资源描述
第5讲 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．函数f(x)＝sin，x∈R的最小正周期为 ( )
A. B．π C．2π D．4π
解析 最小正周期为T＝＝4π.
答案 D
2．(2021·济南模拟)将函数y＝cos 2x＋1的图象向右平移个单位，再向下平移1个单位后得到的函数图象对应的表达式为 ( )
A．y＝sin 2x B．y＝sin 2x＋2
C．y＝cos 2x D．y＝cos
解析 将函数y＝cos 2x＋1的图象向右平移个单位得到y＝cos 2＋1＝sin 2x＋1，再向下平移1个单位得到y＝sin 2x，故选A.
答案 A
3．(2022·浙江卷)为了得到函数y＝sin 3x＋cos 3x的图象，可以将函数y＝cos 3x的图象 ( )
A．向右平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向左平移个单位
解析 ∵y＝sin 3x＋cos 3x＝cos
＝cos，将y＝cos 3x的图象向右平移个单位即可得到y＝cos的图象，故选A.
答案 A
4．(2022·成都诊断)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，－<φ<)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是 ( )
A．2，－ B．2，－
C．4，－ D．4，
解析 由图象知f(x)的周期T＝2＝π，又T＝，ω>0，∴ω＝2.由于f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，－<φ<)的一个最高点为，故有2×＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，即φ＝2kπ－，又－<φ<，∴φ＝－，选A.
答案 A
5．(2022·福建卷)将函数y＝sin x的图象向左平移个单位，得到函数y＝f(x)的图象，则下列说法正确的是 ( )
A．y＝f(x)是奇函数
B．y＝f(x)的周期为π
C．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称
D．y＝f(x)的图象关于点对称
解析 将函数y＝sin x的图象向左平移个单位，得到函数y＝f(x)的图象，则y＝f(x)＝sin＝cos x．此函数为偶函数，周期为2π.由于f＝cos＝cos ＝0，所以y＝f(x)的图象关于点对称，故选D.
答案 D
二、填空题
6．将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y＝sin x的图象，则f ＝______．
即f(x)＝sin，
∴f ＝sin＝sin ＝.
答案
7．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为2，且过点，则函数解析式f(x)＝________．
解析 据已知两个相邻最高和最低点距离为2，可得＝2，解得T＝4，故ω＝＝，即f(x)＝sin，又函数图象过点，故f(2)＝sin＝－sin φ＝－，
又－≤φ≤，解得φ＝，故f(x)＝sin.
答案 sin
8．(2022·北京卷)设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0)．若f(x)在区间上具有单调性，且f ＝f ＝－f ，则f(x)的最小正周期为________．
解析 ∵f(x)在区间上具有单调性，
所以≥－，即T≥，又f ＝f ，
所以x＝和x＝均不是f(x)的对称轴，其对称轴应为x＝＝，又由于f ＝－f ，
且f(x)在区间上具有单调性，所以f(x)的一个对称中心的横坐标为＝，
故函数f(x)的最小正周期T＝4×＝π.
答案 π
三、解答题
9．(2021·景德镇测试)已知函数f(x)＝4cos x·sin＋a的最大值为2.
(1)求a的值及f(x)的最小正周期；
(2)在坐标系上作出f(x)在[0，π]上的图象．
解 (1)f(x)＝4cos xsin＋a＝4cos x·＋a＝sin 2x＋2cos2x＋a＝sin 2x＋cos 2x＋1＋a＝2sin＋1＋a的最大值为2，
∴a＝－1，最小正周期T＝＝π.
(2)列表：
x
0
π
2x＋
π
2π
f(x)＝2sin
1
2
0
－2
0
1
画图如下：
10．(2022·湖北卷)某试验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：
f(t)＝10－cost－sint，t∈[0，24)．
(1)求试验室这一天的最大温差；
(2)若要求试验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间试验室需要降温？
解 (1)由于f(t)＝10－2
＝10－2sin，又0≤t<24，
所以≤t＋<，－1≤sin≤1.
当t＝2时，sin＝1；
当t＝14时，sin＝－1.
于是f(x)在[0，24)上取得最大值12，取得最小值8.
故试验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.
(2)依题意，当f(t)>11时试验室需要降温．
由(1)得f(t)＝10－2sin，
故有10－2sin>11，
即sin<－.
又0≤t<24，因此<t＋<，即10<t<18.
所以在10时至18时试验室需要降温．
力气提升题组
(建议用时：25分钟)
11．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φφ|＜)的图象在y轴上的截距为1，在相邻两最值点(x0，2)，(x0＞0)上f(x)分别取得最大值和最小值．若函数g(x)＝af(x)＋b的最大值和最小值分别为6和2，则|a|＋b的值为 ( )
A．5 B．6 C．7 D．8
解析 由题意知A＝2，＝－x0＝，
∴T＝3，即＝3，又ω＞0，∴ω＝.
∴f(x)＝2sin，又函数f(x)过点(0，1)，代入得2sin φ＝1，而|φ|＜，∴φ＝，
∴f(x)＝2sin，g(x)＝af(x)＋b＝2asin＋b.
由得∴|a|＋b＝5.
答案 A
12．(2022·东北三省三校联考)函数f(x)＝sin(2x＋φ)向左平移个单位后是奇函数，则函数f(x)在上的最小值为 ( )
A．－ B．－
C. D.
解析 函数f(x)＝sin(2x＋φ)向左平移个单位后得到函数为
f ＝sin＝sin，由于此时函数为奇函数，所以＋φ＝kπ(k∈Z)，所以φ＝－＋kπ(k∈Z)．由于|φ|＜，所以当k＝0时，φ＝－，所以f(x)＝sin.当0≤x≤时，－≤2x－≤，即当2x－＝－时，函数f(x)＝sin有最小值为sin＝－.
答案 A
13．已知f(x)＝sin(ω>0)，f ＝f ，且f(x)在区间上有最小值，无最大值，则ω＝________．
解析 依题意，x＝＝时，y有最小值，
∴sin＝－1，∴ω＋＝2kπ＋(k∈Z)．
∴ω＝8k＋(k∈Z)，由于f(x)在区间上有最小值，无最大值，所以－≤，即ω≤12，令k＝0，
得ω＝.
答案
14．已知函数f(x)＝2sin xcos x＋2sin2x－1，x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的，再把所得到的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，求函数
y＝g(x)在区间上的值域．
解 (1)由于f(x)＝2sin xcos x＋2sin2x－1
＝sin 2x－cos 2x＝2sin，
∴函数f(x)的最小正周期为T＝π，
由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，
∴－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
∴f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
(2)函数y＝f(x)的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的，得到y＝2sin；
再把所得到的图象向左平移个单位长度，得到
g(x)＝2sin＝2sin＝2cos 4x，
当x∈时，4x∈，
所以当x＝0时，g(x)max＝2，当x＝－时，g(x)min＝－1.
∴y＝g(x)在区间上的值域为[－1，2].
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