【2022届走向高考】高三数学一轮(北师大版)阶段性测试题10(统计、统计案例).docx

阶段性测试题十(统计、统计案例)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题　共50分)
一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2021·潍坊联考)某学校从高二甲、乙两个班中各选6名同学参与数学竞赛，他们取得的成果(满分100分)的茎叶图如图，其中甲班同学成果的众数是85，乙班同学成果的平均分为81，则x＋y的值为(　　)
甲

乙
9　7
7
8　y
5　0　x
8
1　1　0
1
9
2
A．6　　　　　　　　　 B．7
C．8 D．9
[答案]　D
[解析]　由众数的定义知x＝5，由乙班的平均分为81得＝81，解得y＝4，故x＋y＝9.
2．(文)若M个数的平均数是X，N个数的平均数是Y，则这M＋N个数的平均数是(　　)
A． B．
C． D．
[答案]　C
[解析]　该题考查平均数的概念及运算．共有M＋N个数，这M＋N个数的和为(MX＋NY)，故这M＋N个数的平均数为 .
(理)期中考试后，班长算出了全班40名同学的数学成果的平均分为M.假如把M当成一个同学的分数，与原来的40个分数加在一起，算出这41个分数的平均值为N，那么MN为(　　)
A．4041 B．11
C．4140 D．21
[答案]　B
[解析]　设40个人的成果依次为a1，a2，…，a40，则
M＝.
当把该平均分M当成一个人的分数时，41个分数的平均值为N＝＝＝M，
故MN＝11.
3．某班78名同学已编号1,2，…，78，为了了解该班同学的作业状况，老师收取了编号能被5整除的15名同学的作业，这里运用的抽样方法是(　　)
A．简洁随机抽样 B．系统抽样
C．分层抽样 D．抽签法
[答案]　B
[解析]　由抽样方法知，应选B．
4．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了20000人，并依据所得数据画出了样本频率分布直方图(如图)．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，按月收入用分层抽样方法抽样，若从月收入[3000,3500)(元)段中抽取了30人，则这20000人中共抽取的人数为(　　)

A．200 B．100
C．20000 D．40
[答案]　A
[解析]　由题意得，月收入在[3000,3500)(元)段中的频率是0.0003×500＝0.15，该收入段的人数是20000×0.15＝3000(人)，从中抽取了30人，说明从每100人中抽取1个，故共抽取＝200(人)．
5．四名同学依据各自的样本数据争辩变量x，y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：
①y与x负相关且＝2.347x－6.423；
②y与x负相关且＝－3.476x＋5.648；
③y与x正相关且＝5.437x＋8.493；
④y与x正相关且＝－4.326x－4.578
其中确定不正确的结论的序号是(　　)
A．①②　　　　　　　 B．②③
C．③④ D．①④
[答案]　D
[解析]　若y与x负相关，则＝bx＋a中b<0，故①不正确，②正确；
若y与x正相关，则＝bx＋a中b>0，故③正确，④不正确；故选D．
6．(2022·广东高考)为了解1000名同学的学习状况，接受系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为(　　)
A．50 B．40
C．25 D．20
[答案]　C
[解析]　本题考查系统抽样．
从1000名同学中抽取40名，分成40组，每组25人，间隔为25.选C．系统抽样又叫等距抽样．
7．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．依据收集到的数据(如下表)，由最小二乘法求得回归直线方程＝0.67x＋54.9.表中一个数据模糊不清，请你推断出该数据的值为(　　)
零件数x(个)
10
20
30
40
50
加工时间y(min)
62

75
81
89
A．75 B．62
C．68 D．81
[答案]　C
[解析]　设表中模糊看不清的数据为m，由表中数据得：
＝30，＝，
由于由最小二乘法求得回归方程y＝0.67x＋54.9，
将＝30，＝代入回归直线方程，
得m＝68，故选C．
8．(2022·安徽示范高中联考)给出下列五个命题：
①将A、B、C三种个体按312的比例分层抽样调查，假如抽取的A个体为9个，则样本容量为30；
②一组数据1,2,3,3,4,5的平均数、众数、中位数都相同；
③甲组数据的方差为5，乙组数据为5,6,9,10,5，那么这两组数据中比较稳定的是甲；
④已知具有相关关系的两个变量满足的回归直线方程为y＝1－2x，则x每增加1个单位，y平均削减2个单位；
⑤统计的10个样本数据为125,120,122,105,130,114,116,95,120,134，则样本数据落在[114.5,124.5)内的频率为0.4.
其中真命题为(　　)
A．①②④ B．②④⑤
C．②③④ D．③④⑤
[答案]　B
[解析]　①样本容量为9÷＝18，①是假命题；②数据1,2,3,34,5的平均数为(1＋2＋3＋3＋4＋5)＝3，中位数为3，众数为3，都相同，②是真命题；③乙＝＝7，s＝[(5－7)2＋(6－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2＋(5－7)2]＝×(4＋1＋4＋9＋4)＝4.4，∵s>s，∴乙稳定，③是假命题；④是真命题；⑤数据落在[114.5,124.5)内的有：120,122,116,120共4个，故所求概率为＝0.4，⑤是真命题．
9．(文)将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图如图，后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示：
8
7　7
9
4　0　1　0　x　9　1
则7个剩余分数的方差为(　　)
A． B．
C．36 D．
[答案]　B
[解析]　去掉最高最低分后的数据为87,90,90,91,91,94,90＋x，
由＝91＝得x＝4，则方差s2＝[(87－91)2＋(90－91)2＋(90－91)2＋(91－91)2＋(94－91)2＋(91－91)2＋(94－91)2]＝.
(理)某班有48名同学，在一次考试中统计出平均分数为70，方差为75，后来发觉有2名同学的成果有误，甲实得80分却记为50分，乙实得70分却记为100分，更正后平均分和方差分别是(　　)
A．70,25 B．70,50
C．70,1.04 D．65, 25
[答案]　B
[解析]　易得没有转变，＝70，
而s2＝[(x＋x＋…＋502＋1002＋…＋x)－482]＝75，
s′2＝[(x＋x＋…802＋702＋…＋x)－482]
＝[(75×48＋482－12500＋11300)－482]
＝75－＝75－25＝50.
10．一个频率分布表(样本容量为30)不当心被损坏了一部分(如图)，只记得样本中数据在[20,60)上的频率为0.8，则估量样本在[40,60)上的数据个数可能是(　　)

A．7和6 B．6和9
C．8和9 D．9和10
[答案]　B
[解析]　因样本中数据在[20,60)上的频率为0.8，则样本中数据在[20,60)上的频数为30×0.8＝24.又由于样本中数据在[20,40)上的频数为4＋5＝9，
所以样本在[40,60)上的数据的个数为30×0.5＝15.
第Ⅱ卷(非选择题　共100分)
二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把正确答案填在题中横线上)
11．(文)(2022·湖北高考)甲、乙两套设备生产的同类型产品共4800件，接受分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测．若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为________件.
[答案]　1800
[解析]　本题考查分层抽样．
设乙厂生产的总数为n件，则＝，
解得n＝1800.
(理)(2022·天津高考)某高校为了解在校本科生对参与某项社会实践活动的意向，拟接受分层抽样的方法，从该校四个班级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一班级、二班级、三班级、四班级的本科生人数之比为4556，则应从一班级本科生中抽取________名同学．
[答案]　60
[解析]　本题考查分层抽样．
∵人数比4556，设每份为x，
则4x＋5x＋5x＋6x＝20x＝300，∴x＝15，
∴一班级抽15×4＝60人．
12．今年3月份，某报社做了一次关于“什么是新时代的雷锋精神？”的调查，在A、B、C、D四个单位回收的问卷数依次成等差数列，共回收1000份，因报道需要，再从回收的问卷中按单位分层抽取容量为150的样本，若在B单位抽30份，则在D单位抽取的问卷是________份．
[答案]　60
[解析]　由于在A、B、C、D四个单位回收的问卷数依次成等差数列，所以从A、B、C、D按单位分层抽取的容量也成等差数列，设公差为d，则(30－d)＋30＋(30＋d)＋(30＋2d)＝150，所以d＝15，所以在D单位抽取的问卷是30＋2d＝60份．
13．我校高三(4)班共有56人，同学编号依次为1,2,3，…，56，现用系统抽样的方法抽取一个简洁为4的样本，已知编号为6,34,48的同学在样本中，那么还有一位同学的编号应为________．
[答案]　20
[解析]　系统抽样也是等距抽样，由于第三、第四两段中抽取的编号之差为14，
所以其次段中抽取的编号与第一段中抽取的编号之差也为14，
所以还有一位同学的编号应为20.
14. (2021·银川第一次质检)如图是甲、乙两名篮球运动员2022年赛季每场竞赛得分的茎叶图，则甲、乙两人竞赛得分的中位数之和是________.
甲

乙
7
1
2　6
2　8
2
3　1　9
6　4　5
3
1　2
[答案]　54
[解析]　甲得分为：17,22,28,34,35,26，其中位数为＝31；乙得分为：12,16,21,23,29,31,32，其中位数为23，故甲、乙两人竞赛得分的中位数之和是54.
15．某高中共有同学2000名，已知在全校同学中随机抽取1名，抽到高三班级男生的概率是0.1，现用分层抽样的方法在全校抽取若干名同学参与社区服务，相关信息如下表：
班级
高一
高二
高三
男生(人数)
a
310
b
女生(人数)
c
d
200
抽样人数
x
15
10
则x＝________.
[答案]　25
[解析]　由抽到高三班级男生的概率是0.1，可得b＝200，设在全样抽取n名同学参与社区服务，
则有＝，解得n＝50，
∴x＝50－15－10＝25.
三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
16．(本小题满分12分)某校从参与高三模拟考试的同学中随机抽取60名同学，将其数学成果(均为整数)分成六段[90,100)，[100,110)，…，[140,150]后得到如下部分频率分布直方图．观看图形的信息，回答下列问题：

(1)求分数在[120,130)内的频率，并补全这个频率分布直方图；
(2)统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估量本次考试的平均分．
[解析]　(1)分数在[120,130)内的频率为：
1－(0.1＋0.15＋0.15＋0.25＋0.05)＝1－0.7＝0.3.
＝＝0.03，补全后的直方图如下：

(2)平均分为：
＝95×0.1＋105×0.15＋115×0.15＋125×0.3＋135×0.25＋145×0.05＝121.
17．(本小题满分12分)对甲、乙两名自行车赛手在相同条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度(m/s)的数据如下表.
甲
27
38
30
37
35
31
乙
33
29
38
34
28
36
(1)画出茎叶图，由茎叶图你能获得哪些信息？
(2)分别求出甲、乙两名自行车赛手最大速度(m/s)数据的平均数、中位数、标准差，并推断选谁参与竞赛更合适．
[解析]　(1)画茎叶图，中间数为数据的十位数
甲

乙
7
2
8　9
8　7　5　1　0
3
3　4　6　8
从这个茎叶图上可以看出，甲、乙的得分状况都是分布均匀的，只是乙更好一些；乙的中位数是33.5，甲的中位数是33.因此乙发挥比较稳定，总体得分状况比甲好．
(2)依据公式得：甲＝33，乙＝33；s甲＝3.96，s乙＝3.35；甲的中位数是33，乙的中位数是33.5.综合比较，选乙参与竞赛较为合适．
18．(本小题满分12分)(2022·北京高考)从某校随机抽取100名同学，获得了他们一周课外阅读时间(单位：小时)的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：

组号
分组
频数
1
[0,2)
6
2
[2,4)
8
3
[4,6)
17
4
[6,8)
22
5
[8,10)
25
6
[10,12)
12
7
[12,14)
6
8
[14,16)
2
9
[16,18)
2
合计
100

(1)从该校随机选取一名同学，试估量这名同学该周课外阅读时间少于12小时的概率；
(2)求频率分布直方图中的a，b的值；
(3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估量样本中的100名同学该周课外阅读时间的平均数在第几组．(只需写出结论)
[解析]　思路分析：(1)从频率分布表中读出阅读时间不少于12小时人数求概率．
(2)利用频率比组距为小矩形的高求解．
(3)由图作出估量应为第4组．
(1)依据频数分布表，100名同学中课外阅读时间不少于12小时的同学共有6＋2＋2＝10名，所以样本中的同学课外阅读时间少于12小时的频率是1－＝0.9.
从该校随机选取一名同学，估量其课外阅读时间少于12小时的概率为0.9.
(2)课外阅读时间落在组[4,6)的有17人，频率为0.17，
所以a＝＝＝0.085.
课外阅读时间落在组[8,10)的有25人，频率为0.25，
所以b＝＝＝0.125.
(3)样本中的100名同学课外阅读时间的平均数为

＝7.68
在第4组．
19．(本小题满分12分)地震、海啸、洪水、森林大火等自然灾难频繁毁灭，紧急避险常识越来越引起人们的重视．某校为了了解同学对紧急避险常识的了解状况，从七班级和八班级各选取100名同学进行紧急避险常识学问竞赛．图(1)和图(2)分别是对七班级和八班级参与竞赛的同学成果按[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]分组，得到的频率分布直方图．

(1)分别计算参与这次学问竞赛的两个班级同学的平均成果；(注：统计方法中， 同一组数据常用该组区间的中点值作为代表)
(2)完成下面2×2列联表，并回答是否有99%的把握认为“两个班级同学对紧急避险常识的了解有差异”？

成果小于60分人数
成果不小于60分人数
合计
七班级

八班级

合计

附：K2＝.临界值表：
P(K2≥k)
0.10
0.05
0.010
k
2.706
3.841
6.635
[解析]　(1)七班级同学竞赛平均成果为
(45×30＋55×40＋65×20＋75×10)÷100＝56(分)，
八班级同学竞赛平均成果为
(45×15＋55×35＋65×35＋75×15)÷100＝60(分)．
(2)2×2列联表如下：

成果小于60分人数
成果不小于60分人数
合计
七班级
70
30
100
八班级
50
50
100
合计
120
80
200
∴K2＝≈8.333>6.635，
∴有99%的把握认为“两个班级同学对紧急避险常识的了解有差异”．
20．(本小题满分13分)某种产品的广告费支出x与销售额(单位：百万元)之间有如下对应数据：
x
2
4
5
6
8
y
30
40
50
60
70
假如y与x之间具有线性相关关系．
(1)作出这些数据的散点图；
(2)求这些数据的线性回归方程；
(3)猜想当广告费支出为9百万元时的销售额．
[解析]　(1)

(2)＝5，＝50，iyi＝1 390，＝145，
b＝＝7，a＝－b＝15，
∴线性回归方程为y＝7x＋15.
(3)当x＝9时，y＝78.
即当广告费支出为9百万元时，销售额为78百万元．
21．(本小题满分14分)(文)某单位N名员工参与“社区低碳你我他”活动．他们的年龄在25岁至50岁之间．按年龄分组：第1组[25,30)，第2组[30,35)，第3组[35,40)，第4组[40,45)，第5组[45,50]，由统计的数据得到的频率分布直方图如图所示，下表是年龄的频率分布表．

区间
[25,30)
[30,35)
[35,40)
[40,45)
[45,50]
人数
25
a
b

(1)求正整数a，b，N的值；
(2)现要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取6人，则年龄在第1,2,3组中抽取的人数分别是多少？
(3)在(2)的条件下，从这6人中随机抽取2人参与社区宣扬沟通活动，求恰有1人在第3组的概率．
[解析]　(1)由频率分布直方图可知，[25,30)与[30,35)两组的人数相同，
所以a＝25人．
且b＝25×＝100人．
总人数N＝＝250人．
(2)由于第1,2,3组共有25＋25＋100＝150人，利用分层抽样在150名员工中抽取6人，每组抽取的人数分别为：
第1组的人数为6×＝1，
第2组的人数为6×＝1，
第3组的人数为6×＝4，
所以第1,2,3组分别抽取1人，1人，4人．
(3)由(2)可设第1组的1人为A，第2组的1人为B，第3组的4人分别为C1，C2，C3，C4，则从6人中抽取2人的全部可能结果为：(A，B)，(A，C1)，(A，C2)，(A，C3)，(A，C4)，(B，C1)，(B，C2)，(B，C3)，(B，C4)，(C1，C2)，(C1，C3)，(C1，C4)，(C2，C3)，(C2，C4)，(C3，C4)，共有15种．
其中恰有1人年龄在第3组的全部结果为：(A，C1)，(A，C2)，(A，C3)，(A，C4)，(B，C1)，(B，C2)，(B，C3)，(B，C4)，共有8种．
所以恰有1人年龄在第3组的概率为.
(理)已知某单位有50名职工，现要从中抽取10名职工，将全体职工随机按1～50编号，并按编号挨次平均分成10组，按各组内抽取的编号依次增加5进行系统抽样.
8
1
7
0　3　6　8　9
6
2　5　7
5
9
(1)若第5组抽出的号码为22，写出全部被抽出职工的号码；
(2)分别统计这10名职工的体重(单位：公斤)，获得体重数据的茎叶图如图所示，求该样本的方差；
(3)在(2) 的条件下，从这10名职工中随机抽取两名体重不轻于73公斤(≥73公斤)的职工，求体重为76公斤的职工被抽取到的概率．
[解析]　(1)由题意，第5组抽出的号码为22.
由于2＋5×(5－1)＝22，所以第1组抽出的号码应当为2，
抽出的10名职工的号码分别为2,7,12,17,22,27,32,37,42,47.
(2)由于10名职工的平均体重为
＝(81＋70＋73＋76＋78＋79＋62＋65＋67＋59)＝71，
所以样本方差为s2＝(102＋(－1)2＋22＋52＋72＋82＋(－9)2＋(－6)2＋(－4)2＋(－12)2)＝52.
(3)从10名职工中随机抽取两名体重不轻于73公斤的职工，共有10种不同的取法：(73,76)，(73,78)，(73,79)，(73,81)，(76,78)，(76,99)，(76,81)，(78,79)，(78,81)，(79,81)．
记“体重为76公斤的职工被抽取”为大事A，故所求概率为P(A)＝＝.