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第4讲 数列求和
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．等差数列{an}的通项公式为an＝2n＋1，其前n项和为Sn，则数列的前10项的和为
( )
A．120 B．70
C．75 D．100
解析 由于＝n＋2，所以的前10项和为10×3＋＝75.
答案 C
2．已知函数f(n)＝且an＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100等于
( )
A．0 B．100
C．－100 D．10 200
解析 由题意，得a1＋a2＋a3＋…＋a100
＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012
＝－(1＋2)＋(3＋2)＋…－(99＋100)＋(101＋100)
＝－(1＋2…＋99＋100)＋(2＋3＋…＋100＋101)
＝－1＋101＝100.故选B.
答案 B
3．数列a1＋2，…，ak＋2k，…，a10＋20共有十项，且其和为240，则a1＋…＋ak＋…＋a10的值为
( )
A．31 B．120 C．130 D．185
解析 a1＋…＋ak＋…＋a10＝240－(2＋…＋2k＋…＋20)＝240－＝240－110＝130.
答案 C
4．(2021·台州质检)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1·an＝2n(n∈N*)，则S2 016＝
( )
A．22 016－1 B．3·21 008－3
C．3·21 008－1 D．3·21 007－2
解析 a1＝1，a2＝＝2，又＝＝2.
∴＝2.∴a1，a3，a5，…成等比数列；a2，a4，a6，…成等比数列，
∴S2 016＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋…＋a2 015＋a2 016
＝(a1＋a3＋a5＋…＋a2 015)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a2 016)
＝＋＝3·21 008－3.故选B.
答案 B
5．已知数列{an}：，＋，＋＋，…，＋＋＋…＋，…，若bn＝，那么数列{bn}的前n项和Sn为
( )
A. B. C. D.
解析 an＝＝，
∴bn＝＝＝4，
∴Sn＝4
＝4＝.
答案 B
二、填空题
6．在等差数列{an}中，a1>0，a10·a11<0，若此数列的前10项和S10＝36，前18项和S18＝12，则数列{|an|}的前18项和T18的值是________．
解析 由a1>0，a10·a11<0可知d<0，a10>0，a11<0，
∴T18＝a1＋…＋a10－a11－…－a18
＝S10－(S18－S10)＝60.
答案 60
7．(2021·湖州测试)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(－1)n(an＋1)，记Sn为{an}的前n项和，则S2 013＝________.
解析 由a1＝1，an＋1＝(－1)n(an＋1)可得a1＝1，a2＝－2，a3＝－1，a4＝0，该数列是周期为4的数列，所以S2 013＝503(a1＋a2＋a3＋a4)＋a2 013＝503×
(－2)＋1＝－1 005.
答案 －1 005
8．(2022·武汉模拟)等比数列{an}的前n项和Sn＝2n－1，
则a＋a＋…＋a＝________.
解析 当n＝1时，a1＝S1＝1，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1－(2n－1－1)＝2n－1，
又∵a1＝1适合上式．
∴an＝2n－1，∴a＝4n－1.
∴数列{a}是以a＝1为首项，以4为公比的等比数列．
∴a＋a＋…＋a＝＝(4n－1)．
答案 (4n－1)
三、解答题
9．(2022·济南模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝2S2＋4，a5＝36.
(1)求an，Sn；
(2)设bn＝Sn－1(n∈N*)，Tn＝＋＋＋…＋，求Tn.
解 (1)由于S3＝2S2＋4，所以a1－d＝－4，
又由于a5＝36，所以a1＋4d＝36.
解得d＝8，a1＝4，
所以an＝4＋8(n－1)＝8n－4，
Sn＝＝4n2.
(2)bn＝4n2－1＝(2n－1)(2n＋1)，
所以＝＝.
Tn＝＋＋＋…＋
＝
＝＝.
10．(2021·金华十校联考)已知{an} 是各项均为正数的等比数列，且a1·a2＝2，a3·a4＝32.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设数列{bn}的前n项和为Sn＝n2(n∈N*)，求数列{an·bn}的前n项和．
解 (1)设等比数列{an}的公比为q，由已知得
又∵a1＞0，q＞0，解得∴an＝2n－1.
(2)由Sn＝n2得Sn－1＝(n－1)2(n≥2)，
∴当n≥2时，bn＝Sn－Sn－1＝2n－1，
当n＝1时，b1＝1符合上式，
∴bn＝2n－1(n∈N*)，∴an·bn＝(2n－1)·2n－1.
Tn＝1＋3·21＋5·22＋…＋(2n－1)·2n－1，
2Tn＝1·2＋3·22＋5·23＋…＋(2n－3)·2n－1＋(2n－1)·2n，
两式相减得－Tn＝1＋2(2＋22＋…＋2n－1)－(2n－1)·2n＝－(2n－3)·2n－3，
∴Tn＝(2n－3)2n＋3.
力量提升题组
(建议用时：35分钟)
11．(2021·西安模拟)数列{an}满足an＋an＋1＝(n∈N*)，且a1＝1，Sn是数列{an}的前n项和，则S21＝
( )
A. B．6 C．10 D．11
解析 依题意得an＋an＋1＝an＋1＋an＋2＝，则an＋2＝an，即数列{an}中的奇数项、偶数项分别相等，则a21＝a1＝1，S21＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a19＋a20)＋a21＝10(a1＋a2)＋a21＝10×＋1＝6，故选B.
答案 B
12．(2021·温州十校联考)已知函数f(n)＝n2cos(nπ)，且an＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100＝
( )
A．－100 B．0
C．100 D．10 200
解析 若n为偶数，则an＝f(n)＋f(n＋1)＝n2－(n＋1)2＝－(2n＋1)，为首项为a2＝－5，公差为－4的等差数列；若n为奇数，则an＝f(n)＋f(n＋1)＝－n2＋(n＋1)2＝2n＋1，为首项为a1＝3，公差为4的等差数列．所以a1＋a2＋a3＋…＋a100＝(a1＋a3＋…＋a99)＋(a2＋a4＋…＋a100)
＝50×3＋×4＋50×(－5)－×4＝－100.
答案 A
13．(2021·湖南卷)设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝(－1)nan－，n∈N*，则：
(1)a3＝________；
(2)S1＋S2＋…＋S100＝________.
解析 ∵an＝Sn－Sn－1＝(－1)nan－－(－1)n－1an－1＋，
∴an＝(－1)nan－(－1)n－1an－1＋.
当n为偶数时，an－1＝－，
当n为奇数时，2an＋an－1＝，
∴当n＝4时，a3＝－＝－.
依据以上{an}的关系式及递推式可求．
a1＝－，a3＝－，a5＝－，a7＝－，
a2＝，a4＝，a6＝，a8＝.
∴a2－a1＝，a4－a3＝，a6－a5＝，…，
∴S1＋S2＋…＋S100＝(a2－a1)＋(a4－a3)＋…＋(a100－a99)－
＝－
＝.
答案 (1)－ (2)
14．若Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列．
(1)求等比数列S1，S2，S4的公比；
(2)若S2＝4，求数列{an}的通项公式；
(3)在(2)的条件下，设bn＝，Tn是数列{bn}的前n项和，求使得Tn<对全部n∈N*都成立的最小正整数m.
解 (1)由于{an}为等差数列，设{an}的公差为d(d≠0)，
所以S1＝a1，S2＝2a1＋d，S4＝4a1＋6d.
由于S1，S2，S4成等比数列且设其公比为q，
所以S1·S4＝S.
所以a1(4a1＋6d)＝(2a1＋d)2.所以2a1d＝d2.
由于公差d≠0.所以d＝2a1.
所以q＝＝＝4.
(2)由于S2＝4，所以2a1＋d＝4.
又d＝2a1，所以a1＝1，d＝2.所以an＝2n－1.
(3)由于bn＝＝，所以
Tn＝＝<.
要使Tn<对全部n∈N*都成立，
则有≥，即m≥30.
由于m∈N*，所以m的最小值为30.
15．在数列{an}中，a1＝－5，a2＝－2，记A(n)＝a1＋a2＋…＋an，B(n)＝a2＋a3＋…＋an＋1，C(n)＝a3＋a4＋…＋an＋2(n∈N*)，若对于任意n∈N*，A(n)，B(n)，C(n)成等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{|an|}的前n项和．
解 (1)依据题意A(n)，B(n)，C(n)成等差数列，
∴A(n)＋C(n)＝2B(n)，
整理得an＋2－an＋1＝a2－a1＝－2＋5＝3，
∴数列{an}是首项为－5，公差为3的等差数列，
∴an＝－5＋3(n－1)＝3n－8.
(2)|an|＝
记数列{|an|}的前n项和为Sn.
当n≤2时，Sn＝＝－＋n；
当n≥3时，Sn＝7＋＝－n＋14，
综上，Sn＝
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