【2022届走向高考】高三数学一轮(北师大版)基础巩固：第8章-第5节-空间中的垂直关系.docx

第八章　第五节

一、选择题
1．(文)对于直线m、l和平面α、β，α⊥β的一个充分条件是(　　)
A．m⊥l，m∥α，l∥β　　 B．m⊥l，α∩β＝m，lα
C．m∥l，m⊥α，l⊥β D．m∥l，l⊥β，mα
[答案]　D
[解析]　本题考查空间线面位置关系的判定．
A：与两相互垂直直线平行的平面的位置关系不能确定；
B：平面内的一条直线与另一个平面的交线垂直，这两个平面的位置关系也不能确定；
C：这两个平面也有可能重合可能平行；故选D．
(理)平面α垂直于平面β(α、β为不重合的平面)成立的一个充分条件是(　　)
A．存在一条直线l，l⊥α，l⊥β
B．存在一个平面γ，γ∥α，γ∥β
C．存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥β
D．存在一条直线l，l⊥α，l∥β
[分析]　本题主要考查立体几何及简易规律的有关学问．由充分条件的含义可知本题就是要从四个选项中寻求使平面α⊥平面β成立的一个条件．
[答案]　D
[解析]　对于选项A，l⊥α，l⊥β⇒α∥β；对于选项B，γ∥α，γ∥β⇒α∥β；对于选项C，当γ⊥α，γ⊥β成立时，平面α，β的关系是不确定的；对于选项D，当l⊥α，l∥β成立时，说明在β内必存在一条直线m，满足m⊥α，从而有α⊥β成立．
2．(2022·辽宁高考)已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是(　　)
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若m⊥α，nα，则m⊥n
C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α
D．若m∥α，m⊥n，则n⊥α
[答案]　B
[解析]　本题考查空间中平行关系与垂直关系．
对于A，m∥α，n∥α，则m，n的关系是平行，相交，异面，故A不正确．
对于B．由直线与平面垂直的定义知正确．
3．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，直线l满足l⊥m，l⊥n，l⃘α，l⃘β，则(　　)
A．α∥β且l∥α
B．α⊥β且l⊥β
C．α与β相交，且交线垂直于l
D．α与β相交，且交线平行于l
[答案]　D
[解析]　解法1：平移直线m使之与n相交于O，这两条直线确定的平面为γ，∵m⊥平面α，n⊥平面β，则平面α与平面β相交．设交线为a，则a⊥γ，又l⊥m，l⊥n，则l⊥γ，∴l∥A．
解法2：若α∥β，∵m⊥α，n⊥β，∴m∥n，这与m、n异面冲突，故α与β相交，设α∩β＝a，则a⊥m，a⊥n，在m上取点O，过O作n′∥n，设m与n′确定的平面为γ，∵a⊥m，a⊥n′，∴a⊥γ，∵l⊥n，∴l⊥n′，
又l⊥m，∴l⊥γ，∴a∥l.
4．PA垂直于正方形ABCD所在平面，连接PB，PC，PD，AC，BD，则下列垂直关系正确的是(　　)
①平面PAB⊥平面PBC　　　②平面PAB⊥平面PAD
③平面PAB⊥平面PCD　　　④平面PAB⊥平面PAC
A．①②　　　　　　　　 B．①③
C．②③ D．②④
[答案]　A
[解析]　易证BC⊥平面PAB，
则平面PAB⊥平面PBC．
又AD∥BC，
故AD⊥平面PAB，
则平面PAD⊥平面PAB，因此选A．
5．如图，在正四周体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论不成立的是(　　)
A．BC∥平面PDF
B．DF⊥平面PAE
C．平面PDF⊥平面PAE
D．平面PDE⊥平面ABC
[答案]　D
[解析]　因BC∥DF，所以BC∥平面PDF，A成立；易证BC⊥平面PAE，BC∥DF，所以结论B、C均成立；点P在底面ABC内的射影为△ABC的中心，不在中位线DE上，故结论D不成立．
6．下列命题中错误的是(　　)
A．假如平面α⊥平面β，那么平面α内确定存在直线平行于平面β
B．假如平面α不垂直于平面β，那么平面α内确定不存在直线垂直于平面β
C．假如平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ
D．假如平面α⊥平面β，那么平面α内全部直线都垂直于平面β
[答案]　D
[解析]　本题主要考查空间中的线面、面面关系等基础学问．
对于A、α内存在直线平行于α与β的交线，故α内必存在直线平行于β，正确；对于B，由于α不垂直于β，α内确定不存在直线垂直于β，否则α⊥β，正确；对于C，由平面与平面垂直的性质知正确，故D不正确，选D．
二、填空题
7．如图，∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有________；与AP垂直的直线有________．
[答案]　AB，BC，AC　AB
[解析]　∵PC⊥平面ABC，∴PC垂直于直线AB，BC，AC；
∵AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，
∴AB⊥平面PAC，
∴AB⊥PC．与AP垂直的直线是AB．
8．(2021·青岛模拟)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD．(只要填写一个你认为是正确的条件即可)

[答案]　DM⊥PC(或BM⊥PC)
[解析]　由定理知，BD⊥PC．
∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，
而PC平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD．
9．(文)已知m，n是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，下列四个命题：
①若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；
②若m∥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；
③若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；
④若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n.
其中正确的命题是________(填上全部正确命题的序号)．
[答案]　①④
[解析]　②若m∥α，n∥β，m⊥n，则α∥β或α，β相交，所以②错误．③若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥β或α，β相交，所以③错误．故填①④.
(理)在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABC，PC＝4，M是AB上一个动点，则PM的最小值为________．
[答案]　2
[解析]　如图，∵PC⊥平面ABC，
MC平面ABC，∴PC⊥MC．
故PM＝＝.
又∵MC的最小值为＝2，
∴PM的最小值为2.
三、解答题
10．(2022·山东高考)如图，四棱锥P－ABCD中，AP⊥平面PCD，AD∥BC，AB＝BC＝AD，E，F分别为线段AD，PC的中点．

(1)求证：AP∥平面BEF；
(2)求证：BE⊥平面PAC．
[解析]　解题思路：(1)问依据线面平行的判定定理在面BEF找直线与AP平行，充分利用中点的条件．(2)证BF⊥AC，BE⊥AP即可．
(1)证明：如图所示，连接AC交BE于点O，连接OF.

∵E为AD中点，BC＝AD，AD∥BC，
∴四边形ABCE为平行四边形．
∴O为AC的中点，又F为PC中点
∴OF∥AP.
又OF平面BEF，AP⃘平面BEF，
∴AP∥平面BEF.
(2)由(1)知四边形ABCE为平行四边形．
又∵AB＝BC，∴四边形ABCE为菱形．
∴BE⊥AC．
由题意知BC綊AD綊ED
∴四边形BCDE为平行四边形
∴BE∥CD．
又∵AP⊥平面PCD，
∴AP⊥CD．∴AP⊥BE.
又∵AP∩AC＝A，
∴BE⊥平面PAC．

一、选择题
1．如图，已知△ABC为直角三角形，其中∠ACB＝90°，M为AB的中点，PM垂直于△ABC所在平面，那么(　　)
A．PA＝PB>PC
B．PA＝PB<PC
C．PA＝PB＝PC
D．PA≠PB≠PC
[答案]　C
[解析]　∵M为AB的中点，△ACB为直角三角形，
∴BM＝AM＝CM，又PM⊥平面ABC，
∴Rt△PMB≌Rt△PMA≌Rt△PMC，故PA＝PB＝PC．
2．(2022·广东高考)若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论确定正确的是(　　)
A．l1⊥l4
B．l1∥l4
C．l1与l4既不垂直也不平行
D．l1与l4的位置关系不确定
[答案]　D
[解析]　如图，正方体中l1与l4异面．

选D．
二、填空题
3．对于四周体ABCD，给出下列四个命题：
①若AB＝AC，BD＝CD，则BC⊥AD；
②若AB＝CD，AC＝BD，则BC⊥AD；
③若AB⊥AC，BD⊥CD，则BC⊥AD；
④若AB⊥CD，AC⊥BD，则BC⊥AD．
其中真命题的序号是________．(把你认为正确命题的序号都填上)
[答案]　①④
[解析]　本题考查四周体的性质，取BC的中点E，
则BC⊥AE，BC⊥DE，
∴BC⊥平面ADE，∴BC⊥AD，故①正确．

设O为A在面BCD上的射影，依题意OB⊥CD，OC⊥BD，
∴O为垂心，∴OD⊥BC，∴BC⊥AD，故④正确，
②③易排解，故答案为①④.
4．假设平面α∩平面β＝EF，AB⊥α，CD⊥β，垂足分别为B，D，假如增加一个条件，就能推出BD⊥EF，现有下面四个条件：
①AC⊥α；②AC∥α；③AC与BD在β内的射影在同一条直线上；④AC∥EF.
其中能成为增加条件的是________．(把你认为正确的条件序号都填上)
[答案]　①③
[解析]　假如AB与CD在一个平面内，可以推出EF垂直于该平面，又BD在该平面内，所以BD⊥EF.故要得到BD⊥EF，只需AB、CD在一个平面内即可，只有①③能保证这一条件．
三、解答题
5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E、F、G分别是BC、SC和DC的中点，点P在线段FG上．
(1)求证：平面EFG∥平面SDB；
(2)求证：PE⊥AC．

[解析]　(1)∵E、F、G分别为BC、SC、CD的中点，
∴EF∥SB，EG∥BD．
∵EF⃘平面SBD，EG⃘平面SBD，
∴EF∥平面SBD，EG∥平面SBD．
∵EG∩EF＝E，∴平面EFG∥平面SDB．
(2)∵B1B⊥底面ABCD，∴AC⊥B1B．
又∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD．
∴AC⊥平面B1BDD1，即AC⊥平面SBD．
又平面EFG∥平面SBD，∴AC⊥平面EFG.
∵PE平面EFG，∴PE⊥AC．
6．(2022·江西高考)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥BC，A1B⊥BB1.

(1)求证：A1C⊥CC1；
(2)若AB＝2，AC＝，BC＝，问AA1为何值时，三棱柱ABC－A1B1C1体积最大，并求此最大值．
[解析]　(1)证明：在三棱柱ABC－A1B1C1中，
AA1⊥BC，∴BB1⊥BC．
又∵BB1⊥A1B，BC∩A1B＝B，∴BB1⊥平面BCA1.
∵A1C平面BCA，∴BB1⊥A1C．∵BB1∥CC1，∴A1C⊥CC1.
(2)设AA1＝x，∵AB＝2，AC＝，
在Rt△A1BB1中，A1B＝＝.
同理在Rt△AC1C中，
A1C＝＝，
在△A1BC中，
cos∠BA1C＝＝－.
∴sin∠BA1C＝，
∴S△A1BC＝A1B·A1C·sin∠BA1C＝
∵BB1⊥平面A1BC(已证)
∴三棱柱ABC－A1B1C1的体积V＝S·h
＝S△A1BC·BB1＝
＝＝.
∴当x2＝即x＝时，AA1＝，体积V取最大值为.