资源描述
专题一 集合与常用规律用语
【命题趋势探秘】
命题
规律
考查内容
集合及集合的运算
命题及其关系、充要条件
简洁的规律联结词、全称量词与存在量词
考查热度
☆☆☆☆☆
☆☆☆☆☆
☆☆☆
考查题型
选择题
选择题
选择题
所占分值
5分
5分
5分
命题
趋势
1．集合的概念及运算的试题多与对数、不等式和一元二次不等式的求解以及函数、方程等学问相结合，属于中低档题．间或有新情境试题，略难；
2． 四种命题间的关系及其真假推断、充要条件的判定是高考热点，常与函数、不等式、立体几何中线面关系、解析几何中直线与圆的位置关系等学问结合考查；
3． 全称命题、特称命题的否定及其真假是高考热点．
【高频考点聚焦】
◇考点1 集合及集合的运算
【基础学问梳理】
1．集合与元素
（1）集合元素的三个特征：确定性、⑴ 、无序性．
（2）元素与集合的关系是⑵ 或⑶ 关系，用符号∈或∉表示．
（3）集合的表示法：列举法、⑷ 、图示法．
（4）常见数集的记法
集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*（或N＋）
Z
Q
R
2．集合间的关系
（1）子集：对任意的x∈A，都有x∈B，则⑸ ．
（2）真子集：若A⊆B，且A≠B，则⑹A B（或B A）．
（3）空集：空集是任意一个集合的⑺ ，是任何非空集合的⑻ ．
（4）集合相等：若A⊆B，且B⊆A，则⑼ ．
3．集合的运算
集合的并集
集合的交集
集合的补集
图形
符号
A∪B＝⑽
A∩B＝⑾
∁UA＝⑿
4． AB＝⒀ ABA∪B＝⒁ ．
[参考答案] ⑴互异性 ⑵属于 ⑶不属于 ⑷描述法 ⑸A⊆B（或B⊇A） ⑹ ⑺子集 ⑻真子集⑼ ⑽{x|x∈A或x∈B} ⑾{x|x∈A且x∈B } ⑿{x|x∈U，且x∉A} ⒀A ⒁B
【核心考点讲练】
1．集合的基本概念主要是集合的描述性定义，其中包括集合中元素的互异性、无序性和确定性，这些特点在推断集合之间的关系和运算都有具体的体现，互异性多以检验的方式进行；
2．对于描述法表示的集合，要抓住代表元素及它的属性，分清集合的种类即数集还是点集，有时需要将集合化简，或者利用Venn图、函数的图像将集合关系直观化；
3．在进行集合的交、并、补运算运算时，不等式解集端点的合理取舍是难点之一，可以接受验证的方法进行取舍．
【典例1】（1）（2022·全国卷）已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{（x，y）|x∈A，y∈A，x－y∈A}，
则B中所含元素的个数为（ ）
A．3 B．6 C．8 D．10
（2）（2021·福建卷）若集合A＝{1,2,3}，B＝{1,3,4}，则A∩B的子集个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．16
解析：（1）由x－y∈A，及A＝{1,2,3,4,5}得x>y，
当y＝1时，x可取2,3,4,5,有4个；当y＝2时，x可取3,4,5，有3个；
当y＝3时，x可取4,5，有2个；当y＝4时，x可取5，有1个；
故共有1＋2＋3＋4＝10（个），选D．
（2）A∩B＝{1,3}，其子集有，{1}，{3}，{1,3}4个．故选C．
答案：（1）D；（2）C．
【技巧点拔】1、解题（1）的关键在于精确理解集合B的含义，逐个列举求解，争辩一个集合首先看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件；
2、若有限集A中有n个元素，则A的子集个数为个，非空子集个数为个，真子集有个．
【典例2】（1）（2022·湖北卷）已知全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
（2）（2021湖北卷）已知全集为R，集合，B＝{x|x2－6x＋8≤0}，则（ ）．
A．{x|x≤0} B．{x|2≤x≤4} C．{x|0≤x＜2，或x＞4} D．{x|0＜x≤2，或x≥4}
解析：（1）依题意，，故选C．
（2） ＝{x|x≥0}，B＝{x|2≤x≤4}，所以{x|x＜2，或x＞4}，此时{x|0≤x＜2，或x＞4}．M＝{y|y＞0}，S＝{x|x＞1}，故选A．
答案：（1）C （2） C
【技巧点拔】一般来讲，集合中的元素离散时，则用Venn图表示；集合中的元素是连续的实数时，则用数轴表示，此时要留意端点取舍．
◇考点02 命题及其关系、充分条件和必要条件
【基础学问梳理】
1、在数学中用语言、符号或式子表达的，可以推断⑴ 的陈述句叫做命题．其中推断为真的语句叫做真命题，推断为假的语句叫做假命题．
2、四种命题
命题
表述形式
原命题
若p，则q
逆命题
⑵
否命题
⑶
逆否命题
⑷
3、四种命题间的逆否关系
4、充分条件与必要条件
1．假如pq，则p是q的（5） ，q是p的（6） ．
2．假如pq，qp，则p是q的（7） ．
[参考答案]⑴真假 ⑵若q，则p ⑶若，则 ⑷若，则
（5）充分条件（6）必要条件（7）充要条件
【核心考点讲练】
1、生疏四种命题的概念是正确书写或推断四种命题真假的关键，不管命题真假，其余三种命题都存在；推断一个命题为假命题可举反例；由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性，因而，当推断原命题的真假比较困难时，可转化为推断它的逆否命题的真假，这就是常说的“正难则反”．
2、充分条件与必要条件的两个特征
（1）对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即“pq”“qp”；
（2）传递性：若p是q的充分（必要）条件，q是r的充分（必要）条件，则p是r的充分（必要）条件．
留意区分“p是q的充分不必要条件”与“p的一个充分不必要条件是q”两者的不同，前者是“pq”而后者是“qp”．
【典例1】（1）（2021·重庆卷）命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为（ ）
A．对任意x∈R，都有x2＜0 B．不存在x∈R，使得x2＜0
C．存在x0∈R，使得x≥0 D．存在x0∈R，使得x＜0
（2）（2022·陕西卷） 原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的推断依次如下，正确的是（ ）
A．真，假，真 B．假，假，真
C．真，真，假 D．假，假，假
解析：（1）依据定义可知命题的否定为：存在x0∈R，使得x＜0，故选D．
（2） 设z1＝a＋bi，z2＝a－bi，且a，b∈R，则|z1|＝|z2|＝，故原命题为真，逆否命题为真．当z1＝2＋i，z2＝－2＋i时，满足|z1|＝|z2|，此时z1，z2不是共轭复数，故原命题的逆命题为假，否命题也为假．
答案：（1）D （2）B
【技巧点拔】1、写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写；
2、 在推断原命题及其逆命题、否命题以及逆否命题的真假时，要借助原命题与其逆否命题同真或
同假，逆命题与否命题同真或同假来判定．推断一个命题为假命题时可以举一反例进行否定．
【典例2】（2022·安徽卷）“x＜0”是“ln（x＋1）＜0”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：ln（x＋1）<0⇔0<1＋x<1⇔－1<x<0，而（－1，0）是（－∞，0）的真子集，所“x<0”是“ln（x＋1）<0”的必要不充分条件．
答案：B．
【技巧点拔】充要关系的几种推断方法
（1）定义法：直接推断若p则q；若q则p的真假．
（2）利用集合间的包含关系推断：设A＝{x|p（x）}，B＝{x|q（x）}，若A⊆B，则p是q的充分条件或q是p的必要条件；若A＝B，则p是q的充要条件．
◇考点03 简洁的规律联结词、全称量词与存在量词
【基础学问梳理】
1、简洁的规律联结词
（1）命题中的⑴ 、⑵ 、⑶ 叫做规律联结词．
2、命题p且q、p或q、非p的真假推断
（1）全称量词：短语“全部的”“任意一个”在规律中通常叫做⑷ ，用“∀”表示；含有全称量词的命题叫做⑸ ．
（2）存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在规律中通常叫做⑹ ，用“∃”表示；含有存在量词的命题叫做⑺ ．
3、含有一个量词的命题的否定
[参考答案]⑴且 ⑵或 ⑶非 ⑷全称量词 ⑸全称命题 ⑹存在量词 ⑺特称命题
【核心考点讲练】
1．把握含规律联结词的命题的形式，特殊是字面上未毁灭“或”、“且”，要结合语句的含义理解．
2．p∨q为真命题，只需p、q有一个为真即可； p∧q为真命题，必需p、q同时为真．
3．要写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是特称命题，对比否定结构去写，并留意与否命题区分；它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非p”，只是否定命题p的结论．
4．p或q的否定：非p且非q；p且q的否定：非p或非q．
【典例1】（2022·湖南卷） 已知命题p：若x＞y，则－x＜－y，命题q：若x＞y，则x2＞y2．
在命题①p∧q；②p∨q；③p∧（q）；④（p）∨q中，真命题是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
解析：依题意可知，命题p为真命题，命题q为假命题．由真值表可知p∧q为假，p∨q为真，p∧（q）为真，（p）∨q为假．
答案：C．
【技巧点拔】 “p∨q”“p∧q”“p”形式命题真假的推断步骤：（1）确定命题的构成形式；（2）推断其中命题p、q的真假；（3）确定“pq”“pq”“p”形式命题的真假．
【典例2】（2022·湖北卷）命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
解析：命题为全称命题，其否定为特称命题，选D．
答案：D．
【技巧点拔】（1）对全（特）称命题进行否定的方法：
①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定．
②对原命题的结论进行否定．
专题热点集训1 集合与常用规律用语
（时间：45分钟）
一、选择题
1、（2022·安徽卷）命题“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
2、（2022·全国2卷）设集合M=｛0,1,2｝，N=，则=（ ）
A．｛1｝ B．｛2｝ C．｛0，1｝ D．｛1，2｝
3、（2021·全国新课标Ⅰ卷）已知集合A＝{x|x2－2x>0}，B＝{x|－<x<}，则（ ）
A．A∩B＝∅ B．A∪B＝R C．B⊆A D．A⊆B
4、（2021·福建卷）已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“AB”的（ ）
A． 充分而不必要条件 B． 必要而不充分条件
C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件
5、（2022·辽宁卷）已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U（A∪B）＝（ ）
A．{x|x≥0} B．{x|x≤1} C．{x|0≤x≤1} D．{x|0<x<1}
6、（2021·山东卷）已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．9
7、（2021·湖北卷）在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是 “乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为 （ ）
A．（p）∨（q） B． p∨（q）
C．（p）∧（q） D．p∨q
8、已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，P＝M∩N，则P的子集共有（ ）
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
9、（2022·山东卷）设集合，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
10、（2022·重庆卷）设全集，，则
_____．
11、（2022·上海卷）若集合A＝{x|2x＋1>0}，B＝{x||x－1|<2}，则A∩B＝________．
12、若命题“∃x∈R，x2－mx－m<0”是假命题，则实数m的取值范围是________．
专题热点集训1 集合与常用规律用语
参考答案与解析
1、C 命题为全称命题，其否定为特称命题，选C．
2、D ∵，∴．
3、B A＝{x|x>2或x<0}，∴A∪B＝R，故选B．
4、A 当a＝3时，A是B的子集，当AB时，a＝2或3，所以“a＝3”是“AB”的充分不必要条件，选A．
5、D 由题意可知，A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，所以∁U（A∪B）＝{x|0＜x＜1}．
6、C x－y∈．
7、A “至少有一位学员没有落在指定范围”＝“甲没有落在指定范围”或“乙没有落在指定范围”＝（p）∨（q）．
8、B ∵M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，∴M∩N＝{1,3}．∴M∩N的子集共有22＝4个．
9、C 依据已知得，集合A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{y|1≤y≤4}，所以A∩B＝{x|1≤x＜3}．故选C．
二、填空题
10、{7，9}
解析：由题知∁UA＝{4，6，7，9，10}，∴（∁UA）∩B＝{7，9}．
11、
解析：，B＝{x|－1<x<3}，所以A∩B＝．
12、 [－4,0]
解析：“∃x∈R，x2－mx－m<0”是假命题，则“∀x∈R，x2－mx－m≥0”是真命题．即Δ＝m2＋4m≤0， ∴－4≤m≤0．
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