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高二第一学期数学期中复习题（1）
1．抛物线的焦点坐标为 ．
2．在平面直角坐标系中，若点在直线的上方（不含边界），则实数a的取值范围是 ．
3．双曲线的渐近线方程为 ．
4． 设变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝2x＋y的最大值为 ．
5．不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围是 ．
6．已知点，，则向量的坐标为 .
7．已知直线的方向向量分别为，若，则实数= ．
8．设集合，，则 .
9．已知正数满足，则的最小值为 .
10．过椭圆的左顶点A且斜率为的直线交椭圆于另一点，且点在轴上的射影恰为右焦点,若，则椭圆的离心率的取值范围是 .
11．已知直线平面，直线平面，则直线的位置关系是 .
12．如图，在正方体中，分别为棱的中点，给出下列对线段所在直线：①与；②与;③与.其中，是异面直线的对数共有 对.
13．已知是三条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题：
①若，，则； ②若，，则；
③若，，，则； ④若，则.
其中真命题是_ __.（写出全部真命题的序号）．
14．已知圆M的圆心在直线上，且过点、．
（1）求圆M的方程；
（2）设P为圆M上任一点，过点P向圆O：引切线，切点为Q．摸索究：
平面内是否存在肯定点R，使得为定值？若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说
明理由．
15．已知命题：任意，，命题：函数在上单调递减．
（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；
（2）若和均为真命题，求实数的取值范围．
16．已知顶点在原点，焦点在轴上的抛物线过点.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）若抛物线与直线交于、两点，求证：.
17．如图，四棱锥S﹣ABCD的底面为正方形，SD⊥平面ABCD，SD=AD=2，请建立空间直角坐标系解决下列问题．
S
D
C
B
A
（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值．
18．已知抛物线与椭圆有公共焦点，且椭圆过点.
（1）求椭圆方程；
（2）点、是椭圆的上下顶点，点为右顶点，记过点、、的圆为⊙，过点作⊙ 的切线，求直线的方程；
（3）过椭圆的上顶点作相互垂直的两条直线分别交椭圆于另外一点、，试问直线是否经过定点，若是，求出定点坐标；若不是，说明理由.
19．已知数集，其中，且，若对（），与两数中至少有一个属于，则称数集具有性质．
（Ⅰ）分别推断数集与数集是否具有性质，说明理由；
（Ⅱ）已知数集具有性质，推断数列是否为等差数列，若是等差数列，请证明；若不是，请说明理由．
参考答案
1．（1，0）
【解析】
试题分析：由抛物线的焦点坐标为得：（1，0）
考点：抛物线的焦点
2．
【解析】
试题分析：由题意得：当时，，即
考点：不等式表示区域
3．
【解析】
试题分析：由题意得：双曲线的渐近线方程为即.
考点：双曲线的渐近线方程
4．5
【解析】
试题分析：约束条件表示一个三角形ABC及其内部，其中因此直线过点时，目标函数z＝2x＋y取最大值为5.
考点：线性规划
5．
【解析】
试题分析：由题意得：令再令则当且仅当时取等号，所以
考点：不等式恒成立问题
6．
【解析】
试题分析：若已知向量的起点和终点坐标，则向量的坐标是其终点相应坐标减去起点坐标，由于点，，则向量的坐标为．
考点：本题考查的重点是向量的坐标和起终点坐标的关系．
7．
【解析】
试题分析：若直线，则其方向向量，所以，由于，所以，得到．
考点：本题考查的学问点是直线的相互垂直与其方向向量的关系，以及向量数量积的运算．
8．
【解析】
试题分析：集合,,所以.
考点：本题考查的主要学问点是不等式的解法以及集合的基本运算．
9．
【解析】
试题分析：由于，所以，当且仅当，即时，取得最小值，最小值为．
考点：本题主要考查了对于基本不等式的把握．
10．
【解析】
试题分析：由题意可知，点的坐标为，点的坐标为，所以直线的斜率，由于，所以，从而得到离心率的取值范围为．
考点：本题主要考查了椭圆的几何性质以及离心率的定义．
11．垂直.
【解析】
试题分析：依据线面平行与垂直的性质来求.
考点：线面垂直与平行的性质应用.
12．
【解析】
试题分析：有异面直线的定义可知，异面直线的只有②与;③与两组.
考点：异面直线的概念.
13．①④
【解析】
试题分析：依据线面平行，线线垂直，面面垂直的判定与性质，可以得到①④是正确的.
考点：线线、线面、面面平行与垂直的判定与性质.
14．（1），（2）存在点或满足题意．
【解析】
试题分析：（1）求圆的标准方程，关键在于确定圆心.圆心必在两点、连线段的中垂线：上，又在直线上，所以圆心为，半径为，因此圆方程为，（2）存在性问题，一般从假设存在动身，将存在是否转化为对应方程是否有解. 设，，则，即，又，，故，，又设为定值，故，可得，解得或综上，存在点或满足题意．
试题解析：解：（1）圆M：；
（2）设，，则，即，
又，，
故，，
又设为定值，故，
可得，解得或，
综上，存在点或满足题意．
考点：圆的方程，圆的切线长
15．（1）；（2）．
【解析】
试题分析：对于命题,要使得对于任意，恒成立，只需小于或等于的最小值；对于命题，要使函数在上单调递减，只需，从而得到的取值范围．
试题解析:（1）当为真命题时，有恒成立，只需小于或等于的最小值，所以，即实数的取值范围．
（2）当为真命题时，有，结合（1）取交集，有实数的取值范围．
考点：本题考查了圆锥曲线的标准方程的把握,以及对于复合命题真假性关系的推断.
16．(1) ；（2）．
【解析】
试题分析：(1)由题意可知，抛物线的开口向右，所以可设抛物线的标准方程为：，由于抛物线过点，从而求出方程；（2）设出两点坐标，联立直线和抛物线的方程，化简整理为一元二次方程，依据韦达定理写出两根之和与两根之积，由斜率公式写出,利用两根和与两根之积求出其乘积．
试题解析：(1)设抛物线的标准方程为：，由于抛物线过点，所以，
解得，所以抛物线的标准方程为：．
（2）设、两点的坐标分别为，由题意知：
消去得: ，依据韦达定理知：，
所以，
考点：本题主要考查了抛物线的标准方程，以及直线与抛物线的位置关系，考查了方程的思想方法.
17．（1）详见解析；（2）．
【解析】
试题分析：(1) 建立以为坐标原点，所在的直线分别为轴的空间直角坐标系，写出和的坐标，计算其数量积即可证明垂直；（2）取平面的法向量，利用向量和的数量积，计算向量和的夹角，转化为线面角．
试题解析：(1)建立以为坐标原点，所在的直线分别为轴的空间直角坐标系，
则,,,，
,，
，
．
（2）取平面ADS的一个法向量为,则
，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
考点：本题主要考查了空间向量在立体几何中的应用．
18．（1）；（2）或；（3）．
【解析】
试题分析：（1）由题目给出的条件直接求解的值，则可求出椭圆方程；（2）当所求直线斜率不存在时，其方程为，符合题意；当直线斜率存在时，可设其斜率为，写出直线的点斜式方程，由于直线与圆相切，所以依据圆心到直线的距离等于圆的半径可直接求得直线的斜率，从而得到方程；（3）由题意可知，两直线的斜率都存在，设AP： ，代入椭圆的方程从而求出点的坐标，同理再求出点的坐标，从而可求出直线的方程，由方程可知当时，恒成立，所以直线恒过定点．
试题解析：
(1)，则c=2, 又，得
∴所求椭圆方程为 ．
(2)M,⊙M:，直线l斜率不存在时，，
直线l斜率存在时，设为，
∴，解得，
∴直线l为或 ．
（3）明显，两直线斜率存在, 设AP： ，
代入椭圆方程，得，解得点，
同理得，直线PQ：，
令x=0，得，∴直线PQ过定点．
考点：本题考查了椭圆的标准方程，考查了椭圆的简洁几何性质，考查了直线和圆锥曲线的关系，突出考查了数形结合、分类争辩、函数与方程、等价转化等数学思想方法．
19．（Ⅰ）不具有性质；具有性质．
（Ⅱ）构成等差数列．
【解析】
试题分析：（Ⅰ）由于和都不属于集合，所以该集合不具有性质；
由于、、、、、、、、、都属于集合，所以该数集具有性质． 4分
（Ⅱ）具有性质，所以与中至少有一个属于，
由，有，故，，故．
，，故．
由具有性质知，，又，
，即 ……①
由知，，，…，，均不属于，
由具有性质，，，…，，均属于，
，而，
，，，…，即 ……②
由①②可知，即（）．
故构成等差数列． 10分
考点：本题主要考查集合的概念，等差数列的证明。
点评：难题，本题属于新定义问题，关键是理解好赐予的解题信息，并机敏地进行应用。（2）证明数列是等差数列的方法，不同于常见方法，令人难以想到。
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