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第四节 基本不等式
时间：45分钟 分值：100分
一、选择题
1．已知a，b∈R，且ab≠0，则下列结论恒成立的是( )
A．a＋b≥2 B.＋≥2
C.≥2 D．a2＋b2>2ab
解析 当a，b都是负数时，A不成立，当a，b一正一负时，B不成立，当a＝b时，D不成立，因此只有C是正确的．
答案 C
2．设a，b∈R，已知命题p：a2＋b2≤2ab；命题q：2≤，则p是q成立的( )
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析 命题p：(a－b)2≤0⇔a＝b；命题q：(a－b)2≥0.明显，由p可得q成立，但由q不能推出p成立，故p是q的充分不必要条件．
答案 B
3．下列不等式：①a2＋1>2a；②≤2；③x2＋≥1，其中正确的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
解析 ①②不正确，③正确，x2＋＝(x2＋1)＋－1≥2－1＝1.
答案 B
4．已知a＋b＝t(a>0，b>0)，t为常数，且ab的最大值为2，则t的值为( )
A．2 B．4
C．2 D．2
解析 当a>0，b>0时，有ab≤＝，当且仅当a＝b＝时取等号．∵ab的最大值为2，∴＝2，t2＝8，∴t＝＝2.
答案 C
5．(2021·湖北黄冈月考)设a>1，b>0，若a＋b＝2，则＋的最小值为( )
A．3＋2 B．6
C．4 D．2
解析 由a＋b＝2可得，(a－1)＋b＝1.
由于a>1，b>0，所以＋＝(a－1＋b)＝＋＋3≥2＋3.
当且仅当＝，即a＝，b＝2－时取等号．
答案 A
6．(2022·湖北八校联考)若x，y∈(0,2]且xy＝2，使不等式a(2x＋y)≥(2－x)(4－y)恒成立，则实数a的取值范围为( )
A．a≤ B．a≤2
C．a≥2 D．a≥
解析 由x，y∈(0,2]且xy＝2，
得a≥＝＝－2.又由2x＋y≥2＝4，∴a≥.
答案 D
二、填空题
7．已知函数f(x)＝4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a＝________.
解析 由于x>0，a>0，f(x)＝4x＋≥4.
此时当4x＝时，f(x)取得最小值4，即a＝4x2.
∴a＝4×32＝36.
答案 36
8．(2022·福建卷)要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________元．
解析 设容器的底长x米，宽y米，则xy＝4.
所以y＝，则总造价为：
f(x)＝20xy＋2(x＋y)×1×10＝80＋＋20x
＝20＋80，x∈(0，＋∞)．
所以f(x)≥20×2 ＋80＝160，
当且仅当x＝，即x＝2时，等号成立．
所以最低总造价是160元．
答案 160
9．(2022·陕西卷)设a，b，m，n∈R，且a2＋b2＝5，ma＋nb＝5，则 的最小值为________．
解析 由柯西不等式，可得(a2＋b2)(m2＋n2)≥(am＋bn)2，所以5(m2＋n2)≥25.
所以m2＋n2≥5，即≥，当且仅当an＝bm时，等号成立．
故的最小值为.
答案
三、解答题
10．(1)求函数y＝x(a－2x)(x>0，a为大于2x的常数)的最大值；
(2)已知x>0，y>0，lgx＋lgy＝1，求z＝＋的最小值．
解 (1)∵x>0，a>2x，
∴y＝x(a－2x)＝×2x(a－2x)≤×2＝，
当且仅当x＝时取等号，故函数的最大值为.
(2)由已知条件lgx＋lgy＝1，可得xy＝10.
则＋＝≥＝2.
∴min＝2.
当且仅当2y＝5x，即x＝2，y＝5时等号成立．
11．(2022·新课标全国卷Ⅰ)若a>0，b>0，且＋＝.
(1)求a3＋b3的最小值；
(2)是否存在a，b，使得2a＋3b＝6？并说明理由．
解 (1)由＝＋≥，得ab≥2，且当a＝b＝时等号成立．
故a3＋b3≥2≥4，且当a＝b＝时等号成立．所以a3＋b3的最小值为4.
(2)由(1)知，2a＋3b≥2≥4.
由于4>6，从而不存在a，b，使得2a＋3b＝6.
1．若正数a，b满足＋＝1，则＋的最小值为( )
A．1 B．6
C．9 D．16
解析 方法一：由于＋＝1，所以a＋b＝ab⇒(a－1)(b－1)＝1，所以＋≥
2 ＝2×3＝6.
方法二：由于＋＝1，所以a＋b＝ab，
所以＋＝＝b＋9a－10＝(b＋9a)－10≥16－10＝6.
方法三：由于＋＝1，所以a－1＝，
所以＋＝(b－1)＋≥2＝2×3＝6.
答案 B
2．在实数集R中定义一种运算“*”，对任意a，b∈R，a*b为唯一确定的实数，且具有性质：
(1)对任意a∈R，a*0＝a；
(2)对任意a，b∈R，a*b＝ab＋(a*0)＋(b*0)．
则函数f(x)＝(ex)*的最小值为( )
A．2 B．3
C．6 D．8
解析 依题意可得f(x)＝(ex)*＝ex·＋ex＋＝ex＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当x＝0时“＝”成立，所以函数f(x)＝(ex)*的最小值为3，选B.
答案 B
3．(2021·山东淄博期末)若实数a，b，c满足2a＋2b＝2a＋b,2a＋2b＋2c＝2a＋b＋c，则c的最大值是________．
解析 由基本不等式得2a＋2b≥2＝2×2，即2a＋b≥2×2，所以2a＋b≥4.令t＝2a＋b，由2a＋2b＋2c＝2a＋b＋c可得2a＋b＋2c＝2a＋b·2c，所以2c＝＝1＋，由t≥4，得1<≤，即1<2c≤，所以0<c≤log2＝2－log23，故答案为2－log23.
答案 2－log23
4．为了响应国家号召，某地打算分批建设保障性住房供应社会．首批社会用100万元购得一块土地，该土地可以建筑每层1 000平方米的楼房，楼房的每平方米建筑费用与建筑高度有关，楼房每上升一层，整层楼每平方米建筑费用提高20元．已知建筑第5层楼房时，每平方米建筑费用为800元．
(1)若建筑第x层楼时，该楼房综合费用为y万元(综合费用是建筑费用与购地费用之和)，写出y＝f(x)的表达式；
(2)为了使该楼房每平方米的平均综合费用最低，应把楼层建成几层？此时平均综合费用为每平方米多少元？
解 (1)由题意知建筑第1层楼房每平方米建筑费用为720元，
建筑第1层楼房建筑费用为720×1 000＝720 000(元)＝72(万元)，
楼房每上升一层，整层楼建筑费用提高
20×1 000＝20 000(元)＝2(万元)，
建筑第x层楼房的建筑费用为
72＋(x－1)×2＝2x＋70(万元)，
建筑第x层楼时，该楼房综合费用为
y＝f(x)＝72x＋×2＋100＝x2＋71x＋100，
综上可知y＝f(x)＝x2＋71x＋100(x≥1，x∈Z)．
(2)设该楼房每平方米的平均综合费用为g(x)，则g(x)＝＝＝＝10x＋＋710≥2 ＋710＝910.
当且仅当10x＝，即x＝10时等号成立．
综上可知应把楼层建成10层，此时平均综合费用最低，为每平方米910元．
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