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充分条件与必要条件教材点拨
一、充分条件
图1-1
×
B
A
C
命题的条件和结论是构成命题的两个部分，并且条件和结论可以相互转化。当一个命题为假命题时，可以说条件不能推出结论；而当命题为真命题时，可以说由此条件能推出结论。所以一个命题从条件和结论的角度看，条件与结论有着确定的关系，即：由条件能否推出结论？假如由命题的条件能推出结论，那么命题就是真命题，此时条件就叫结论的充分条件。
物理模型的直观解释：如图1-2-1 电路图，当开关A闭合时，灯泡B亮，而当灯泡B亮时，开关A却不愿定是闭合的；即要使灯泡B亮，只要开关A闭合着一个条件就够了，我们就称“开关A闭合”是“灯泡B亮”的充分条件。
一般地，“若，则”是一个真命题，是指由通过推理可以得出，即由可推出，记作，那么，就称条件是结论的充分条件（sufficient condition）。
“若，则”是一个真命题，是指由通过推理可以得出，即由可推出，记作，那么，就称是的充分条件（sufficient condition）。
例如：①，那么，“”是“”成立的充分条件；②，那么，“”是“”成立的充分条件；③三边对应相等的两个三角形全等：“三边对应相等”是“两个三角形全等”的充分条件；④“”是函数为幂函数的充分条件；
警示：充分条件就是某一个结论成立应当具备的条件，当命题具备此条件时，就可以得出此结论，或者要是此结论成立，只要具备此条件就够了，而当命题不具备此条件时，结论也有可能成立。例如，当时，成立，但是，当时，也可以成立，即时，也成立，所以，是成立的充分条件，也是成立的充分条件。
【例】仿照示例改写下列命题，并推断条件是否为充分条件：
示例：若，则，可以改写成：；是充分条件；
（1）个位数字是0的自然数能被5整除；
（2）对角线相等的四边形是矩形；
（3）与同一平面所成的角相等的两条直线平行；
（4）若定义域为的函数为奇函数，则
解：（1）个位数字是0的自然数这个自然数能被5整除；是充分条件；
（2）四边形的对角线相等这个四边形是矩形；不是充分条件；
（3）两条直线与同一平面所成的角相等这两条直线平行；不是充分条件；
（4）定义域为的函数为奇函数；是充分条件。
点拨:本例还是练习命题的条件和结论，同时推断此命题的真假，由命题的真假可以推断条件是否为充分条件，当命题为真时，条件是充分条件；当命题为假时，条件不是充分条件。
针对性练习：
下列各题中，哪些是的充分条件：
（1）：且，：；
（2）：，：；
（3）：，：；
（4）：直线∥平面，，：∥。
解：（1）是的充分条件；（2）是的充分条件；（3）不是的充分条件；（4）不是的充分条件；
点拨：可以用两种方法推断：（一）推断命题的真假，如（4）是命题假如一条直线与一个平面平行，那么这条直线与这个平面内的任意一条直线都平行，是假命题；
（二）由：（1）由于且所以，即；
（2）由得：代入得：=右边；
B
×
A
C
图1-2
（3）观看，式子的正负是由和两个式子的符号确定的，不能由一个式子的符号确定。
二、必要条件
如图1-2 电路图，当开关A闭合时，灯泡B不愿定亮，但是当开关A不闭合时，灯泡B确定不亮；当灯泡B亮时，可以知道开关A确定是闭合的；所以要使灯泡B亮，开关A必需是闭合的，我们称开关A闭合是灯泡B亮的必要条件。
一般地，“若，则”是一个真命题，是指由通过推理可以得出，即由可推出，记作“”那么，结论是条件的必要条件（necessary condition）。
“若，则”是一个真命题，是指由通过推理可以得出，即由可推出，记作“”，那么，就称是的必要条件（necessary condition）。
警示：由必要条件的定义可以看出，必要条件与充分条件是一个真命题的两种说法：①真命题的条件是充分条件，②真命题的结论是条件的必要条件，即假如此结论不成立，那么条件也就不成立。
假命题的条件不是命题结论成立的充分条件，但是有可能是必要条件，例如，命题：“若：，则：”是假命题，不是的充分条件；由，所以是的必要条件。
【例】已知命题“若：，则：无实数根”，试推断是的什么条件？是的什么条件？
解： 是的充分条件，不是必要条件，是的必要条件，不是充分条件。
点拨：方法（一）方程无实数根，所以，所以当时，方程无实数根，是的充分条件，是的必要条件，又由于由不能推出，所以由不能推出，不是的充分条件，不是的必要条件。
方法（二）命题“：，：无实数根”等价于“：，：”，由于，所以命题“若：，则：”为真命题，命题“若：，则：”是假命题，由命题的真假来推断充分条件和必要条件。
针对性练习：
推断下列各命题中，是的什么条件？是的什么条件？
（1）：，：；
（2）：，：；
（3）：，：直线与直线相互垂直；（4）：，：
解：（1）是的充分条件，不是必要条件，是必要条件，不是充分条件；
（2）是的必要条件，不是充分条件，是充分条件，不是必要条件；
（3）是的充分条件，不是必要条件，是必要条件，不是充分条件；
（4）是的必要条件，不是充分条件，是充分条件，不是必要条件；
点拨：（1）（2）依据不等式的性质可以推断；（3）（4）验证法和直接推导相结合。
三、充要条件
利用下列电路图，我么可以形象的理解充分条件、必要条件、充要条件：
如图1-3的四个电路图甲、乙、丙、丁，开关为A，C，灯泡为B，将“开关的闭合”作为条件，“灯泡亮”作为结论
×
B
甲
B
×
A
C
乙
×
B
丙
×
B
A
C
丁
图1-3
图乙中，开关A闭合时，灯泡B不愿定亮，即由开关A闭合，不能推出灯泡B亮，但是当灯泡B亮时，开关A确定是闭合的，即由灯泡B亮，确定能推知开关A闭合，我们称“开关A闭合”是“灯泡B亮”的必要不充分条件；
图丁中，“开关A闭合”不能推知“灯泡B亮”，即由开关A闭合，不能推出灯泡B亮，而当灯泡B亮时，也不能确定开关A是否闭合，即由灯泡B亮，也不能推知开关A闭合，所以，我们称“开关A闭合”是“灯泡B亮”的既不充分也不必要条件。
图甲，请同学们画出开关A，C，，使得当开关A闭合时，灯泡B亮，而当灯泡B亮时，开关A不愿定闭合，即由开关A闭合，能推知灯泡B亮，由灯泡B亮，推知开关A不愿定是闭合，此时称“开关A闭合”是“灯泡B亮”的充分也不必要条件；
图丙，请同学们画出开关A，使得开关A闭合，则灯泡B亮；灯泡B亮时，开关A闭合，即“开关A闭合”是“灯泡B亮”的充分必要条件，简称为充要条件。
再如，已知：数列是等差数列，：对任意的，有（常数）。我们知道，由，且，所以既是的充分条件，又是的必要条件；我们就称是的充分必要条件，简称充要条件。我们还可以发觉，既是的充分条件，又是必要条件，所以也是的充要条件。
一般地，假如既有，又有，就记作：
此时，我们说，是的充分必要条件，简称充要条件（sufficient and necessary condition）,明显，假如是的充要条件，那么也是的充要条件。
概括地说，假如，那么与互为充要条件。
引申与思考：（1）命题成立的条件一共可以分为四种条件：①充分不必要条件，即但是；②必要不充分条件：但是；③充要条件：且；④既不充分也不必要的条件：即且。
（2）充要条件的意义是：是的充要条件就是“有，则必成立；无，则必不成立”，简记为“有之必有果，无之则无果”。
（3）推断四种条件的步骤是：第一步，分清条件是什么，结论是什么；其次步，尝试用条件推结论（证明充分性），再尝试用结论（作为条件）去推条件（证明必要性）。其中列举反例法是得出不具有充分性和必要性的重要方法。第三步，得出条件是结论的什么条件。
（4）图甲，将两个开关A，C并联后与灯泡B串联；图丙，
【例】推断下列条件，是的什么条件？
（1）△中，Ｍ是的中点，：，：
（2）：若函数过原点，：
（3）：，：直线与圆相切
（4）已知为在同一平面内的非零向量。：，：
解：（1）（2）的是的充要条件；（3）是的充分不必要条件；（4）是的必要不充分条件，
点拨：（1）（2）需要推断充分性和必要性，分两步来证明。
（3）当时，直线与圆也相切；
（4）需要娴熟的向量学问，由于，
所以，所以只要在上的投影相等，不愿定有，例如，而，仍有。当时，与相等，，所以有。
针对性练习：
下列命题中：
（１）△中，，垂足为Ｄ，：，：，则是的充要条件；
（2）“”是“”的必要条件；
（3）“”是“”的充要条件；
（4）“”是“”的充要条件；真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
解：Ｂ
点拨：命题（1）为平面几何题，（4）是不等式的性质，从充分性和必要性两个方面易验证。（2）把握了不等式的性质可以推断；娴熟了实数的运算结果也可以推断，例如，，，所以是既不充分也不必要条件；
（3），例如，时，有，反之，，由于由得：，所以，是必要不充分条件。
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