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课时作业3 不等式、线性规划、合情推理
时间：45分钟
一、选择题
1．(2022·四川卷)已知集合A＝{x|x2－x－2≤0}，集合B为整数集，则A∩B＝( )
A．{－1,0,1,2} B．{－2，－1,0,1}
C．{0,1} D．{－1,0}
解析：A＝{x|－1≤x≤2}，∴A∩B＝{－1,0,1,2}，选A.
答案：A
2．若a>b>0，则下列不等式中确定成立的是( )
A．a＋>b＋ B.>
C．a－>b－ D.>
解析：取a＝2，b＝1，淘汰B和D；另外，函数f(x)＝x－是(0，＋∞)上的增函数，但函数g(x)＝x＋在(0,1]上递减，在[1，＋∞)上递增，
所以a>b>0时f(a)>f(b)必定成立，但g(a)>g(b)未必成立．
所以a－>b－⇔a＋>b＋，故选A.
答案：A
3．若不等式x2＋ax－2>0在区间[1,5]上有解，则a的取值范围是( )
A. B.
C．(1，＋∞) D.
解析：由Δ＝a2＋8>0，知方程恒有两个不等实根，又知两根之积为负，
所以方程必有一正根、一负根．
于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f(5)≥0，f(1)≤0，解得a≥－，且a≤1，故a的取值范围为.
答案：B
4．若a，b∈R且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是( )
A．a＋b≥2 B.＋>
C.＋≥2 D．a2＋b2>2ab
解析：∵ab>0，∴>0，>0.
由基本不等式得＋≥2，当且仅当＝，
即a＝b时等号成立．故选C.
答案：C
5．已知一元二次不等式f(x)<0的解集为，则f(10x)>0的解集为( )
A．{x|x<－1或x>－lg2}
B．{x|－1<x<－lg2}
C．{x|x>－lg2}
D．{x|x<－lg2}
解析：由已知条件得0<10x<，解得x<lg＝－lg2.
答案：D
6．①已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p＋q≥2；②已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的确定值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x1的确定值大于或等于1，即假设|x1|≥1.以下结论正确的是( )
A．①与②的假设都错误
B．①与②的假设都正确
C．①的假设正确；②的假设错误
D．①的假设错误；②的假设正确
解析：反证法的实质是否定结论，对于①，其结论的反面是p＋q>2，所以①不正确；对于②，其假设正确．
答案：D
7．已知正三角形内切圆的半径是其高的，把这个结论推广到空间正四周体，类似的结论是( )
A．正四周体的内切球的半径是其高的
B．正四周体的内切球的半径是其高的
C．正四周体的内切球的半径是其高的
D．正四周体的内切球的半径是其高的
解析：原问题的解法为等面积法，即S＝ah＝3×ar⇒r＝h，类比问题的解法应为等体积法，V＝Sh＝4×Sr⇒r＝h，即正四周体的内切球的半径是其高的，所以应选C.
答案：C
8．(2022·广东卷)若变量x，y满足约束条件且z＝2x＋y的最大值和最小值分别为m和n，则m－n＝( )
A．5 B．6
C．7 D．8
解析：用图解法求出线性目标函数的最大值和最小值，再作差求解．
画出可行域，如图阴影部分所示．
由z＝2x＋y，得y＝－2x＋z.
由得
∴A(－1，－1)．
由得∴B(2，－1)．
当直线y＝－2x＋z经过点A时，zmin＝2×(－1)－1＝－3＝n.当直线y＝－2x＋z经过点B时，zmax＝2×2－1＝3＝m，故m－n＝6.
答案：B
9．(2022·安徽卷)x，y满足约束条件若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为( )
A.或－1 B．2或
C．2或1 D．2或－1
解析：作出约束条件满足的可行域，依据z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，通过数形结合分析求解．
如图，由y＝ax＋z知z的几何意义是直线在y轴上的截距，故当a>0时，要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则a＝2；当a<0时，要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则a＝－1.
答案：D
10．设变量x，y满足约束条件则lg(y＋1)－lgx的取值范围是( )
A．[0,1－2lg2] B．[1，]
C．[，lg2] D．[－lg2,1－2lg2]
解析：如图，作出不等式组确定的可行域，
由于lg(y＋1)－lgx＝lg，设t＝，
明显，t的几何意义是可行域内的点P(x，y)与定点E(0，－1)连线的斜率．
由图可知，P点与B点重合时，t取得最小值，P点与C点重合时，t取得最大值．
由解得即B(3,2)；
由解得即C(2,4)．
故t的最小值为kBE＝＝1，t的最大值为kCE＝＝，所以t∈[1，]．
又函数y＝lgx为(0，＋∞)上的增函数，
所以lgt∈[0，lg]，
即lg(y＋1)－lgx的取值范围为[0，lg]．
而lg＝1－2lg2，
所以lg(y＋1)－lgx的取值范围为[0,1－2lg2]．故选A.
答案：A
11．(2022·西安五校联考)已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个“整数对”是( )
A．(7,5) B．(5,7)
C．(2,10) D．(10,1)
解析：依题意，把“整数对”的和相同的分为一组，不难得知第n组中每个“整数对”的和均为n＋1，且第n组共有n个“整数对”，这样的前n组一共有个“整数对”，留意到<60<，因此第60个“整数对”处于第11组(每个“整数对”的和为12的组)的第5个位置，结合题意可知每个“整数对”的和为12的组中的各对数依次为：(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，…，因此第60个“整数对”是(5,7)，选B.
答案：B
12．设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最大值时，＋－的最大值为( )
A．0 B．1
C. D．3
解析：＝＝≤，当且仅当＝时即x＝2y时“＝”成立，此时z＝2y2，＋－＝－＋＝－2＋1，故当＝1，即y＝1时＋－有最大值1.故选B.
答案：B
二、填空题
13．已知函数f(x)＝4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a＝________.
解析：∵x>0，a>0，
∴f(x)＝4x＋≥2＝4，当且仅当4x＝(x>0)，即x＝时f(x)取得最小值，由题意得＝3，∴a＝36.
答案：36
14．若点(x，y)位于曲线y＝|x－1|与y＝2所围成的封闭区域，则2x－y的最小值为________．
解析：作出y＝|x－1|与y＝2所围成的区域如下图所示，当z＝2x－y过A(－1,2)时，取得最小值－4.
答案：－4
15．已知x>0，y>0，xy＝x＋2y，若xy≥m－2恒成立，则实数m的最大值是________．
解析：∵xy＝x＋2y≥2，
∴()2－2≥0，
∴≥2或≤0(舍去)，
∴xy≥8，当且仅当x＝4，y＝2时取等号．
由题意知m－2≤8，即m≤10.
答案：10
16．已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)<c的解集为(m，m＋6)，则实数c的值为________．
解析：由题意知f(x)＝x2＋ax＋b＝2＋b－.
∵f(x)的值域为[0，＋∞)，∴b－＝0，即b＝.
∴f(x)＝2.
又∵f(x)<c，∴2<c，
即－－<x<－＋.
∴
②－①，得2＝6，∴c＝9.
答案：9
17．(2022·陕西质检)设n为正整数，f(n)＝1＋＋＋…＋，计算得f(2)＝，f(4)>2，f(8)>，f(16)>3.观看上述结果，依据上面规律，可推想f(128)>________.
解析：观看f(2)＝，f(4)>2，f(8)>，f(16)>3可知，等式及不等式右边的数构成首项为，公差为的等差数列，故f(128)>＋6×＝.
答案：
18．(2022·皖南八校联考)已知实数x，y满足：则z＝的取值范围是________．
解析：由不等式组画出可行域如图中阴影部分所示，目标函数z＝＝2＋的取值范围转化为点(x，y)与(1，－1)所在直线的斜率加上2的取值范围，由图形知，A点坐标为(，1)，则点(1，－1)与(，1)所在直线的斜率为2＋2，点(0,0)与(1，－1)所在直线的斜率为－1，所以z的取值范围为(－∞，1]∪[2＋4，＋∞)．
答案：(－∞，1]∪[2＋4，＋∞)
19．已知O为坐标原点，点M的坐标为(2,1)，点N(x，y)的坐标x，y满足不等式组则·的取值范围是________．
解析：依题意得·＝2x＋y，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线2x＋y＝0(图略)，平移直线2x＋y＝0过点(3,0)时，2x＋y取得最大值6，平移直线2x＋y＝0过点(0,1)时，2x＋y取得最小值1，故·的取值范围为[1,6]．
答案：[1,6]
20．(2022·武汉调研)挪威数学家阿贝尔曾经依据阶梯形图形的两种不同分割(如图)，利用它们的面积关系发觉了一个重要的恒等式——阿贝尔公式：
a1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋anbn＝L1(b1－b2)＋L2(b2－b3)＋L3(b3－b4)＋…＋Ln－1(bn－1－bn)＋Lnbn，其中L1＝a1，则
(1)L3＝________；
(2)Ln＝________.
解析：(1)分析两图可知，图(a)按列分割，图(b)按行分割．图(b)中，第三行所对应矩形宽为(b3－b4)，长为(a1＋a2＋a3＋a4＋a5)－(a4＋a5)＝a1＋a2＋a3，其面积为(b3－b4)(a1＋a2＋a3)，结合题中公式知，L3＝a1＋a2＋a3.
(2)易知L2＝a1＋a2，L3＝a1＋a2＋a3，L4＝a1＋a2＋a3＋a4，归纳推理得，Ln＝a1＋a2＋a3＋…＋an.
答案：(1)a1＋a2＋a3 (2)a1＋a2＋a3＋…＋an
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