2020年北师版数学文(陕西用)课时作业：第六章-第六节直接证明与间接证明.docx

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课时提升作业(三十九)
一、选择题
1.在证明命题“对于任意角θ,cos4θ-sin4θ=cos2θ”的过程:“cos4θ-sin4θ=(cos2θ+sin2θ)·(cos2θ-sin2θ)=cos2θ-sin2θ=cos2θ”中应用了　(　　)
(A)分析法
(B)综合法
(C)分析法和综合法综合使用
(D)间接证法
2.要证明a2+b2-1-a2b2≤0,只要证明　(　　)
(A)2ab-1-a2b2≤0 (B)a2+b2-1-≤0
(C)-1-a2b2≤0 (D)(a2-1)(b2-1)≥0
3.(2021·西安模拟)若a,b∈R,ab>0,则下列不等式中恒成立的是　(　　)
(A)a2+b2>2ab (B)a+b≥2
(C)+> (D)+≥2
4.(2021·宿州模拟)用反证法证明命题“a,b∈N,假如ab可被5整除,那么a,b至少有1个能被5整除”,则假设的内容是　(　　)
(A)a,b都能被5整除
(B)a,b都不能被5整除
(C)a不能被5整除
(D)a,b有一个不能被5整除
5.（2021·延安模拟）在不等边三角形ABC中,a为最大边,要想得到A为钝角的结论,三边a,b,c应满足的条件是　(　　)
(A)a2<b2+c2 (B)a2=b2+c2
(C)a2>b2+c2 (D)a2≤b2+c2
6.（2021·铜川模拟）若|loga|=loga,|logba|=-logba,则a,b满足的条件是
(　　)
(A)a>1,b>1 (B)0<a<1,b>1
(C)a>1,0<b<1 (D)0<a<1,0<b<1
7.(2021·长安模拟)若a>0,b>0,且a+b=1,则--的最大值为　(　　)
(A)-3 (B)-4 (C)- (D)-5
8.(2021·渭南模拟)设x，y，z>0，则三个数+，+，+(　　)
(A)都大于2 (B)至少有一个大于2
(C)至少有一个不小于2 (D)至少有一个不大于2
二、填空题
9.假如a+b>a+b,则a,b应满足的条件是　　　.
10.完成反证法证题的全过程.
已知:a1,a2,…,a7是1,2,…,7的一个排列.
求证:乘积P=(a1-1)(a2-2)…(a7-7)为偶数.
证明:假设P为奇数,则　　　　均为奇数,由于奇数个奇数之和为奇数,故有奇数=　　　　=　　　　=0,得出冲突,所以P为偶数.
11.已知f(1,1)=1,f(m,n)∈N+(m,n∈N+),且对任意的m,n∈N+都有:
(1)f(m,n+1)=f(m,n)+2.
(2)f(m+1,1)=2f(m,1).
给出以下三个结论:①f(1,5)=9;②f(5,1)=16;
③f(5,6)=26.其中正确结论的序号有　　　.
三、解答题
12.若x,y都是实数,且x+y>2.求证:<2与<2中至少有一个成立.
13.(2022·福建高考)某同学在一次争辩性学习中发觉,以下五个式子的值都等于同一个常数.
(1)sin213°+cos217°-sin 13°cos 17°.
(2)sin215°+cos215°-sin 15°cos 15°.
(3)sin218°+cos212°-sin 18°cos 12°.
(4)sin2(-18°)+cos248°-sin(-18°)cos 48°.
(5)sin2(-25°)+cos255°-sin(-25°)cos 55°.
①试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数.
②依据①的计算结果,将该同学的发觉推广为三角恒等式,并证明你的结论.
14.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)的图像与x轴有两个不同的交点.若f(c)=0,且0<x<c时,f(x)>0.
(1)证明:是函数f(x)的一个零点.
(2)试比较与c的大小.

答案解析
1.【解析】选B.从已知条件动身,推出要证的结论,满足综合法.
2.【解析】选D.a2+b2-1-a2b2≤0
⇔(a2-1)(b2-1)≥0.
3.【解析】选D.A中a2+b2≥2ab,B,C中,若a<0,b<0时不成立.
4.【解析】选B.该命题意思是说“a,b有能被5整除的”,所以反设应是“a,b都不能被5整除”.
5.【解析】选C.当A为钝角时,cosA<0,
因此<0,于是a2>b2+c2.
6.【思路点拨】先利用|m|=m,则m≥0,|m|=-m,则m≤0,将条件进行化简,然后利用对数函数的单调性即可求出a和b的范围.
【解析】选B.∵|loga|=loga,
∴loga≥0=loga1,依据对数函数的单调性可知0<a<1.
∵|logba|=-logba,
∴logba≤0=logb1,但b≠1,所以依据对数函数的单调性可知b>1.
7.【解析】选C.--=-(+)(a+b)=-(++)≤-(+2)=-,
当且仅当=,即a=,b=时取等号.
8.【解析】选C.∵(+)+(+)+(+)
=(+)+(+)+(+)≥2+2+2=6，
∴+，+，+中至少有一个不小于2.
【变式备选】设实数a，b，c满足a+b+c=1，则实数a，b，c中至少有一个不小于　　　.
【解析】假设a，b，c都小于，即a<，b<，c<，
则a+b+c<1，这与a+b+c=1冲突，因此实数a，b，c中至少有一个不小于.
答案:
9.【解析】a+b>a+b
⇔(-)2(+)>0⇔a≥0,b≥0,且a≠b.
答案：a≥0,b≥0且a≠b
10.【解析】第一个空应填:a1-1,a2-2,…,a7-7.
其次个空应填:(a1-1)+(a2-2)+…+(a7-7).
第三个空应填:(a1+a2+…+a7)-(1+2+…+7).
答案：a1-1,a2-2,…,a7-7　(a1-1)+(a2-2)+…+(a7-7)　(a1+a2+…+a7)-(1+2+…+7)
11.【解析】在(1)式中令m=1可得
f(1,n+1)=f(1,n)+2,
则f(1,5)=f(1,4)+2=…=9;
在(2)式中,由f(m+1,1)=2f(m,1)得,
f(5,1)=2f(4,1)=…=16f(1,1)=16,
从而f(5,6)=f(5,1)+10=26,故①②③均正确.
答案：①②③
12.【证明】假设<2与<2均不成立,
则≥2且≥2,
∴1+x≥2y且1+y≥2x,
∴2+x+y≥2x+2y,
∴x+y≤2,与已知x+y>2冲突,
∴<2与<2中至少有一个成立.
13.【解析】①选择(2)式计算如下sin215°+cos215°-
sin 15°cos 15°=1-sin 30°=.
②三角恒等式为sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)=.
证明如下:sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)
=sin2α+(cos 30°cosα+sin30°sinα)2-sinα(cos30°cosα+sin30°sinα)
=sin2α+cos2α+sinαcosα+sin2α-
sinαcosα-sin2α
=sin2α+cos2α=.
14.【解析】(1)∵f(x)的图像与x轴有两个不同的交点,
∴f(x)=0有两个不等实根x1,x2.
∵f(c)=0,
∴x1=c是f(x)=0的根.
又x1x2=,
∴x2=(≠c),
∴是f(x)=0的一个根,
即是函数f(x)的一个零点.
(2)假设<c,
∵>0,
由0<x<c时,f(x)>0,
知f()>0,这与f()=0冲突,∴≥c.
又∵≠c,∴>c.

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