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课时提升作业(三十五)
一、选择题
1.不等式2x-y≥0表示的平面区域是( )
2.若不等式Ax+By+5<0表示的平面区域不包括点(2,4),且k=A+2B,则k的取值范围是( )
(A)k≥- (B)k≤-
(C)k>- (D)k<-
3.(2021·杭州模拟)若x,y满足约束条件则目标函数z=2x+y的最大值是( )
(A)-3 (B) (C)2 (D)3
4.(2021·南昌模拟)若x,y满足约束条件目标函数z=ax+2y仅在点(1,0)处取得最小值,则a的取值范围是( )
(A)(-1,2) (B)(-4,2)
(C)(-4,0] (D)(-2,4)
5.若实数x,y满足则的取值范围是( )
(A)(0,2) (B)(0,2] (C)(2,+∞) (D)[2,+∞)
6.(2021·西安模拟)某运输公司有12名驾驶员和19名工人,有8辆载重为10吨的甲型卡车和7辆载重为6吨的乙型卡车.某天需运往A地至少72吨的货物,派用的每辆车需满载且只运送一次,派用的每辆甲型卡车需配2名工人,运送一次可得利润450元;派用的每辆乙型卡车需配1名工人,运送一次可得利润350元.该公司合理方案当天派用两类卡车的车辆数,可得最大利润z=( )
(A)4650元 (B)4700元
(C)4900元 (D)5000元
7.若实数x,y满足则|x-y|的取值范围是( )
(A)[0,2] (B)[2,]
(C)[-,2] (D)[0,]
8.(力气挑战题)若x,y满足约束条件且目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为7,则+的最小值为( )
(A)14 (B)7 (C)18 (D)13
二、填空题
9.已知点P(x,y)满足条件则x+2y的最大值为 .
10.若不等式组表示的平面区域是一个三角形区域,则a的取值范围是 .
11.(力气挑战题)设x,y满足约束条件若x2+y2≥a2恒成立,则实数a的取值范围是 .
12.(2022·滕州模拟)设双曲线x2-y2=1的两条渐近线与直线x=围成的三角形
区域(包括边界)为D,P(x,y)为该区域D内的一动点,则目标函数z=x-2y的最小值为 .
三、解答题
13.已知关于x,y的二元一次不等式组
(1)求函数u=3x-y的最大值.
(2)求函数z=x+2y+2的最小值.
14.(力气挑战题)某公司方案2022年在A,B两个电视台做总时间不超过300分钟的广告,广告总费用不超过9万元.A,B两个电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟,假定A,B两个电视台为该公司所做的每分钟广告,能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元.问该公司如何支配在两个电视台做广告的时间,才能使公司的收益最大?最大收益是多少万元?
答案解析
1.【解析】选A.取测试点(1,0)排解B,D.又边界应为实线,故排解C.
2.【解析】选A.由于不等式Ax+By+5<0表示的平面区域不包括点(2,4),所以2A+4B+5≥0,于是A+2B≥-,即k≥-.
3.【解析】选D.画出可行域,即可求出最优解.
4.【解析】选B.可行域为△ABC,如图.
当a=0时,明显成立,
当a>0时,直线ax+2y-z=0的斜率k=->kAC=-1,a<2.
当a<0时,k=-<kAB=2,a>-4.
综合得-4<a<2.故选B.
5.【解析】选D.方法一:画出可行域(如图所示),表示可行域中的点(x,y)与原点连线的斜率,由图形可知,当点(x,y)在点A(1,2)时,它与原点连线的斜率最小,kOA=2,无最大值,故的取值范围是[2,+∞).
方法二:由题得y≥x+1,所以≥1+,
又0<x≤y-1≤1,因此≥2.
6.【解析】选C.设派用甲型卡车x辆,乙型卡车y辆,获得的利润为m元,m=450x+350y,由题意,x,y满足关系式作出相应的平面区域,m=450x+350y=50(9x+7y),在由确定的交点(7,5)处取得最大值
4 900元.
7.【思路点拨】先求出x-y的取值范围,即可得到|x-y|的取值范围.
【解析】选D.画出可行域(如图),令z=x-y,则y=x-z,可知当直线y=x-z经过点M(-,3)时z取最小值zmin=-;当直线y=x-z经过点P(5,3)时z取最大值zmax=2,即-≤z=x-y≤2,所以0≤|x-y|≤.
8.【思路点拨】画出可行域,对目标函数分析得到最优解,从而依据已知条件代入得到a,b满足的条件,然后利用“1的代换”方法,使用基本不等式求得最小值.
【解析】选B.画出可行域如图所示,由图形可知当直线经过x-y=-1与2x-y=2的交点N(3,4)时,目标函数取得最大值,即3a+4b=7,于是+=(3a+4b)·(+)=(25++)≥(25+
2)=7,即+的最小值为7.
【变式备选】函数f(x)=x3+bx2+cx+d在区间[-2,2]上是减函数,则b+c的最大值为 .
【解析】由题意知f'(x)=3x2+2bx+c在区间[-2,2]上满足f'(x)≤0恒成立,
即
⇒此问题相当于在约束条件
下,求目标函数z=b+c的最大值,由于
⇒M(0,-12),如图可知,当直线l:b+c=z过点M时,z最大,所以过M点时值最大为-12.
答案:-12
9.【解析】在平面直角坐标系中画出不等式组表示的平面区域(如图),令x+2y=z,则y=-x+,因此当直线y=-x+经过区域中的A点时,z取到最大值,而由得A(5,5),所以x+2y的最大值是15.
答案:15
10.【解析】由
得A(-3,3),
由图可知,a>-3.
答案:(-3,+∞)
11.【思路点拨】将问题转化为求x2+y2的最小值,利用距离模型求解.
【解析】画出可行域(如图),
x2+y2表示可行域中的点(x,y)与原点距离的平方,由图形可知,x2+y2的最小值应为原点到边界直线x+y=1的距离的平方,而原点到边界直线x+y=1的距离等于,所以x2+y2的最小值是,因此要使x2+y2≥a2恒成立,应有a2≤,故-≤a≤.
答案:-≤a≤
12.【解析】双曲线的两条渐近线方程为y=x和y=-x,因此可画出可行域(如图).由z=x-2y得y=x-z,由图形可知当直线y=x-z经过点A(,)时,z取最小值,最小值为-.
答案:-
13.【解析】作出二元一次不等式组表示的平面区域,如图所示:
(1)由u=3x-y,得y=3x-u,由图可知,当直线经过可行域上的B点时,截距-u最小,即u最大,解方程组得B(2,1),
∴umax=3×2-1=5,
∴u=3x-y的最大值是5.
(2)由z=x+2y+2,得y=-x+z-1,由图可知,当直线经过可行域上的A点时,截距z-1最小,即z最小,解方程组得A(-2,-3),
∴zmin=-2+2×(-3)+2=-6.
∴z=x+2y+2的最小值是-6.
14.【思路点拨】设公司在A和B做广告的时间分别为x分钟和y分钟,由题意列出x,y的约束条件和目标函数,然后利用线性规划的学问求解.
【解析】设公司在A和B做广告的时间分别为x分钟和y分钟,总收益为z元,
由题意得
目标函数z=3000x+2000y.
二元一次不等式组等价于
作出二元一次不等式组所表示的平面区域,即可行域,如图阴影部分.
作直线l:3000x+2000y=0,即3x+2y=0,
平移直线l,从图中可知,当直线l过M点时,目标函数取得最大值.
联立
解得
∴点M的坐标为(100,200),
∴zmax=3000×100+2000×200=700000,
即该公司在A电视台做100分钟广告,在B电视台做200分钟广告,公司的收益最大,最大收益是70万元.
【方法技巧】常见的线性规划应用题的类型
(1)给定确定量的人力、物力资源,问怎样运用这些资源,使完成的任务量最大,收益最大.
(2)给定一项任务,问怎样统筹支配,使完成这项任务耗费的人力、物力资源最小.
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