2020-2021学年北师大版高中数学必修一课时作业(二十三)-3.5.3.docx

温馨提示：
此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调整合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。
课时提升作业(二十三)
对数函数的图像和性质

(30分钟　50分)
一、选择题(每小题3分,共18分)
1.函数y=loga(x-1)(0∞,1)
【解析】选C.由题意可知2x-1>0,log12(2x-1)≥0,解得x>12,0<2x-1≤1.故12的值域为(　　)
A.(0,+∞) B.[0,+∞)
C.(1,+∞) D.[1,+∞)
【解题指南】先求3x+1的范围,再借助函数的单调性求其值域.
【解析】选A.3x>0⇒3x+1>1⇒log2(3x+1)>log21=0,选A.
4.(2022·长春高一检测)设a=lge,b=(lge)2,c=lge,则(　　)
A.a>b>c B.a>c>b
C.c>a>b D.c>b>a
【解析】选B.由1>lge>0,知a>b,
又c=12lge,cb=12lge=lg10lge=loge10>1,
所以c>b,lge>12lge,a>c.
所以a>c>b.选B.
5.(2022·重庆高一检测)设0选D.若点(a,b)在y=lgx的图像上,则b=lga,所以2b=2lga=lga2,即(a2,2b)也在函数y=lgx的图像上.
【举一反三】本题条件不变,若(100a,y1),(100a,y2)在该函数图像上,试用b表示y1,y2.
【解析】由于lg100a=2-lga=2-b,所以y1=2-b,
由于lg(100a)=2+lga=2+b,所以y2=2+b.
二、填空题(每小题4分,共12分)
7.若loga31.
答案：1,+∞
【变式训练】已知logm7log7m>log7n.
又由于y=log7x在(0,1)内递增且函数值小于0,
所以00,a≠1)恒过定点　　　　.
【解析】由f(2)=loga1+1=1得f(x)恒过定点(2,1).
答案：(2,1)
9.(2022·台州高一检测)函数f(x)=log(a-1)x在其定义域上是减函数,则a的取值范围为　　　　　　.
【解析】由题意可知0所以10,a≠1).
【解题指南】(1)构造对数函数y=lnx,利用函数的单调性推断.(2)构造对数函数,并借助中间量推断.(3)需对底数a分类争辩.
【解析】(1)由于函数y=lnx是增函数,且0.3<2,
所以ln0.33,
所以log3π>log33=1,
同理1=logππ>logπ3,
所以log3π>logπ3.
(3)当a>1时,函数y=logax在(0,+∞)上是增函数,
又3.1<5.2,所以loga3.1loga5.2.
【拓展延长】利用对数函数的图像比较大小
(1)比较同底数的两个对数值的大小.例如,比较logaf(x)与logag(x)的大小,其中a>0且a≠1.
①若a>1,f(x)>0,g(x)>0,则
logaf(x)>logag(x)⇔f(x)>g(x);
logaf(x)f(x)>0,g(x)>0,则
logaf(x)>logag(x)⇔f(x)g(x).
(2)比较同真数的两个对数值的大小.例如,比较logaf(x)与logbf(x)的大小,其中a>b>0,a≠1,b≠1.
①若a>b>1,如图：

当f(x)>1时,logbf(x)>logaf(x);
当0logbf(x).
②若1>a>b>0,如图：

当f(x)>1时,logbf(x)>logaf(x);
当0logbf(x).
③若a>1>b>0
当f(x)>1时,则logbf(x)<0loga(5x-6).
【解题指南】分“a>1”和“0loga(5x-6),2x+3>0,5x-6>0,
①当a>1时,2x+3>5x-6,2x+3>0,5x-6>0,
解得650,5x-6>0,
解得x>3.
综上所得,当a>1时,原不等式的解集为x65<x<3.
当03}.
【变式训练】求不等式log12(x+1)≥log2(2x+1)的解集.
【解析】原不等式化为：
log2(x+1)log212≥log2(2x+1),
所以-log2(x+1)≥log2(2x+1),
所以log2(2x+1)+log2(x+1)≤0,
即2x+1>0,x+1>0,(2x+1)(x+1)≤1,
所以x>-12,x>-1,-32≤x≤0.
故原不等式的解集为x    -12数的是(　　)
A.y=2log2x与y=log2x2
B.y=10lgx与y=lg10x
C.y=x与y=xlogxx
D.y=x与y=lnex
【解析】选D.对于A中两个函数的定义域不同,因此不是同一个函数.同样B,C中两个函数的定义域也都不同.
【误区警示】本题在求解时经常因忽视自变量的范围致误.
2.(2022·景德镇高一检测)设a=log123,b=130.2,c=213,则(　　)
A.a1,
所以c>b>a,选A.
3.(2022·三明高一检测)设函数f(x)=21-x,x≤1,1-log2x,x>1,则满足f(x)≤2的x的取值范围是(　　)
A.[-1,2] B.[0,2]
C.[1,+∞) D.[0,+∞)
【解题指南】依据不同的范围求解不等式f(x)≤2,最终取其并集便可.
【解析】选D.当x≤1时,由21-x≤2,得1-x≤1,即x≥0,
所以0≤x≤1.当x>1时,由1-log2x≤2,得log2x≥-1,
即x≥12,所以x>1.
综上,满足f(x)≤2的x的取值范围是[0,+∞).
4.(2022·武汉高一检测)已知a>0且a≠1,则函数y=logax和y=(a-1)x2在同一坐标系中的图像可能是(　　)

【解题指南】分a>1和01,则a-1>0,所以二次函数的图像开口向上,故A正确,C错误;
对于选项B,由对数函数是削减的可知0
且f(-1)=f(1),
故lgx>1或lgx<-1,解得x>10或0≤8.
(1)令t=log2x,求y关于t的函数关系式,并写出t的范围.
(2)求该函数的值域.
【解题指南】利用换元,把对数运算转化为二次函数问题,然后借助单调性求值域.
【解析】(1)y=(log2x-2)log4x-12
=(log2x-2)12log2x-12,
令t=log2x,得y=12(t-2)(t-1)=12t2-32t+1,
又2≤x≤8,
所以1=log22≤log2x≤log28=3,
即1≤t≤3.
(2)由(1)得y=12t-322-18,
1≤t≤3,结合数轴可得,
当t=32时,ymin=-18;
当t=3时,ymax=1,所以-18≤y≤1,
即函数的值域为-18,1.
【拓展延长】求函数y=logafx值域的方法
(1)先令u=f(x),并求f(x)的值域.
(2)结合u>0,求出u的取值范围,不妨设为[m,n](m>0).
(3)①若a>1,则函数y=logaf(x)的值域为logam,logan;
②若00,a≠1且loga3>loga2,若函数f(x)=logax在区间[a,3a]上的最大值与最小值之差为1.
(1)求a的值.
(2)若1≤x≤3,求函数y=(logax)2-logax2的值域.
【解析】(1)由于loga3>loga2,所以a>1,
所以y=logax在[a,3a]上为增函数,
所以loga(3a)-logaa=1,即loga3=1,
所以a=3.
(2)由于1≤x≤3,所以0≤log3x≤1,
由于函数y=(log3x)2-log3x+2
=(log3x)2-12log3x+2
=log3x-142+3116,
所以所求函数的值域为3116,52.
8.(2022·天津高一检测)已知函数f(x)=loga(ax-1)(a>0且a≠1)
(1)求f(x)的定义域.
(2)争辩f(x)的单调性.
(3)x为何值时,函数值大于1.

【解析】(1)f(x)=loga(ax-1)有意义,
应满足ax-1>0即ax>1.
当a>1时,x>0,当01时,函数f(x)的定义域为{x|x>0};
01时y=ax-1为增函数,
因此y=loga(ax-1)为增函数;
当01时f(x)>1即ax-1>a,
所以ax>a+1,所以x>loga(a+1).
01即0x-10且a≠1.
(1)当k=-2时,求函数h(x)=f(x)+g(x)的定义域.
(2)若函数H(x)=f(x)-g(x)是奇函数(不为常函数),求实数k的值.
【解析】(1)由题意知1+x>0,1-2x>0,解得-10且a≠1.
由于H(x)为奇函数,所以H(x)+H(-x)=0,
即loga(1+x)-loga(1+kx)+loga(1-x)-loga(1-kx)=0,
即loga(1-x2)=loga(1-k2x2),
所以1-x2=1-k2x2,
所以k=±1,
当k=1时,H(x)=0与题设不为常函数冲突.
当k=-1时,H(x)=loga(1+x)-loga(1-x),其中a>0且a≠1.
定义域为(-1,1),且H(-x)=-H(x),
所以H(x)为奇函数.
所以k=-1.
关闭Word文档返回原板块