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双基限时练(十三)
1．双曲线C的实轴长和虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线C的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析 依题意a＋b＝c，a＝2，又a2＋b2＝c2，解得b＝2，又焦点在y轴上，∴双曲线方程为－＝1.
答案 B
2．双曲线－＝1的两条渐近线相互垂直，那么该双曲线的离心率为( )
A．2 B.
C. D.
解析 依题意知，双曲线的渐近线方程为y＝±x，
∴a＝b，∴c2＝2a2，∴＝2，∴e＝.
答案 C
3．已知双曲线－＝1和椭圆＋＝1(a＞0，m＞b＞0)的离心率互为倒数，那么以a，b，m为边长的三角形肯定是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
解析 记e1＝，e2＝，又e1·e2＝1，
∴＝1，化简得b2(m2－a2－b2)＝0，
∵b2>0，∴m2－a2－b2＝0，即m2＝a2＋b2，
∴以a，b，m为边长的三角形肯定是直角三角形．
答案 B
4．双曲线与椭圆＋＝1有相同的焦点，它的一条渐近线为y＝－x，则双曲线方程为( )
A．x2－y2＝96 B．y2－x2＝100
C．x2－y2＝80 D．y2－x2＝24
解析 由题意知，c＝＝4，a＝b，∴2a2＝c2＝48，∴a2＝24，故所求双曲线方程为y2－x2＝24.
答案 D
5．已知定点A，B，且|AB|＝4，动点P满足|PA|－|PB|＝3，则|PA|的最小值是( )
A. B.
C. D．5
解析 由双曲线的定义及性质知，动点P的轨迹是双曲线的一支，且A，B为焦点，c＝2，a＝，∴|PA|的最小值为a＋c＝.
答案 C
6．已知双曲线－＝1的离心率为，则n＝________.
解析 依题意知a2＝n，b2＝12－n，又e＝，∴e2＝＝＝＝3，∴n＝4.
答案 4
7．过双曲线－＝1左焦点F1的直线交双曲线的左支于M，N两点，F2为其右焦点，则|MF2|＋|NF2|－|MN|＝________.
解析 由双曲线的定义知|MF2|－|MF1|＝4，|NF2|－|NF1|＝4，∴|MF2|＋|NF2|－|MF1|－|NF1|＝|MF2|＋|NF2|－|MN|＝8.
答案 8
8．若双曲线＋＝1的离心率为2，则k的值为__________．
解析 依题意知k＋4<0，∴k<－4，又e＝＝2，
∴e2＝＝＝4，∴k＝－31.
答案 －31
9．求与双曲线－＝1共渐近线且过点A(2，－3)的双曲线方程．
解 设与双曲线－＝1
共渐近线的双曲线方程为－＝λ(λ≠0)．
∵A(2，－3)在双曲线上，
∴λ＝－＝－.
∴所求双曲线方程为－＝－即－＝1.
10．求中心在原点，焦点在坐标轴上，过点M(3,4)且虚轴长是实轴长的2倍的双曲线方程．
解 当焦点在x轴上时，可设双曲线方程为－＝1，
∵点(3,4)在双曲线上，∴－＝1，
又b＝2a，∴4a2＝9×4－16＝20，a2＝5.
∴b2＝20.∴双曲线方程为－＝1.
当焦点在y轴上时，可设双曲线方程为－＝1，
∵点(3,4)在双曲线上，∴－＝1.
又∵b＝2a，∴4a2＝16×4－9＝55，a2＝，
∴b2＝55.∴双曲线方程为－＝1.
综上，所求双曲线方程为－＝1或－＝1.
11．已知双曲线的中心在原点，顶点在y轴上，两顶点间的距离是16，且离心率e＝，试求双曲线方程及顶点到渐近线的距离．
解 设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，由2a＝16，得a＝8，又e＝＝，∴c＝10，b2＝c2－a2＝36.
故所求的双曲线的方程为－＝1.
由上可得双曲线的焦点为(0，±10)，
渐近线方程为y＝±x，
即4x±3y＝0.
∴焦点到渐近线的距离为d＝＝6.
12．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)．
(1)求双曲线方程；
(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：·＝0；
(3)求△F1MF2的面积．
解 (1)∵e＝.
∴可设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)．
∵过点(4，－)，
∴λ＝16－10＝6.
∴双曲线的方程为x2－y2＝6.
(2)由(1)可知，双曲线中a＝b＝，
∴c＝2.
∴F1(－2，0)，F2(2，0)．
∴＝(－2－3，－m)，＝(2－3，－m)．
∴·＝(3＋2)(3－2)＋m2＝－3＋m2.
∵M在双曲线上，
∴9－m2＝6，∴－3＋m2＝0.
∴·＝0.
(3)△F1MF2的底|F1F2|＝4，
△F1MF2的高h＝|m|＝，
∴S△F1MF2＝×4×＝6.
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