《解析》四川省内江市2014-2015高一上学期期末数学试卷word版含解析教学提纲.doc

《解析》四川省内江市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷Word版含解析

四川省内江市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷

一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）
1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2，5}，B={2，3}，则∁u（A∪B）=（）
A． {1，3，4} B． {3，4} C． {3} D． {4}

2．（5分）函数y=的定义域为（）
A． （0，1） B． D．

3．（5分）下列四个函数y=2x2+1，y=x3，y=（）x，y=2sinx中，奇函数的个数是（）
A． 4 B． 3 C． 2 D． 1

4．（5分）已知sinα=﹣，cosα=﹣，则角α终边所在的象限是（）
A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限

5．（5分）一个扇形的弧长与面积的数值都是4，这个扇形的中心角的弧度数为（）
A． 4 B． 2 C． 3 D． 1

6．（5分）已知函数f（x）=，则f=（）
A． 9 B． ﹣ C． ﹣9 D．

7．（5分）当0＜x＜1时，则下列大小关系正确的是（）
A． x3＜3x＜log3x B． 3x＜x3＜log3x C． log3x＜x3＜3x D． log3x＜3x＜x3

8．（5分）若函数f（x）=（x﹣1）（x﹣3）+（x﹣3）（x﹣4）+（x﹣4）（x﹣1），则函数f（x）的两个零点分别位于区间（）
A． （1，3）和（3，4）内 B． （﹣∞，1）和（1，3）内 C． （3，4）和（4，+∞）内 D． （﹣∞，1）和（4，+∞）内

9．（5分）已知函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b）的图象如图所示，则函数g（x）=a﹣x+b的图象是（）

A． B． C． D．

10．（5分）已知函数f（x）=x2﹣6x+1，g（x）=﹣x2﹣2x+7，设H1（x）=max{f（x），g（x）}，H2（x）=min{f（x），g（x）}（其中max{p，q}表示p，q中的较大值，min{p，q}表示p、q中的较小值）记H1（x）的最小值为A，H2（x）的最大值为B，则A﹣B=（）
A． ﹣17 B． 17 C． ﹣16 D． 16

二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）
11．（5分）计算：（）﹣lg5+|lg2﹣1|=．

12．（5分）已知α∈（π，），cosα=﹣，则tanα=．

13．（5分）已知指数函数y=f（x）和幂函数y=g（x）的图象都过P（，2），如果f（x1）=g（x2）=4，那么x1+x2=．

14．（5分）若定义域为R的偶函数f（x）在（﹣∞，0]上单调递减，且f（1）=0，则不等式f（log2x）＞0的解集为．

15．（5分）已知定义在R上的函数f（x）的图象连续不断，若存在常数t（t∈R），使得f（x+t）+tf（x）=0对任意的实数x成立，则称f（x）是回旋函数，其回旋值为t，给出下列四个命题：
①函数f（x）=4为回旋函数，其回旋值t=﹣1；
②若y=ax（a＞0，且a≠1）为回旋函数，则回旋值t＞1；
③若f（x）=sinωx（ω≠0）为回旋函数，则其最小正周期不大于2；
④对任意一个回旋值为t（t≥0）的回旋函数f（x），函数f（x）均有零点．
其中正确的命题是（写出所有正确命题的序号）

三、解答题（共6小题，满分75分）
16．（12分）已知全集U=R，集合A={x|2＜x＜8}，B={x|x≥6}，求A∩B，A∪B，（∁uA）∩B．

17．（12分）已知角α顶点在坐标原点，始边为x轴非负半轴，终边经过点P（﹣3，4）．
（1）求sinα，tanα的值；
（2）若f（x）=，求f（α）的值．

18．（12分）已知奇函数f（x）=定义域为R，其中a，b为常数．
（1）求a，b的值；
（2）若函数g（x）=log2（bx2﹣3x+m）（m∈R）的定义域为R，求实数m的取值范围．

19．（12分）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
（Ⅰ）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；
（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•v（x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）．

20．（13分）已知f（x）=sinx，若将f（x）的图象先沿x轴向左平移个单位，再将所得图象上所有点横坐标不变，纵坐标伸长为原来的4倍，最后将所得图象上所有点横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象．
（1）求函数g（x）的解析式；
（2）求函数g（x）的单调区间；
（3）设函数h（x）=g（x）﹣k（∈）的零点个数为m，试求m关于k的函数解析式．

21．（14分）设函数fk（x）=xk+bx+c（k∈N*，b，c∈R），g（x）=logax（a＞0，且a≠1）
（1）若b+c=1，且fk（1）=g（），求a的值；
（2）记函数f2（x）在上的最大值为M，最小值为m，求M﹣m≤4时b的取值范围；
（3）判断是否存在大于1的实数a，使得对任意x1∈，都有x2∈满足等式g（x1）+g（x2）=p，且满足该等式的常数p的取值唯一？若存在，求出所有符合条件的a的值；若不存在，请说明理由．

四川省内江市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）
1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2，5}，B={2，3}，则∁u（A∪B）=（）
A． {1，3，4} B． {3，4} C． {3} D． {4}

考点： 交、并、补集的混合运算．
专题： 集合．
分析： 根据集合的基本运算进行求解即可．
解答： 解：∵A={1，2，5}，B={2，3}，
∴A∪B={1，2，3，5}，
则∁u（A∪B）={4}，
故选：C．
点评： 本题主要考查集合的基本运算，要求熟练掌握集合的交并补运算，比较基础．

2．（5分）函数y=的定义域为（）
A． （0，1） B． D．

考点： 函数的定义域及其求法．
专题： 计算题；函数的性质及应用．
分析： 由函数的解析式可直接得到不等式组，解出其解集即为所求的定义域，从而选出正确选项
解答： 解：由题意，自变量满足，解得0≤x＜1，即函数y=的定义域为
∴角α终边所在的象限是第三象限．
故选：C．
点评： 本题考查任意角的三角函数的定义，考查角α终边所在的象限的确定，属于基础题．

5．（5分）一个扇形的弧长与面积的数值都是4，这个扇形的中心角的弧度数为（）
A． 4 B． 2 C． 3 D． 1

考点： 弧度与角度的互化．
专题： 三角函数的求值．
分析： 利用弧长公式直接求解．
解答： 解：∵一个扇形的弧长与面积的数值都是4，
∴，解得R=2，
∴这个扇形的中心角的弧度数α===2．
故选：B．
点评： 本题考查扇形图心角的求法，是基础题，解题时要注意弧长公式的合理运用．

6．（5分）已知函数f（x）=，则f=（）
A． 9 B． ﹣ C． ﹣9 D．

考点： 函数的值．
专题： 函数的性质及应用．
分析： 利用分段函数的性质求解．
解答： 解：∵函数f（x）=，
∴f（）=log2=﹣2，
f=3﹣2=．
故选：D．
点评： 本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．

7．（5分）当0＜x＜1时，则下列大小关系正确的是（）
A． x3＜3x＜log3x B． 3x＜x3＜log3x C． log3x＜x3＜3x D． log3x＜3x＜x3

考点： 不等关系与不等式；对数值大小的比较．
专题： 函数的性质及应用．
分析： 因为0＜x＜1，所以可选取中间数0，1，利用对数函数、幂函数、指数函数的单调性即可比较出其大小．
解答： 解：∵0＜x＜1，∴log3x＜log31=0，0＜x3＜1，1=30＜3x，
∴，
故选C．
点评： 掌握对数函数、指数函数、幂函数的单调性是解题的前提．

8．（5分）若函数f（x）=（x﹣1）（x﹣3）+（x﹣3）（x﹣4）+（x﹣4）（x﹣1），则函数f（x）的两个零点分别位于区间（）
A． （1，3）和（3，4）内 B． （﹣∞，1）和（1，3）内 C． （3，4）和（4，+∞）内 D． （﹣∞，1）和（4，+∞）内

考点： 函数零点的判定定理．
专题： 计算题；函数的性质及应用．
分析： 由f（x）=（x﹣1）（x﹣3）+（x﹣3）（x﹣4）+（x﹣4）（x﹣1）可求f（1）、f（3）、f（4）；从而确定函数的零点的区间．
解答： 解：∵f（x）=（x﹣1）（x﹣3）+（x﹣3）（x﹣4）+（x﹣4）（x﹣1），
∴f（1）=（﹣2）×（﹣3）=6＞0，
f（3）=（3﹣4）（3﹣1）=﹣2＜0，
f（4）=（4﹣1）（4﹣3）=3＞0；
故f（1）f（3）＜0，f（3）f（4）＜0；
故函数f（x）的两个零点分别位于区间（1，3）和（3，4）内；
故选A．
点评： 本题考查了函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．

9．（5分）已知函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b）的图象如图所示，则函数g（x）=a﹣x+b的图象是（）

A． B． C． D．

考点： 函数的图象；指数函数的图像与性质．
专题： 函数的性质及应用．
分析： 由已知中函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）的图象可得：0＜a＜1，b＜﹣1，进而结合指数函数的图象和性质，可得答案．
解答： 解：由已知中函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）的图象可得：
0＜a＜1，b＜﹣1，
∴＞1，1+b＜0
∴g（x）=a﹣x+b=（）x+b
∴g（x）为增函数，且过定点（0，1+b）
故选：B
点评： 本题考查的知识点是指数函数的图象和性质，其中根据已知分析出0＜a＜1，b＜﹣1，是解答的关键．

10．（5分）已知函数f（x）=x2﹣6x+1，g（x）=﹣x2﹣2x+7，设H1（x）=max{f（x），g（x）}，H2（x）=min{f（x），g（x）}（其中max{p，q}表示p，q中的较大值，min{p，q}表示p、q中的较小值）记H1（x）的最小值为A，H2（x）的最大值为B，则A﹣B=（）
A． ﹣17 B． 17 C． ﹣16 D． 16

考点： 函数的最值及其几何意义．
专题： 计算题；作图题；函数的性质及应用．
分析： 化简f（x）﹣g（x）=2x2﹣4x﹣6=2（x﹣3）（x+1）；从而分段写出H1（x），H2（x）；从而求函数的最大值与最小值，从而求函数的最值．
解答： 解：由题意，f（x）﹣g（x）=2x2﹣4x﹣6=2（x﹣3）（x+1）；
故H1（x）=max{f（x），g（x）}
=，
结合二次函数的性质可得，
H1（x）在（﹣∞，3）上是减函数，在（3，+∞）上是增函数；
从而可得A=H1（3）=32﹣6×3+1=﹣8；
H2（x）=min{f（x），g（x）}
=，
H2（x）在（﹣∞，﹣1）上是增函数，在（﹣1，+∞）上是减函数；
从而可得B=H2（﹣1）=1+6+1=8；
故A﹣B=﹣16．
故选C．

点评： 本题考查了分段函数的最值的求法及应用，属于中档题．

二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）
11．（5分）计算：（）﹣lg5+|lg2﹣1|=．

考点： 有理数指数幂的化简求值；对数的运算性质．
专题： 函数的性质及应用．
分析： 利用指数与对数的运算法则即可得出．
解答： 解：原式=﹣lg5+1﹣lg2
=+1﹣1
=．
故答案为：．
点评： 本题考查了指数与对数的运算法则，属于基础题．

12．（5分）已知α∈（π，），cosα=﹣，则tanα=．

考点： 同角三角函数基本关系的运用．
专题： 三角函数的求值．
分析： 由α的范围，根据cosα的值，求出sinα的值，即可确定出tanα的值即可．
解答： 解：∵α∈（π，），cosα=﹣，
∴sinα=﹣=﹣，
则tanα==．
故答案为：．
点评： 此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．

13．（5分）已知指数函数y=f（x）和幂函数y=g（x）的图象都过P（，2），如果f（x1）=g（x2）=4，那么x1+x2=．

考点： 幂函数的概念、解析式、定义域、值域；指数函数的定义、解析式、定义域和值域．
专题： 待定系数法；函数的性质及应用．
分析： 根据题意，用待定系数法求出f（x）与g（x）的函数解析式，再由f（x1）=g（x2）=4，求出x1、x2的值即可．
解答： 解：设指数函数y=f（x）=ax（a＞0a≠1），
幂函数y=g（x）=xα（α），
∵图象都过P（，2），∴，
解得a=4，α=﹣1，
∴f（x）=4x，g（x）=x﹣1；
又f（x1）=g（x2）=4，
∴，
解得x1=1，x2=，
∴x1+x2=．
故答案为：．
点评： 本题考查了用待定系数法求函数解析式的应用问题，也考查了由函数值求自变量的应用问题，是基础题目．

14．（5分）若定义域为R的偶函数f（x）在（﹣∞，0]上单调递减，且f（1）=0，则不等式f（log2x）＞0的解集为（0，）∪（2，+∞）．

考点： 奇偶性与单调性的综合．
专题： 函数的性质及应用．
分析： 利用函数的奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化，然后解不等式即可．
解答： 解：∵偶函数f（x）在（﹣∞，0]上单调递减，
∴f（x）在
16．（12分）已知全集U=R，集合A={x|2＜x＜8}，B={x|x≥6}，求A∩B，A∪B，（∁uA）∩B．

考点： 交、并、补集的混合运算；并集及其运算；交集及其运算．
专题： 集合．
分析： 根据集合的基本运算进行求解即可．
解答： 解：∵A={x|2＜x＜8}，B={x|x≥6}，
∴A∩B={x|6≤x＜8}，
A∪B={x|x＞2}，
（∁uA）∩B={x|x≥8或x≤2}∩{x|x≥6}={x|x≥8}．
点评： 本题主要考查集合的基本运算，要求熟练掌握集合的交并补运算，比较基础．

17．（12分）已知角α顶点在坐标原点，始边为x轴非负半轴，终边经过点P（﹣3，4）．
（1）求sinα，tanα的值；
（2）若f（x）=，求f（α）的值．

考点： 同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值．
专题： 三角函数的求值．
分析： （1）由题意，利用任意角的三角函数定义求出sinα与cosα的值，即可确定出tanα的值即可；
（2）f（x）利用诱导公式化简，把x=α代入表示出f（α），将各自的值代入计算即可求出值．
解答： 解：（1）∵角α顶点在坐标原点，始边为x轴非负半轴，终边经过点P（﹣3，4），
∴sinα==，cosα=﹣=﹣，
则tanα==﹣；
（2）f（x）=，
则f（α）===﹣．
点评： 此题考查了同角三角函数基本关系的运用，以及运用诱导公式化简求值，熟练掌握基本关系及诱导公式是解本题的关键．

18．（12分）已知奇函数f（x）=定义域为R，其中a，b为常数．
（1）求a，b的值；
（2）若函数g（x）=log2（bx2﹣3x+m）（m∈R）的定义域为R，求实数m的取值范围．

考点： 函数的定义域及其求法；对数函数的定义域．
专题： 计算题；函数的性质及应用．
分析： （1）由f（x）为奇函数得f（0）=0，f（﹣1）=﹣f（1），解出a，b，再检验f（x）为奇函数即可；
（2）由（1）得g（x）=log2（x2﹣3x+m），又知其定义域为R，只要求x2﹣3x+m＞0，恒成立即可，即△＜0即可．
解答： 解：（1）∵f（x）是R上的奇函数，
∴
即，
解得，此时f（x）=，经检验可得f（﹣x）=﹣f（x），
故a=2，b=1．
（2）由（1）得g（x）=log2（x2﹣3x+m）
∵函数g（x）=log2（x2﹣3x+m）的定义域为R，
∴x2﹣3x+m＞0，恒成立即可，
∴△=9﹣4m＜0，
∴m＞，
故m取值范围为（，+∞）．
点评： 本题考查函数的奇偶性的判断和运用，考查奇函数的性质，函数的恒成立的问题，属于基础题．

19．（12分）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
（Ⅰ）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；
（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•v（x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）．

考点： 函数模型的选择与应用；基本不等式在最值问题中的应用．
专题： 应用题．
分析： （Ⅰ）根据题意，函数v（x）表达式为分段函数的形式，关键在于求函数v（x）在20≤x≤200时的表达式，根据一次函数表达式的形式，用待定系数法可求得；
（Ⅱ）先在区间（0，20]上，函数f（x）为增函数，得最大值为f=1200，然后在区间上用基本不等式求出函数f（x）的最大值，用基本不等式取等号的条件求出相应的x值，两个区间内较大的最大值即为函数在区间（0，200]上的最大值．
解答： 解：（Ⅰ） 由题意：当0≤x≤20时，v（x）=60；当20＜x≤200时，设v（x）=ax+b
再由已知得，解得
故函数v（x）的表达式为．

（Ⅱ）依题并由（Ⅰ）可得
当0≤x＜20时，f（x）为增函数，故当x=20时，其最大值为60×20=1200
当20≤x≤200时，
当且仅当x=200﹣x，即x=100时，等号成立．
所以，当x=100时，f（x）在区间在区间上取得最大值为，
即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．
答：（Ⅰ） 函数v（x）的表达式
（Ⅱ） 当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．
点评： 本题主要考查函数、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力，属于中等题．

20．（13分）已知f（x）=sinx，若将f（x）的图象先沿x轴向左平移个单位，再将所得图象上所有点横坐标不变，纵坐标伸长为原来的4倍，最后将所得图象上所有点横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象．
（1）求函数g（x）的解析式；
（2）求函数g（x）的单调区间；
（3）设函数h（x）=g（x）﹣k（∈）的零点个数为m，试求m关于k的函数解析式．

考点： 函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的图象．
专题： 数形结合；三角函数的图像与性质．
分析： （1）首先对函数的图象进行平移变换，进一步对函数图象进行伸缩变换，最后求出结果．
（2）由﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，可解得函数的单调增区间，由+2kπ≤2x+≤+2kπ，解得函数的单调减区间．
（3）由题意可得函数y=f（x）的图象和直线y=k在区间上的零点的个数为m，结合函数f（x）的图象可得结论．
解答： 解：（1）把函数y=sinx（x∈R）的图象上所有点向左平行移动个单位长度，所得图象的解析式是y=sin（x+），
再将所得图象上所有点横坐标不变，纵坐标伸长为原来的4倍，所得图象的解析式是y=4sin（x+），
最后将所得图象上所有点横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，所得图象的解析式是 g（x）=4sin（2x+），
故函数g（x）的解析式为：g（x）=4sin（2x+）．
（2）由﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，可解得：﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z
∴函数y=4sin（2x+）的单调增区间为，k∈Z．
由+2kπ≤2x+≤+2kπ，得+kπ≤x≤+kπ，k∈Z．
∴函数y=3sin（2x+）+1的单调减区间为，k∈Z．
（3）∵函数h（x）=g（x）﹣k（k∈）的零点的个数为m，
即函数y=g（x）的图象和直线y=k在区间上的零点的个数为m，结合函数f（x）的图象可得：
当k＞4，或 k＜﹣4时，m=0；
当k=4，或 k=﹣4时，m=1；
当﹣4＜k＜﹣2，或﹣2＜k＜4时，m=2；
当k=﹣2时，m=3．

点评： 本题主要考查三角函数的恒等变换，正弦函数的单调性，方程根的存在性及个数判断，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．

21．（14分）设函数fk（x）=xk+bx+c（k∈N*，b，c∈R），g（x）=logax（a＞0，且a≠1）
（1）若b+c=1，且fk（1）=g（），求a的值；
（2）记函数f2（x）在上的最大值为M，最小值为m，求M﹣m≤4时b的取值范围；
（3）判断是否存在大于1的实数a，使得对任意x1∈，都有x2∈满足等式g（x1）+g（x2）=p，且满足该等式的常数p的取值唯一？若存在，求出所有符合条件的a的值；若不存在，请说明理由．

考点： 函数恒成立问题．
专题： 计算题；分类讨论；函数的性质及应用．
分析： （1）由题意可得1+b+c=loga=2，从而解得；
（2）化简f2（x）=x2+bx+c，由二次函数的性质知，讨论对称轴以确定函数的最值，从而结合M﹣m≤4求b的取值范围；
（3）化简g（x1）+g（x2）=p为g（x1）=p﹣g（x2），从而可得⊆，从而由集合的包含关系得，从而解得．
解答： 解：（1）∵b+c=1，且f（1）=g（），
∴1+b+c=loga=2，
∴a=；
（2）f2（x）=x2+bx+c，
当对称轴x=﹣≤﹣1，即b≥2时，
M=f（1）=1+b+c，m=f（﹣1）=1﹣b+c，
M﹣m=2b≤4，
解得b≤2，
∴b=2．
当对称轴﹣1＜﹣≤0，即0≤b＜2时，
M=f（1）=1+b+c，m=f（﹣）=c﹣，
M﹣m=b+1+≤4，
解得﹣6≤b≤2，
∴0≤b＜2．
当对称轴0＜﹣＜1，即﹣2≤b＜0时，
M=f（﹣1）=1﹣b+c，m=f（﹣）=c﹣，
M﹣m=1﹣b+≤4，
解得﹣2≤b≤6，
∴﹣2＜b＜0．
当对称轴﹣≥1，即b≤﹣2时，
M=f（﹣1）=1﹣b+c，m=f（1）=1+b+c，
M﹣m=﹣2b≤4，
解得b≥﹣2，
∴b=﹣2．
综上所述：b的取值范围是．
（3）∵g（x1）+g（x2）=p，
∴g（x1）=p﹣g（x2），
又∵任意实数x1∈，都有x2∈，
∴⊆，
即⊆，
∴，
又∵满足该等式的常数p的取值唯一，
∴1+loga2=2，
解得，a=2．
点评： 本题考查了二次函数的性质应用及分类讨论的思想应用，同时考查了集合的关系应用，属于中档题．