高中数学(北师大版)必修五教案：3.2-用数形结合法解一元二次不等式.docx

一元二次不等式解法的启示
——数形结合解不等式
信任同学们都熟知，在教材中有一个图表，这个图表深刻地揭示了：一元二次不等式的解集与一元二次方程的根及一元二次函数的图像三者的亲热关系。对这个图表，很多老师可能就是要求同学们熟记其中的结论而没有更多的指导，因此同学们也就机械地进行硬背这个图表的结论。然而没有理解又怎么能记得牢固呢？也很少同学会从这种利用二次方程的根及二次函数的图像来解一元二次不等式的方法中得到什么启示。
x
y
O
x1
x2
图（1）
我认为在这个图表中，我们的重点应当是看二次函数的图像：在图（1）中函数的图像被x轴分成两部分：在x轴上方即对应着或，在x轴下方即对应着；因此由图像直观地有一元二次不等式（）的解为或，而不等式（）的解为。在另两个图中状况类似。
假如我们把x轴看成函数，，那么就可以从上面这种一元二次不等式的解法得到启示，并把这种方法推广用到解其它的不等式中去。即一般地有：在同始终角坐标系中，画出两个函数和的图像，则①两图像的交点的x坐标就是方程的解，其中有几个交点就有几个解，没有交点就没有解；②在某些区间内均有的图像在的上（下）方，那么这些区间就是不等式（或）的解。下面我们来看几个例子：
x
y
O
2
3
6
图（2）
例1、解不等式。
解：易知方程的解为，
又函数和函数的图像草图如图（2）则直观地有原不等式的解为。
评注：这里我们只需解方程并画函数的图像草图即可直观地得出不等式的解。按常规的解法需要把原不等式化为标准式其中，这是常规方法解一元二次不等式的关键步骤。而很多同学简洁在这关键步骤中出两方面的错误：一是没有留意到要化二次项系数大于零；二是在化二次项系数大于零的过程中没有留意到不等式要转变不等号，或是在最终写出不等式的解时仍套用原不等号时的不等式的状况。
x
y
O
图（3）
4/3
3
例2、解不等式。
解：易知方程无解。又函数和函数的图像草图如图（3）则直观地有原不等式的解为。
评注：同样这里我们只需解方程并画函数的图像草图即可直观地得出不等式的解。而不用像常规方法一样先去解被开方数大于零的不等式组，（这一步骤往往是同学们简洁遗忘的）再两边平方（很多同学往往也不留意不等式两边能够平方的条件）把无理式化成整式，最终还要取不等式的交集。
x
y
O
2
3
6
图（4）
-1
6
例3、解不等式
解：易知方程的解为，，，。又函数和函数的图像草图如图（4）则直观地有不等式的解为或或。
例4、解不等式。
x
y
O
图（5）
1/2
5
解：简洁知不等式等价于
x
y
a>1
a=1
0<a<1
图（6）
O
2a/(1-a2)
，方程的解为，而方程无解；又函数，，的图像草图如图（5）则直观地有原不等式的解为。
评注：例3、例4中与常规方法比较均避开了解繁琐的不等式组。
例5、解不等式。
解：简洁知方程的解为，（当时仅有一解），又函数，的图像草图如图（6）则直观地有原不等式的解为当时是，当时是。
评注：虽然避开不了对参数a 争辩，但利用函数的图像使争辩格外直观，且避开了解繁琐的不等式组。
数形结合是数学的重要思想、方法之一，这里利用函数的图像解不等式就是数形结合的一种具体运用。最终指出利用这种方法解不等式要对基本函数的图像比较娴熟，包括基本函数图像的平移、伸缩、对称、翻转等变换。