2020年人教A版数学理(福建用)课时作业：第三章-第七节正弦定理和余弦定理.docx

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课时提升作业(二十三)
一、选择题
1.(2021·珠海模拟)△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=,A=,
cosB=,则b=(　　)
(A)　　 (B)　　 (C)　 　(D)
2.在△ABC中，若b=2asin B，则A等于( )
(A)30°或60° (B)45°或60°
(C)120°或60° (D)30°或150°
3.在△ABC中，(a,b,c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的外形为( )
(A)等边三角形
(B)直角三角形
(C)等腰三角形或直角三角形
(D)等腰直角三角形
4.在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c,若C=120°，c=a,则( )
(A)a＞b
(B)a＜b
(C)a=b
(D)a与b的大小关系不能确定
5.若满足条件C=60°,AB=,BC=a的△ABC有两个,那么a的取值范围是　
(　　)
(A)(1,) (B)(,)
(C)(,2) (D)(1,2)
6.(2021·福州模拟)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a2-b2=bc,sinC=2sinB,则A=　(　　)
(A)30°　　　(B)60°　　　(C)120°　　　(D)150°
二、填空题
7.(2021·龙岩模拟)在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C=2∶3∶4,则cos C=______.
8.(2021·泉州模拟)在△ABC中,BC=1，角B=若△ABC的面积等于则AC=______.
9.(2021·哈尔滨模拟)在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a,b,c，若
cos C=则c=　　　　.
三、解答题
10.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足csinA=acosC.
(1)求角C的大小.
(2)求sinA-cos(B+)的最大值,并求取得最大值时角A,B的大小.
11.(2021·山西高校附中模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos A=.
(1)求-cos 2A的值.
(2)若a=，求bc的最大值.
12.(力气挑战题)在△ABC中,A,B,C为三个内角,a,b,c为三条边, <C<且
(1)推断△ABC的外形.
(2)若|+|=2,求·的取值范围.

答案解析
1.【解析】选C.∵cosB=,
∴sinB=,∴
则
2.【解析】选D.由已知得sin B=2sin Asin B,
又∵A，B为△ABC的内角，
故sin B≠0，故sin A=,
∴A=30°或150°.
3.【思路点拨】将等式利用倍角公式及正弦定理转化为角的关系,再将sin A化为sin(B+C)开放可解.
【解析】选B.由已知及正弦定理得2sin Ccos2
=sin A+sin C,
即sin C(1+cos B)=sin A+sin C,
故sin Ccos B=sin A=sin(B+C)，
即sin Ccos B=sin Bcos C+cos Bsin C，
即sin Bcos C=0.
又∵sin B≠0，故cos C=0,
∴C=，∴△ABC为直角三角形.
【方法技巧】三角形外形推断技巧
三角形外形的推断问题是解三角形部分的一个重要题型，也是高考的热点问题，因而正确快速地推断是解题的关键.其基本技巧就是利用正、余弦定理快速实现边角互化，常规是边化角，再利用三角恒等变换公式结合三角形中角的关系正确推断三角形的外形.
4.【解析】选A.∵C=120°，c=a，
∴2a2=a2+b2-2abcos 120°，
∴a2=b2+ab,∴
∴a＞b.
5.【解析】选C.由正弦定理得:

∴a=2sinA.
∵C=60°,∴0°<A<120°.
又∵△ABC有两个,如图所示:
∴asin 60°<<a,
即<a<2.
6.【思路点拨】由题目中已知等式的形式,利用正、余弦定理求解.
【解析】选A.由及sinC=2sinB,
得c=2b,
∴cosA=
∵A为△ABC的内角,∴A=30°.
7.【解析】依据正弦定理a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C=2∶3∶4.
设a=2k，则b=3k,c=4k,
cos C=
答案：
8.【解析】S△ABC=BC·BAsin B=∴BA=4,
AC2=BC2+BA2-2BC·BAcos B=1+16-2×1×4×=13,∴
答案：
9.【解析】由得a·b·cos C= ,
即a·b=20,
又a+b=9,故c2=a2+b2-2abcos C=a2+b2-ab
=(a+b)2-ab=92-×20=36，
故c=6.
答案：6
10.【解析】(1)由正弦定理得sinCsinA=sinAcosC.
由于0<A<π,所以sinA>0.
从而sinC=cosC.
又sinC≠0,故cosC≠0,
所以tanC=1,
∵0<C<π,∴C=.
(2)方法一:由(1)知,B=-A,
于是sinA-cos(B+)=sinA-cos(π-A)
=sinA+cosA=2sin(A+).
由于0<A<,
所以<A+<.从而当A+=,即A=时,2sin(A+)取最大值2.
综上所述,sinA-cos(B+)的最大值为2,此时A=,B=.
方法二:由(1)知,A=π-(B+)
于是sinA-cos(B+)=sin(B+)-cos(B+)=2sin(B+).
由于0<B<,所以<B+<.
从而当B+=,即B=时,2sin(B+)取最大值2.
综上所述, sinA-cos(B+)的最大值为2,此时A=,B=.
【变式备选】在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C所对的边长,a=,b=,
1+2cos(B+C)=0,求边BC上的高.
【解析】由1+2cos(B+C)=0和B+C=π-A,得
1-2cosA=0,cosA=,sinA=.
由正弦定理,得sinB=
由b<a知B<A,所以B不是最大角,B<,
从而cosB== .
由上述结果知
sinC=sin(A+B)= ×(+).
设边BC上的高为h,则有h=bsinC=
11.【解析】(1) -cos 2A
=［1-cos(B+C)］-(2cos2A -1)
=(1+cos A)-(2cos2A-1)
=(1+)-(-1)
=.
(2)∵=cos A=,
∴bc=b2+c2-a2≥2bc-a2,
∴bc≤a2.
又∵a=,∴bc≤2.
当且仅当b=c=时，bc=2，故bc的最大值是2.
12.【解析】(1)由及正弦定理有:
sinB=sin 2C,∴B=2C或B+2C=π.
若B=2C,且<C<,
∴π<B<π,B+C>π(舍).
∴B+2C=π,则A=C,∴△ABC为等腰三角形.
(2)∵|+|=2,
∴a2+c2+2ac·cosB=4,
∵a=c,∴cosB=,而cosB=-cos 2C,
∴<cosB<1,∴1<a2<,
∴·=2-a2,
故·∈(,1).

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