，则称这一对数则称这一对数构成一个逆序，一个排列中逆序的总数构成一个逆序，一个排列中逆序的总数,称为称为数数它的它的逆序数逆序数.可表示为可表示为.例例 求求 解解 在五级排列在五级排列 21534 21534 中，构成逆序数对的有中，构成逆序数对的有因此因此 .在五级排列在五级排列3254132541中，构成逆序数对的有中，构成逆序数对的有32,31 32,31 21,54,51,41,21,54,51,41,因此因此 定义定义3 3 如果排列如果排列的逆序数为偶数，则的逆序数为偶数，则称它为称它为偶排列偶排列;如果排列的逆序数为奇数如果排列的逆序数为奇数,则称则称它为它为奇排列奇排列.例例3 3 试求试求 ,并讨论其奇偶性并讨论其奇偶性.解解 易见在易见在n n阶排列阶排列1,2,3,1,2,3,n n中没有逆序中没有逆序,所以所以 ,这是一个偶排列这是一个偶排列,它具有自然顺序它具有自然顺序,故又称为故又称为自然排列自然排列.在在n,n-1,n,n-1,3,2,13,2,1中中,只有逆序只有逆序,没有顺序没有顺序,故有故有 可以看出，排列可以看出，排列n,n-1,n,n-1,3,2,13,2,1的奇偶性与的奇偶性与n n的取的取值有关值有关,从而当从而当 n=4k n=4k 或或 n=4k+1 n=4k+1 时这个排列为时这个排列为偶排列偶排列,否则为奇排列否则为奇排列.定义定义4 4 排列排列中，交换任意两数中，交换任意两数与与的位置，称为的位置，称为一次交换一次交换，记为，记为 如如一般一般,我们有以下结论我们有以下结论.定理定理1 1 任意一个排列经过一次对换后任意一个排列经过一次对换后,改变其奇偶性改变其奇偶性.定理定理2 2 在全部在全部n n级排列中级排列中(),),奇偶排列各占一半奇偶排列各占一半.1.1.（重点）（重点）会求排列的逆序数，会判断排列的奇偶性。会求排列的逆序数，会判断排列的奇偶性。（1 1）标准排列（偶排列）（）标准排列（偶排列）（2 2）奇排列（）奇排列（3 3）偶排列）偶排列2.2.了解对换的概念了解对换的概念 对换一次改变排列的奇偶性。对换一次改变排列的奇偶性。掌握求排列逆序数的方法掌握求排列逆序数的方法三、小三、小 结结一、二阶和三阶行列式一、二阶和三阶行列式二、二、n n阶行列式阶行列式四、小结四、小结第一章第一章 行列式行列式1.2 1.2 行列式的定义行列式的定义三、特殊阶行列式三、特殊阶行列式1.1.二阶行列式二阶行列式将将 四个数排成两行两列的数表四个数排成两行两列的数表,记作记作,称此为称此为二阶行列式二阶行列式.用用 D D 表示，表示，并规定并规定其中其中叫做二阶行列式的元素叫做二阶行列式的元素,元素元素 的第一个的第一个下标下标 i i 称为行标，第二个下标称为行标，第二个下标 j j 称为列标称为列标.如如表示这个元素位于（行列式的）第一行、第二列表示这个元素位于（行列式的）第一行、第二列.把把到到的实线连接称为的实线连接称为主对角线主对角线，到到连接称为连接称为次对角线次对角线(或副对角线或副对角线).).二阶行列式的二阶行列式的值可以说成是主对角线元素的乘积减去次对角线值可以说成是主对角线元素的乘积减去次对角线虚线虚线元素的乘积元素的乘积.可以看出，二阶行列式一共有可以看出，二阶行列式一共有个元素个元素,共共 2!2!项；项；二阶行列式值中的每项均为选自不同行、不同列二阶行列式值中的每项均为选自不同行、不同列的两个元素的乘积的两个元素的乘积.上述二阶行列式可用上述二阶行列式可用对角线法则记忆对角线法则记忆,如图如图例例1 计算二阶行列式计算二阶行列式解解:例例2 设设,问问 故当故当解解:令令则则或或为何值时，为何值时，时时,或或2.三阶行列式三阶行列式类似地，可以定义三阶行列式类似地，可以定义三阶行列式.设有九个数排成三行三列的数表设有九个数排成三行三列的数表 并规定并规定由上式可见，三阶行列式共有由上式可见，三阶行列式共有选自选自不同行不同行、不同列的三个元素的乘积再冠以不同列的三个元素的乘积再冠以项项,每项均为每项均为正负号，正负号，三阶行列式可用对角线法则记忆三阶行列式可用对角线法则记忆,其规律其规律如图如图1.21.2：例例3 计算三阶行列式计算三阶行列式 解解:注意注意 对角线法则仅适用于对角线法则仅适用于2阶和阶和3阶的行列式阶的行列式,为了研究为了研究4阶及更高阶的行列式阶及更高阶的行列式,下面我们介绍下面我们介绍 n阶行列式阶行列式.二、二、n n阶行列式阶行列式 由二、三行列式值的规律特点，不难得出由二、三行列式值的规律特点，不难得出:1.个数排成个数排成n行行n列列,两边加竖线就是一个两边加竖线就是一个n阶阶行列式行列式.共有共有项项,每项都来自于不同行不同列每项都来自于不同行不同列的几个元素的连乘积的几个元素的连乘积,其中其中 为列标的一个为列标的一个n阶排列阶排列.2.每项符号的确定每项符号的确定:当列标当列标为偶排列为偶排列,项取正号项取正号;当列标当列标为奇排列为奇排列,该项取负号该项取负号.即符号可写成即符号可写成由此得出行列式的一般义由此得出行列式的一般义:定义定义1 1 由由个数排成个数排成n行行n列，写成列，写成(1)称为称为n阶行列式阶行列式,其中其中为为i i第行第行,第第j j列的元素列的元素;其值为其值为项项,每一项取自不同行不同列的每一项取自不同行不同列的n个元素个元素的连乘积的连乘积,即即的代数和的代数和.其中其中 构成一个构成一个n级排列级排列.若用若用D表示行列式表示行列式,则则（2 2）种排列所确定的项求和种排列所确定的项求和.（2 2）是（）是（1 1）的展开式，）的展开式，表示当行标为标准排列时表示当行标为标准排列时,对列标的每一对列标的每一从上面的分析及定义从上面的分析及定义,可得到可得到n n阶行列式的另一种阶行列式的另一种定义形式：定义形式：定义定义 2 2即把列标写成标准排列即把列标写成标准排列 为行标的一个为行标的一个n n阶排列阶排列.由此，得到行列式更一般的定义形式由此，得到行列式更一般的定义形式.定义定义 3 3其中其中为行标的一个为行标的一个n n阶排列阶排列,为列标的一个为列标的一个n n阶排列阶排列.例例4 四阶行列式四阶行列式 共有多少项？共有多少项？乘积乘积是是D中的项吗？中的项吗？解解 共有共有4!=24项项.乘积乘积不是不是D中的一项，中的一项，因为其中有两个元素因为其中有两个元素,均取自第均取自第2列列.例例5 已知已知，求，求 的系数的系数.解解 由行列式的定义，展开式的一般项为由行列式的定义，展开式的一般项为 要出现要出现 的项，则的项，则 需三项取到需三项取到.显然行列式中含显然行列式中含 的项仅有两项，的项仅有两项，它们是：它们是：及及 即即 及及故故 的系数为的系数为 三、特殊行列式三、特殊行列式下面利用行列式的定义来计算几种特殊的下面利用行列式的定义来计算几种特殊的n阶阶行列式行列式.称称为为对角行列式对角行列式.1对角行列式对角行列式根据行列式的定义得根据行列式的定义得分析分析展开式中项的一般形式是展开式中项的一般形式是所以不为零的项只有所以不为零的项只有解解2.2.上三角形行列式上三角形行列式称称为为上三角形行列式上三角形行列式.根据行列式的定义得根据行列式的定义得分析分析展开式中项的一般形式是展开式中项的一般形式是所以不为零的项只有所以不为零的项只有解解3.下三角形行列式下三角形行列式称称 为为下三角形行列式下三角形行列式.同理可得同理可得 4.4.副对角行列式副对角行列式称称 为为副对角行列式副对角行列式.根据行列式的定义得根据行列式的定义得分析分析展开式中项的一般形式是展开式中项的一般形式是所以不为零的项只有所以不为零的项只有解解2 2、n n阶行列式的定义阶行列式的定义1 1、二阶和三阶行列式的计算方法、二阶和三阶行列式的计算方法四、小结四、小结3 3、4 4种特殊的行列式种特殊的行列式1.3 1.3 行列式的性质行列式的性质一、行列式的性性质一、行列式的性性质二、利用行列式性质计算行列式二、利用行列式性质计算行列式第一章 行列式三、小结三、小结一、行列式的性质一、行列式的性质性质性质1 1 将行列式的行、列互换，行列式的值不变将行列式的行、列互换，行列式的值不变.即即 ,则则 ,行列式行列式 称为称为 的的转置行列式转置行列式.注意注意 这一性质表明行列式中行与列的地位是这一性质表明行列式中行与列的地位是对称的，也就是说凡是行列式对行成立的性质，对称的，也就是说凡是行列式对行成立的性质，对列也是成立的对列也是成立的.性质性质2 互换行列式的两行（列），行列式的值仅互换行列式的两行（列），行列式的值仅改变符号改变符号.即即 推论推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式等于零行列式等于零.性质性质3 以数以数k乘行列式的某一行乘行列式的某一行(列列)中的所有元素，中的所有元素，就等于用就等于用k去乘以此行列式去乘以此行列式.即即由性质由性质3可得下面的推论：可得下面的推论：推论推论1 行列式一行（列）的所有元素的公因子可以行列式一行（列）的所有元素的公因子可以提取到行列式的外面提取到行列式的外面.推论推论2 如果行列式中有一行（列）的元素全为零，如果行列式中有一行（列）的元素全为零，推论推论3 如果行列式中有两行（列）的对应元素成如果行列式中有两行（列）的对应元素成则此行列式值为零则此行列式值为零.性质性质4 如果行列式的某一行（列）的所有元素都如果行列式的某一行（列）的所有元素都比例，则此行列式值为零比例，则此行列式值为零.是两个数的和，则此行列式等于两行列式之和是两个数的和，则此行列式等于两行列式之和.即即 性质性质5 把把行列式的某一行行列式的某一行(列列)的各元素乘以同一的各元素乘以同一常数后加到另一行（列）对应的元素上去，行列常数后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式的值不变式的值不变.例如，以数例如，以数k乘第乘第i行加到第行加到第 j行上，当行上，当 时时,有有 利用性质利用性质4，性质，性质5可知性质可知性质6成立成立.二、利用行列式性质计算行列式二、利用行列式性质计算行列式为了说明运算过程为了说明运算过程,这里规定这里规定,用用 表示第表示第 行行;用用 表示第表示第k行与第行与第s行对换行对换;用用 表示表示第第k行的行的 倍加到第倍加到第s行后取代原来的第行后取代原来的第s行；用行；用表示第表示第j列列;其余记号与行相同其余记号与行相同,不再一一列举不再一一列举.例例1 计算行列式计算行列式解解 例例2 计算行列式计算行列式解解例例3 计算行列式计算行列式解解例例4 解方程解方程解解 由于由于于是原方程为于是原方程为,解得解得例例5 计算计算n阶行列式阶行列式 解解 把行列式的所有列乘把行列式的所有列乘1都加到第都加到第1列上得列上得例例6 计算计算阶行列式阶行列式解解把行列式的第把行列式的第2列列,第第3列列,第第 都加到第都加到第1列得列得 1.1.理解转置行列式的定义。理解转置行列式的定义。2.2.记住行列式的记住行列式的6 6个性质和个性质和3 3个推论。个推论。3.3.用对角行列式法计算出行列式的值。用对角行列式法计算出行列式的值。三、小结三、小结1.4 1.4 行列式展开定理行列式展开定理 一、余子式与代数余子式、余子式与代数余子式二、行列式展开定理二、行列式展开定理第一章 行列式三、小结三、小结一、余子式与代数余子式、余子式与代数余子式定义定义1 在在n阶行列式阶行列式中中,将元素将元素所在的行与列上的元素划去，其余元素按照原所在的行与列上的元素划去，其余元素按照原来的相对位置构成的来的相对位置构成的n-1阶行列式，称为元素阶行列式，称为元素 的的余子式余子式，记作，记作.令令,称称是是的的代数余子式代数余子式.例例1 求行列式求行列式中的元素中的元素的余子式和代数余子式的余子式和代数余子式.解解 引理引理 在在n阶行列式阶行列式D中，如果第中，如果第i行的元素仅行的元素仅其余的为零其余的为零,则则在在n阶行列式的定义中是把行列式按第一行的元素阶行列式的定义中是把行列式按第一行的元素展开的展开的,但实际上行列式可以按任意一行但实际上行列式可以按任意一行(列列)元素元素展开展开,下面介绍行列式按行下面介绍行列式按行(列列)展开定理展开定理.二、行列式展开定理二、行列式展开定理定理定理1 n阶行列式阶行列式 等于它的等于它的任意一行任意一行(列列)的各个元素与其对应的代数余子式的的各个元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即乘积之和，即或或证明证明 类似地，可证明类似地，可证明 该定理叫做该定理叫做行列式按行（列）展开定理行列式按行（列）展开定理，也称为也称为行列式的降阶展开式行列式的降阶展开式.利用这一定理再结合行列式利用这一定理再结合行列式的性质，可以简化行列式的计算的性质，可以简化行列式的计算.推论推论 n n阶行列式阶行列式D D的任意一行（列）的元素与的任意一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即等于零，即证明证明 把行列式把行列式D D的第的第s s行元素换为第行元素换为第 行的行的对应元素对应元素,得到新的行列式得到新的行列式，中有两行元素中有两行元素完全相同，因此完全相同，因此 ,把按把按 第第s s行展开，得行展开，得=类似可证类似可证 例例2 已知已知,求求 解法解法1 因为因为 与与 的第的第1列元素的代数余子式相同列元素的代数余子式相同,所以将所以将 按第按第1列展开可得列展开可得 解法解法2 因为因为 的第的第3列元素与列元素与 的第的第1列元素的列元素的代数余子式乘积之和为代数余子式乘积之和为0,即即所以所以 注意注意 在计算行列式时往往不急于展开计算在计算行列式时往往不急于展开计算,通常通常总是根据行列式的性质尽量把它的其中一个或一行总是根据行列式的性质尽量把它的其中一个或一行中的更多元素变成零，然后对这一行中的更多元素变成零，然后对这一行(列列)展开再加展开再加以计算以计算.例例3 计算计算 解解 例例4 计算行列式计算行列式 解解 例例5 计算行列式计算行列式 解解=例例6 6 证明范德蒙德（证明范德蒙德（VandermondeVandermonde）行列式）行列式 证明证明 用数学归纳法用数学归纳法 当当n=2n=2时，有时，有 即当即当n=2n=2时结论成立时结论成立.假设对于假设对于n-1n-1阶范德蒙德阶范德蒙德行列式时成立，要证对行列式时成立，要证对n n阶范德蒙德行列式阶范德蒙德行列式,结论结论也成立也成立.为此，设法把为此，设法把 降阶；从第降阶；从第n行开始，后行减去行开始，后行减去倍，有倍，有 前行的前行的 上式上式(n-1)(n-1)是阶范德蒙德行列式是阶范德蒙德行列式 计算计算n阶行列式阶行列式,有时要用到数学归纳法有时要用到数学归纳法,但是但是归纳法的主要步骤是不能省略的归纳法的主要步骤是不能省略的.1.1.余子式和代数余子式的定义。余子式和代数余子式的定义。2.2.行列式按行（列）展开定理。行列式按行（列）展开定理。3.3.范德蒙德行列式。范德蒙德行列式。三、小结三、小结1.5 1.5 克莱姆克莱姆(Cramer)(Cramer)法则法则一、线性方程组的基本概念一、线性方程组的基本概念二、克莱姆二、克莱姆(Cramer)(Cramer)法则法则三、小结三、小结第一章 行列式一、线性方程组的基本概念一、线性方程组的基本概念 从实际问题导出的线性方程组通常含有很多个从实际问题导出的线性方程组通常含有很多个未知量和很多个方程，它的一般形式为未知量和很多个方程，它的一般形式为 （1 1）其中其中 是未知量，是未知量，是未知量的系数，是未知量的系数，叫做常数项或方程的叫做常数项或方程的右端，这里右端，这里m m与与n n未必相等未必相等.线性方程组（线性方程组（1 1）的解是指这样的一组数的解是指这样的一组数 当用它们依次替换方程组当用它们依次替换方程组(1)(1)中的未知量中的未知量 时，方程组中的每个方程都成立时，方程组中的每个方程都成立.如果如果 则（则（1 1）变成）变成 （2 2）（2 2）叫做）叫做(1)(1)的对应的对应齐次线性方程组齐次线性方程组，而（，而（1 1）称）称为为非齐次线性方程组非齐次线性方程组.显然，显然，是是齐次线性方程组（齐次线性方程组（2 2）的解，并称为（）的解，并称为（2 2）的）的零解零解 当当m=n时，方程组（时，方程组（1）变成）变成 （3）叫做叫做n阶线性方程组阶线性方程组.在在n阶线性方程组（阶线性方程组（3）中，它的系数）中，它的系数 组成的组成的 称为方程组（称为方程组（3）的）的系数行列式系数行列式.二、克莱姆二、克莱姆(Cramer)(Cramer)法则法则定理定理1 1（克莱姆法则）如果线性方程组（克莱姆法则）如果线性方程组（3 3）的）的系数行列式系数行列式，即，即 ，则方程组，则方程组(3)(3)有惟一解有惟一解 ，其中其中 是把系数行列式是把系数行列式D D中的第中的第j j列元素列元素对应换为常数项对应换为常数项 例例1 求解线性方程组求解线性方程组 解解 系数行列式系数行列式所以方程组有唯一解，而所以方程组有唯一解，而，由克莱姆法则得由克莱姆法则得,，当线性方程组（当线性方程组（3）的行列式为零的时候，会出现）的行列式为零的时候，会出现两种情况：一是无解；一是无穷多解对于这种两种情况：一是无解；一是无穷多解对于这种情况的详细讨论将在第三章进行情况的详细讨论将在第三章进行 对于对于n阶齐次线性方程组阶齐次线性方程组 而言，有下面两个推论而言，有下面两个推论 推论推论1 若齐次线性方程组若齐次线性方程组 的系数行列式的系数行列式，则方程组只有零解，则方程组只有零解.推论推论2 若齐次线性方程组若齐次线性方程组 有非零解有非零解,则系数行列式则系数行列式 例例2 判断方程组判断方程组 是有零解还是有非零解是有零解还是有非零解?解解 由于系数行列式由于系数行列式所以方程组只有零解所以方程组只有零解.例例3 已知已知 有非零解有非零解,求求 k.解解 因为方程组的系数行列式为因为方程组的系数行列式为 由推论由推论2知，它的系数行列式知，它的系数行列式，即，即故故k=1或或k=-1.三、本章三、本章小结小结概要概要本章重点内容可以归结为三个方面：本章重点内容可以归结为三个方面：一个概念（一个概念（n n阶行列式）阶行列式）两种计算行列式的方法两种计算行列式的方法九类可直接求出的行列式九类可直接求出的行列式一、一、n n阶行列式阶行列式 n n阶行列式阶行列式|a aijij|n n是所有是所有不同行不同列不同行不同列元素乘积的元素乘积的代数和代数和，其定义可分为三个步骤，其定义可分为三个步骤，取项取项(不同行不列不同行不列)冠符冠符(以逆序数确定以逆序数确定符号符号)求和求和(乘积项的和乘积项的和）|a aijij|n n此处行指标是标准排此处行指标是标准排列，若非标准排列，列，若非标准排列，那如何确定符号呢？那如何确定符号呢？二、二、九类可直接求出的行列式九类可直接求出的行列式1.2.3.4.5.6.7.8.9.n n阶范德蒙德阶范德蒙德行列式行列式三、两种计算行列式的方法三、两种计算行列式的方法计算行列式可归结为两个字：计算行列式可归结为两个字：化简化简化简为前面九类基本行列式化简为前面九类基本行列式降阶降阶最常用最基本的就是把行最常用最基本的就是把行列式化为上列式化为上三角行列式三角行列式利用行列式性质，在某一行利用行列式性质，在某一行（列）构造出尽可能多的零，（列）构造出尽可能多的零，再按该行（列）展开再按该行（列）展开构造尽可能多的零构造尽可能多的零