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课时提升作业(二十三)
对数函数的图像和性质
(30分钟 50分)
一、选择题(每小题3分,共18分)
1.函数y=loga(x-1)(0<a<1)的图像大致是( )
【解析】选A.函数y=loga(x-1)的图像可由函数y=logax的图像向右平移一个单位长度得到.故选A.
2.(2022·南昌高一检测)函数y=log12(2x-1)的定义域为( )
A.12,+∞ B.[1,+∞)
C.12,1 D.(-∞,1)
【解析】选C.由题意可知2x-1>0,log12(2x-1)≥0,解得x>12,0<2x-1≤1.故12<x≤1.
【变式训练】已知f(2x)的定义域为[1,2],则f(log2x)的定义域为( )
A.[0,1] B.[1,2]
C.[2,4] D.[4,16]
【解析】选D.当1≤x≤2时,2≤2x≤4,由于f(2x)的定义域为[1,2],所以函数f(x)的定义域为[2,4],所以2≤log2x≤4,解得4≤x≤16.所以函数f(log2x)的定义域为[4,16].
3.(2022·福州高一检测)函数f(x)=log2(3x+1)的值域为( )
A.(0,+∞) B.[0,+∞)
C.(1,+∞) D.[1,+∞)
【解题指南】先求3x+1的范围,再借助函数的单调性求其值域.
【解析】选A.3x>0⇒3x+1>1⇒log2(3x+1)>log21=0,选A.
4.(2022·长春高一检测)设a=lge,b=(lge)2,c=lge,则( )
A.a>b>c B.a>c>b
C.c>a>b D.c>b>a
【解析】选B.由1>lge>0,知a>b,
又c=12lge,cb=12lge=lg10lge=loge10>1,
所以c>b,lge>12lge,a>c.
所以a>c>b.选B.
5.(2022·重庆高一检测)设0<a<1,在同始终角坐标系中,函数y=a-x与y=loga(-x)的图像可能是( )
【解析】选D.由y=loga(-x)的定义域为(-∞,0)知,
图像应在y轴左侧,可排解A,C选项.
又0<a<1,y=a-x是增函数,y=loga(-x)也是增函数,从而排解B,选D.
6.若点(a,b)在y=lgx图像上,a≠1,则下列点也在此图像上的是( )
A.1a,b B.(10a,1-b)
C.10a,b+1 D.(a2,2b)
【解题指南】解答本题的关键是验证四个点的坐标是否符合y=lgx.
【解析】选D.若点(a,b)在y=lgx的图像上,则b=lga,所以2b=2lga=lga2,即(a2,2b)也在函数y=lgx的图像上.
【举一反三】本题条件不变,若(100a,y1),(100a,y2)在该函数图像上,试用b表示y1,y2.
【解析】由于lg100a=2-lga=2-b,所以y1=2-b,
由于lg(100a)=2+lga=2+b,所以y2=2+b.
二、填空题(每小题4分,共12分)
7.若loga3<loga4,则a的取值范围是 .
【解析】由于loga3<loga4,结合对数函数的单调性可知,a的取值范围是a>1.
答案：1,+∞
【变式训练】已知logm7<logn7<0,则m,n,0,1间的大小关系是 .
【解析】由于logm7<logn7<0,所以0>log7m>log7n.
又由于y=log7x在(0,1)内递增且函数值小于0,
所以0<n<m<1.
答案：0<n<m<1
8.(2022·淮北高一检测)函数f(x)=loga(x-1)+1(a>0,a≠1)恒过定点 .
【解析】由f(2)=loga1+1=1得f(x)恒过定点(2,1).
答案：(2,1)
9.(2022·台州高一检测)函数f(x)=log(a-1)x在其定义域上是减函数,则a的取值范围为 .
【解析】由题意可知0<a-1<1,所以1<a<2.
答案：1<a<2
三、解答题(每小题10分,共20分)
10.比较下列各题中两个值的大小：
(1)ln0.3,ln2.
(2)log3π,logπ3.
(3)loga3.1,loga5.2(a>0,a≠1).
【解题指南】(1)构造对数函数y=lnx,利用函数的单调性推断.(2)构造对数函数,并借助中间量推断.(3)需对底数a分类争辩.
【解析】(1)由于函数y=lnx是增函数,且0.3<2,
所以ln0.3<ln2.
(2)由于函数y=log3x是增函数,且π>3,
所以log3π>log33=1,
同理1=logππ>logπ3,
所以log3π>logπ3.
(3)当a>1时,函数y=logax在(0,+∞)上是增函数,
又3.1<5.2,所以loga3.1<loga5.2;
当0<a<1时,函数y=logax在(0,+∞)上是减函数,
又3.1<5.2,所以loga3.1>loga5.2.
【拓展延长】利用对数函数的图像比较大小
(1)比较同底数的两个对数值的大小.例如,比较logaf(x)与logag(x)的大小,其中a>0且a≠1.
①若a>1,f(x)>0,g(x)>0,则
logaf(x)>logag(x)⇔f(x)>g(x);
logaf(x)<logag(x)⇔f(x)<g(x).
②若0<a<1,f(x)>0,g(x)>0,则
logaf(x)>logag(x)⇔f(x)<g(x);
logaf(x)<logag(x)⇔f(x)>g(x).
(2)比较同真数的两个对数值的大小.例如,比较logaf(x)与logbf(x)的大小,其中a>b>0,a≠1,b≠1.
①若a>b>1,如图：
当f(x)>1时,logbf(x)>logaf(x);
当0<f(x)<1时,logaf(x)>logbf(x).
②若1>a>b>0,如图：
当f(x)>1时,logbf(x)>logaf(x);
当0<f(x)<1时,logaf(x)>logbf(x).
③若a>1>b>0,
当f(x)>1时,则logbf(x)<0<logaf(x);
当0<f(x)< 1时,则logaf(x)<0<logbf(x).
11.(2022·烟台高一检测)解不等式loga(2x+3)>loga(5x-6).
【解题指南】分“a>1”和“0<a<1”分别求解.
【解析】原不等式等价于loga(2x+3)>loga(5x-6),2x+3>0,5x-6>0,
①当a>1时,2x+3>5x-6,2x+3>0,5x-6>0,
解得65<x<3.
②当0<a<1时,2x+3<5x-6,2x+3>0,5x-6>0,
解得x>3.
综上所得,当a>1时,原不等式的解集为x65<x<3.
当0<a<1时,原不等式的解集为{x|x>3}.
【变式训练】求不等式log12(x+1)≥log2(2x+1)的解集.
【解析】原不等式化为：
log2(x+1)log212≥log2(2x+1),
所以-log2(x+1)≥log2(2x+1),
所以log2(2x+1)+log2(x+1)≤0,
即2x+1>0,x+1>0,(2x+1)(x+1)≤1,
所以x>-12,x>-1,-32≤x≤0.
故原不等式的解集为x -12<x≤0.
(30分钟 50分)
一、选择题(每小题4分,共16分)
1.(2022·郑州高一检测)下列各项中表示同一个函数的是( )
A.y=2log2x与y=log2x2
B.y=10lgx与y=lg10x
C.y=x与y=xlogxx
D.y=x与y=lnex
【解析】选D.对于A中两个函数的定义域不同,因此不是同一个函数.同样B,C中两个函数的定义域也都不同.
【误区警示】本题在求解时经常因忽视自变量的范围致误.
2.(2022·景德镇高一检测)设a=log123,b=130.2,c=213,则( )
A.a<b<c B.c<b<a
C.c<a<b D.b<a<c
【解析】选A.由于log123<0,0<130.2<1,213>1,
所以c>b>a,选A.
3.(2022·三明高一检测)设函数f(x)=21-x,x≤1,1-log2x,x>1,则满足f(x)≤2的x的取值范围是( )
A.[-1,2] B.[0,2]
C.[1,+∞) D.[0,+∞)
【解题指南】依据不同的范围求解不等式f(x)≤2,最终取其并集便可.
【解析】选D.当x≤1时,由21-x≤2,得1-x≤1,即x≥0,
所以0≤x≤1.当x>1时,由1-log2x≤2,得log2x≥-1,
即x≥12,所以x>1.
综上,满足f(x)≤2的x的取值范围是[0,+∞).
4.(2022·武汉高一检测)已知a>0且a≠1,则函数y=logax和y=(a-1)x2在同一坐标系中的图像可能是( )
【解题指南】分a>1和0<a<1两类,分别逐一验证四个选项.
【解析】选A.对于选项A,由对数函数是增加的可知a>1,则a-1>0,所以二次函数的图像开口向上,故A正确,C错误;
对于选项B,由对数函数是削减的可知0<a<1,则a-1<0,所以二次函数的图像开口向下,故B错误;
对于选项D,对数函数的图像错误,故D错误.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.已知定义在实数集R上的偶函数f(x)在区间[0,+∞)上是增加的,若f(1)<f(lgx),则x的取值范围是 .
【解析】由已知得f(x)在(-∞,0]上是削减的,
且f(-1)=f(1),
故lgx>1或lgx<-1,解得x>10或0<x<110,
所以x的取值范围为0,110∪(10,+∞).
答案：0,110∪(10,+∞)
6.(2022·宜春高一检测)已知函数f(x)=12x,x≥4,f(x+1),x<4,则f(2+log23)= .
【解析】由于f(2+log23)=f(2+log23+1)
=f(3+log23)=123+log23
=123·12log23=124.
答案：124
三、解答题(每小题12分,共24分)
7.(2022·临沂高一检测)已知函数y=
(log2x-2)log4x-12,2≤x≤8.
(1)令t=log2x,求y关于t的函数关系式,并写出t的范围.
(2)求该函数的值域.
【解题指南】利用换元,把对数运算转化为二次函数问题,然后借助单调性求值域.
【解析】(1)y=(log2x-2)log4x-12
=(log2x-2)12log2x-12,
令t=log2x,得y=12(t-2)(t-1)=12t2-32t+1,
又2≤x≤8,
所以1=log22≤log2x≤log28=3,
即1≤t≤3.
(2)由(1)得y=12t-322-18,
1≤t≤3,结合数轴可得,
当t=32时,ymin=-18;
当t=3时,ymax=1,所以-18≤y≤1,
即函数的值域为-18,1.
【拓展延长】求函数y=logafx值域的方法
(1)先令u=f(x),并求f(x)的值域.
(2)结合u>0,求出u的取值范围,不妨设为[m,n](m>0).
(3)①若a>1,则函数y=logaf(x)的值域为logam,logan;
②若0<a<1,则函数y=logaf(x)的值域为logan,logam.
【变式训练】(2022·福建高一检测)已知a>0,a≠1且loga3>loga2,若函数f(x)=logax在区间[a,3a]上的最大值与最小值之差为1.
(1)求a的值.
(2)若1≤x≤3,求函数y=(logax)2-logax+2的值域.
【解析】(1)由于loga3>loga2,所以a>1,
所以y=logax在[a,3a]上为增函数,
所以loga(3a)-logaa=1,即loga3=1,
所以a=3.
(2)由于1≤x≤3,所以0≤log3x≤1,
由于函数y=(log3x)2-log3x+2
=(log3x)2-12log3x+2
=log3x-142+3116,
所以所求函数的值域为3116,52.
8.(2022·天津高一检测)已知函数f(x)=loga(ax-1)(a>0且a≠1)
(1)求f(x)的定义域.
(2)争辩f(x)的单调性.
(3)x为何值时,函数值大于1.
【解析】(1)f(x)=loga(ax-1)有意义,
应满足ax-1>0即ax>1.
当a>1时,x>0,当0<a<1时,x<0,
因此,当a>1时,函数f(x)的定义域为{x|x>0};
0<a<1时,函数f(x)的定义域为{x|x<0}.
(2)当a>1时y=ax-1为增函数,
因此y=loga(ax-1)为增函数;
当0<a<1时y=ax-1为减函数,
因此y=loga(ax-1)为增函数.
综上所述,y=loga(ax-1)为增函数.
(3)a>1时f(x)>1即ax-1>a,
所以ax>a+1,所以x>loga(a+1).
0<a<1时,f(x)>1即0<ax-1<a,
所以1<ax<a+1,所以loga(a+1)<x<0.
【变式训练】(2022·延庆高一检测)已知函数f(x)=loga(1+x),g(x)=loga(1+kx),其中a>0且a≠1.
(1)当k=-2时,求函数h(x)=f(x)+g(x)的定义域.
(2)若函数H(x)=f(x)-g(x)是奇函数(不为常函数),求实数k的值.
【解析】(1)由题意知1+x>0,1-2x>0,解得-1<x<12,
所以当k=-2时,函数h(x)=f(x)+g(x)的定义域为-1,12.
(2)H(x)=f(x)-g(x)
=loga(1+x)-loga(1+kx),其中a>0且a≠1.
由于H(x)为奇函数,所以H(x)+H(-x)=0,
即loga(1+x)-loga(1+kx)+loga(1-x)-loga(1-kx)=0,
即loga(1-x2)=loga(1-k2x2),
所以1-x2=1-k2x2,
所以k=±1,
当k=1时,H(x)=0与题设不为常函数冲突.
当k=-1时,H(x)=loga(1+x)-loga(1-x),其中a>0且a≠1.
定义域为(-1,1),且H(-x)=-H(x),
所以H(x)为奇函数.
所以k=-1.
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