陕西省西安一中2021届高三下学期自主命题(一)数学(理科)-Word版含答案.docx

西安市第一中学高三自命题一数学（理科）试题
一、选择题：本大题共10小题每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设全集U=R，集合A={x|1og2x≤2}，B={x|（x﹣3）（x+1）≥0}，则（CUB）∩A=（ 　）
　 A．（﹣∞，﹣1] B．（﹣∞，﹣1]∪（0，3） C．[0，3） D．（0，3）
2．复数，，则复数的虚部为（ ）
A．2 B． C． D．
3．在中，A,B,C的对边分别为a,b,c,且，则是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
4．已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（ ）
A．若则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
5．设向量a,b满足|a+b|=，|a-b|=，则ab = ( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 5
6．某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．

7．用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成比20000大，并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数共有（ ）
（A）96个 （B）78个 （C）72个 （D）64个
8．已知函数，为了得到函数的图像，只需将的图像（ ）
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
9．函数的图象的大致外形是（ 　）
A． B． C． D．
10 ．4位同学各拘束周六、周日两天中任选一天参与公益活动，则周六、周日都有同学参与公益活动的概率( )
. . . .
11．.已知抛物线：的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个焦点，若，则=( )
. . .3 .2
12．已知函数，若关于的方程恰有5个不同的实数解，则的取值范围是 （ ）
（A）（0,1） （B）（0,2） （C）（1,2） （D）（0,3）
二、填空题：本大题共4小题每小题5分，共20分
13．在的开放式中，项的系数是　　
14.已知：，观看下列式子：类比有，则的值为 ．
15．设a，b，c都是正数，且满足+=1则使a+b＞c恒成立的c的取值范围是　　 ．
16．设不等式组其中a＞0，若z=2x+y的最小值为，则a=　　 ．
A=1
For i=1 To 2021
Print A
A=A+(2i+1)
Next
END
三、解答题：
17. （本小题满分12分）根 据 下 列 算 法 语 句，将 输 出 的 A
值 依 次 记 为a1,a2,…,an,…,a2021
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）已知函数f(x)=a2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)的最小正周期是a1，
且函数y=f(x)的图象关于直线x=对称，求函数f(x)=a2sin(ωx+φ)在区间[-,]上的值域.

18．（本小题满分12分）为了解今年某校高三毕业班预备报考飞行员同学的体重状况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1:2:3，其中第2小组的频数为12.
（Ⅰ）求该校报考飞行员的总人数;
（Ⅱ）以这所学校的样本数据来估量全省的总体数据,若从全省报考
飞行员的同学中（人数很多）任选三人，设X表示体重超过60公斤
的同学人数，求X的分布列和数学期望.

19. （本小题满分12分）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为菱形且∠DAB=60°，O为AD中点.
（Ⅰ）若PA=PD，求证：平面POB⊥平面PAD；
（Ⅱ）若平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，试问在线段PC上是否存在点M，使二面角M—BO—C的大小为60°，如存在，求的值，如不存在，说明理由.

20. （本小题满分12分）设,分别是椭圆的左右焦点，M是C上一点且与x轴垂直，直线与C的另一个交点为N.
（Ⅰ）若直线MN的斜率为，求C的离心率；
（Ⅱ）若直线MN在y轴上的截距为2，且，求a,b.
21．（本小题满分12分）已知函数f(x)=alnxax3(a∈R)。
（Ⅰ）求f(x)的单调区间
（Ⅱ）设a=-1，求证：当x∈(1,+∞)时，f(x)+2>0
（Ⅲ）求证：··……<(n∈N+且n≥2)
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答.
留意：只能做所选定的题目，假如多做，则按所做的第一个题目计分.
22．（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲.
如图，在中，是的角平分线，的
外接圆交于点，．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）当时，求的长．
23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
将圆上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.
（Ⅰ）写出C的参数方程；
（Ⅱ）设直线与C的交点为，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求过线段的中点且与垂直的直线的极坐标方程.
24. （本小题满分10分）（选修4—5，:不等式选讲）
（Ⅰ）证明柯西不等式：(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2；
（Ⅱ）若a,b∈R+且a+b=1，用柯西不等式求+的最大值.
西安市第一中学高三模拟练习数学（理科）试题（答案）
一、 选择题： DACBA BBACD BA
二、 填空题：13. 120 14. 15. (0,9) 16.
三、解答题
17.解：(1)由已知，当n≥2时，an=1+3+5+…+ (2n-1) =n2
而a1=1也符合an=n2，
所以数列{an}的通项公式为an=n2(n∈N*，且1≤n≤2022) ………………………………………..6分
(2)由(1)知a1=1,a2=4,所以函数y=f(x)的最小正周期为1，所以ω=2π，
则f(x)=4sin(2πx+φ)
又函数y=f(x)的图象关于直线x=对称 所以+φ=kπ+(k∈z)
由于|φ|<，所以φ=，则f(x)=4sin(2πx+)
由于x∈[-,] ，所以-≤2πx+≤
所以-≤sin(2πx+)≤1
故函数f(x)=a2sin(ωx+φ)在区间[-,]上的值域是[-2,4] ……………………..12分
18．解：（Ⅰ）设报考飞行员的人数为,前三小组的频率分别为,由条件可得:

解得 ——————4分
又由于，故 ——————6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：一个报考同学体重超过60公斤的概率为，所以X听从二项分布,
随机变量X的分布列为：
x
0
1
2
3
p

则 ……………………12分
(或: )
19.解：(1)∵PA=PD O为AD中点 ∴PO⊥AD
又∵ABCD为菱形且∠DAB=60° ∴OB⊥AD
∵PO∩OB=O ∴AD⊥面POB
∵AD面PAD ∴面POB⊥面PAD …………………………………………6分
(2)∵面PAD⊥面ABCD且面PAD∩面ABCD=AD ∴PO⊥面ABCD
以O为坐标原点，分别以OA、OB、OP为x、y、z轴
建立空间直角坐标系
∴O(0,0,0)、P(0,0,)、B(0,,0)、C(-2,,0)
设=(0<λ<1) ∴M(-2λ,λ, (1-λ))
∵平面CBO的法向量为n1=(0,0,)
设平面MOB的法向量为n2=(x,y,z) ………………………………………………10分
∴ 取n2=(,0,)
∵二面角M—BO—C的大小为60°
∴= 解得λ=
∴存在M点使二面角M—BO—C等于60°，且= …………………………12分
20. 解：（I）依据及题设知
将代入，解得（舍去）
故C的离心率为. ……..4分
（Ⅱ）由题意，原点为的中点，∥轴，所以直线与轴的交点 是线段的中点，故，即
① …………………6分
由得。
设，由题意知，则
，即 …………………8分
代入C的方程，得。
将①及代入②得
解得，
故. …………………….12分
21. 21.(1)f´(x)=
1°若a=0 则f(x)=-3 无单调区间
2°若a>0 则当x∈(0,1)时 f´(x)>0 当x∈(1,+∞)时 f´(x)<0
∴f(x)在(0,1)递增 （1,+∞）递减
3°若a<0 f(x)在(0,1)递减 在(1,+∞)递增 ………………………..5分
(2)∵a=-1 ∴f(x)=-lnx+x-3
由(1)知f(x)在(1,+∞)递增∴f(x)>f(1)=-2 ∴f(x)+2>0 。……………….7分
(3)由(2)知当x∈(1,+∞)时 -lnx+x-1>0 ∴x-1>lnx
∵n≥2 ∴lnn<n-1 ∴0<< ….……….……………… 10分
∴··……<··……= ….……………….. 12分
22．（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲.
解：（Ⅰ）连接,由于是圆内接四边形，所以
又∽,即有
又由于，可得
由于是的平分线，所以,
从而...............5分
（Ⅱ）由条件知，设，则，
依据割线定理得,即
即，解得或（舍去），则...............10分
23.（1）
（2）

24.解：(1)证明：(a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd)2=(ad-bc)2≥0
∴(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2 ……………………………………………………5分
(2)由柯西不等式可得(12+12)[()2+()2]≥(+)2
∵a+b=1 ∴(+)210 ∴(+)max= ………10分
西安市第一中学高三自命题一数学（理科）试题（答案）
三、 选择题： DACBA BBACD CA
四、 填空题：
13. 120 14. 15. (0,9) 16.
三、解答题
17.解：(1)由已知，当n≥2时，an=1+3+5+…+ (2n-1) =n2
而a1=1也符合an=n2，
所以数列{an}的通项公式为an=n2(n∈N*，且1≤n≤2022) ………………………………………..6分
(2)由(1)知a1=1,a2=4,所以函数y=f(x)的最小正周期为1，所以ω=2π，
则f(x)=4sin(2πx+φ)
又函数y=f(x)的图象关于直线x=对称 所以+φ=kπ+(k∈z)
由于|φ|<，所以φ=，则f(x)=4sin(2πx+)
由于x∈[-,] ，所以-≤2πx+≤
所以-≤sin(2πx+)≤1
故函数f(x)=a2sin(ωx+φ)在区间[-,]上的值域是[-2,4] ……………………..12分
18．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设报考飞行员的人数为,前三小组的频率分别为,由条件可得:

解得 ——————4分
又由于，故 ——————6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：一个报考同学体重超过60公斤的概率为，所以X听从二项分布,
随机变量X的分布列为：
x
0
1
2
3
p

则 ……………………12分
(或: )
19.解：(1)∵PA=PD O为AD中点 ∴PO⊥AD
又∵ABCD为菱形且∠DAB=60° ∴OB⊥AD
∵PO∩OB=O ∴AD⊥面POB
∵AD面PAD ∴面POB⊥面PAD …………………………………………6分
(2)∵面PAD⊥面ABCD且面PAD∩面ABCD=AD ∴PO⊥面ABCD
以O为坐标原点，分别以OA、OB、OP为x、y、z轴
建立空间直角坐标系
∴O(0,0,0)、P(0,0,)、B(0,,0)、C(-2,,0)
设=(0<λ<1) ∴M(-2λ,λ, (1-λ))
∵平面CBO的法向量为n1=(0,0,)
设平面MOB的法向量为n2=(x,y,z) ………………………………………………10分
∴ 取n2=(,0,)
∵二面角M—BO—C的大小为60°
∴= 解得λ=
∴存在M点使二面角M—BO—C等于60°，且= …………………………12分
20. 解：（I）依据及题设知
将代入，解得（舍去）
故C的离心率为.
（Ⅱ）由题意，原点为的中点，∥轴，所以直线与轴的交点 是线段的中点，故，即
①
由得。
设，由题意知，则
，即
代入C的方程，得。
将①及代入②得
解得，
故.
21. 21.(1)f´(x)=
1°若a=0 则f(x)=-3 无单调区间
2°若a>0 则当x∈(0,1)时 f´(x)>0 当x∈(1,+∞)时 f´(x)<0
∴f(x)在(0,1)递增 （1,+∞）递减
3°若a<0 f(x)在(0,1)递减 在(1,+∞)递增 ………………………..5分
(2)∵a=-1 ∴f(x)=-lnx+x-3
由(1)知f(x)在(1,+∞)递增∴f(x)>f(1)=-2 ∴f(x)+2>0 。……………….7分
(3)由(2)知当x∈(1,+∞)时 -lnx+x-1>0 ∴x-1>lnx
∵n≥2 ∴lnn<n-1 ∴0<< ….……….……………… 10分
∴··……<··……= ….……………….. 12分
22．（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲.
解：（Ⅰ）连接,由于是圆内接四边形，所以
又∽,即有
又由于，可得
由于是的平分线，所以,
从而...............5分
（Ⅱ）由条件知，设，则，
依据割线定理得,即
即，解得或（舍去），则...............10分
23.（1）
（2）

24.解：(1)证明：(a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd)2=(ad-bc)2≥0
∴(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2 ……………………………………………………5分
(2)由柯西不等式可得(12+12)[()2+()2]≥(+)2
∵a+b=1 ∴(+)210 ∴(+)max= ………10分