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第三章 第四节
一、选择题
1．(2021·烟台市期中)若a＝sinxdx，b＝cosxdx，则a与b的关系是( )
A．a<b B．a>b
C．a＝b D．a＋b＝0
[答案] A
[解析] 解法一：如图知，y＝sinx与y＝cosx的交点为(，)，
由对称性及定积分的几何意义知a<b.
解法二：a＝sinxdx＝(－cosx) ＝cos1，b＝cosxdx＝sinx|＝sin1，
∵1>，∴cos1<sin1，∴a<b.
2．(2021·石家庄五校联合体摸底)计算(1－cosx)dx＝( )
A．π＋2 B．π－2
C．π D．－2
[答案] B
[解析] (1－cosx)dx＝(x－sinx)
＝(－sin)－[－－sin(－)]＝π－2.
3．(2021·北京朝阳区期中)曲线y＝与直线x＝1，x＝e2及x轴所围成的图形的面积是( )
A．e2 B．e2－1
C．e D．2
[答案] D
[解析] 所求面积
4．(2022·河南南阳第一中学月考)设函数f(x)＝ax2＋b(a≠0)，若f(x)dx＝3f(x0)，则x0＝( )
A．±1 B.
C．± D．2
[答案] C
[解析] 由于f(x)dx＝(ax2＋b)dx＝(ax3＋bx)|＝9a＋3b,3f(x0)＝3ax＋3b，所以9a＋3b＝3ax＋3b，所以x＝3，x0＝±，故选C.
5.(2022·广东深圳调研)如图所示，在矩形OABC内：记抛物线y＝x2＋1与直线y＝x＋1围成的区域为M(图中阴影部分)．随机往矩形OABC内投一点P，则点P落在区域M内的概率是( )
A. B.
C. D．
[答案] B
[解析] 依据定积分学问可得阴影部分面积S＝[(x＋1)－(x2＋1)]dx＝，点落在区域内的概率为面积型几何概型，所以由几何概型的概率计算公式得P＝＝，故选B.
6．(2022·广东中山试验高中段考)已知函数f(x)＝，则∫－1f(x)dx＝( )
A. B．1
C．2 D．
[答案] A
7.dx＝( )
A．4π B．2π
C．π D．
[答案] C
[解析] 令y＝，则x2＋y2＝4(y≥0)，由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积，
∴S＝×π×22＝π.
8．已知等差数列{an}的前n项和Sn＝2n2＋n，函数f(x)＝dt，若f(x)<a3，则x的取值范围是( )
A. B．(0，e21)
C．(e－11，e) D．(0，e11)
[答案] D
[解析] f(x)＝dt＝lnt|＝lnx，a3＝S3－S2＝21－10＝11，由lnx<11得，0<x<e11.
二、填空题
9．(2022·河北名校名师俱乐部模拟)已知在函数f(x)＝ex2＋aex图象上点(1，f(1))处切线的斜率为e，则f(x)dx＝________.
[答案] 1－e
[解析] f′(x)|x＝1＝(2ex＋aex)|x＝1＝2e＋ae＝e⇒a＝－1，则(ex2－ex)dx＝(ex3－ex)|＝1－e.
10.(2022·山西高校附中月考)如图，圆O：x2＋y2＝π2内的正弦曲线y＝sinx与x轴围成的区域记为M(图中阴影部分)，随机往圆O内投一个点A，则点A落在区域M内的概率为________.
[答案]
[解析] 圆的面积S＝π3，区域M的面积S′＝2sinxdx＝2(－cosx)＝2(－cosπ＋cos0)＝4，故所求概率P＝.
一、选择题
11．(2022·河源龙川一中月考)如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC内，曲线y＝x2和曲线y＝围成一个叶形图(阴影部分)，向正方形AOBC内随机投一点，则所投的点落在叶形图内部的概率是( )
A. B.
C. D.
[答案] D
[解析] 依题意知，题中的正方形区域的面积为12＝1，阴影区域的面积等于(－x2)dx＝(x－x3)|＝，因此所投的点落在叶形图内部的概率等于，选D.
12．(2022·抚顺六校联合体期中)设(＋x2)3的开放式中的常数项为a，则直线y＝ax与直线y＝x2围成图形的面积为( )
A. B．9
C. D．
[答案] C
[解析] (＋x2)3，即(x2＋)3的通项Tr＋1＝C(x2)3－r()r＝Cx6－3r，令6－3r＝0，得r＝2，∴常数项为3.
则直线y＝3x与曲线y＝x2围成图形的面积为S＝(3x－x2)dx＝(x2－x3)|＝.故选C.
13．若函数f(x)＝的图象与坐标轴所围成的封闭图形的面积为a，则a的值为( )
A. B.
C．1 D．
[答案] D
[解析] 由图可知a＝＋cosxdx＝＋sinx＝.
14．(2021·遵义航天中学二模)在由y＝0，y＝1，x＝0，x＝π四条直线围成的区域内任取一点，这点没有落在y＝sinx和x轴围成区域内的概率是( )
A．1－ B.
C. D．
[答案] A
[解析] 四条直线围成区域的面积S＝π，其中曲线y＝sinx与x轴围成区域的面积S1＝sinxdx＝(－cosx)|＝2，
∴所求概率P＝＝，故选A.
15．(2021·莆田市仙游一中期中)若函数f(x)，g(x)满足f(x)g(x)dx＝0，则称f(x)，g(x)为区间[－1,1]上的一组正交函数，给出三组函数：①f(x)＝sinx，g(x)＝cosx；②f(x)＝x＋1，g(x)＝x－1；③f(x)＝x，g(x)＝x2.其中为区间[－1,1]的正交函数的组数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案] C
[解析] ①sinxcosxdx＝sinxdx＝(－cosx)|＝0，∴①中f(x)与g(x)为正交函数；② (x＋1)(x－1)dx＝(x2－1)dx＝(x3－x)|＝－，
∴②中f(x)与g(x)不是正交函数；③(x·x2)dx＝x3dx＝(x4)|＝0，∴③中f(x)与g(x)为正交函数．
二、填空题
16．(2022·豫东、豫北十所名校联考)设a＝(sinx－cosx)dx，则二项式(－)8开放式中的常数项是________．(用数字作答)
[答案] 1120
[解析] a＝(sinx－cosx)dx＝(－cosx－sinx)＝－2，
∴二项式(－)8＝(＋)8，
∴Tr＋1＝C()8－r()r＝2rCx4－r，
令4－r＝0，∴r＝4
∴常数项为24×C＝16×70＝1120.
三、解答题
17．已知函数f(x)＝ex－1，直线l1：x＝1，l2：y＝et－1(t为常数，且0≤t≤1)．直线l1，l2与函数f(x)的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅱ所示，其面积用S2表示．直线l2，y轴与函数f(x)的图象围成的封闭图形如图中
区域Ⅰ所示，其面积用S1表示．当t变化时，阴影部分的面积的最小值为________．
[答案] (－1)2
[解析] 由题意得S1＋S2＝(et－1－ex＋1)dx＋(ex－1－et＋1)dx＝(et－ex)dx＋(ex－et)dx＝(xet－ex)|＋(ex－xet)|＝(2t－3)et＋e＋1，令g(t)＝(2t－3)et＋e＋1(0≤t≤1)，则g′(t)＝2et＋(2t－3)et＝(2t－1)et，令g′(t)＝0，得t＝，∴当t∈[0，)时，g′(t)<0，g(t)是减函数，当t∈(，1]时，g′(t)>0，g(t)是增函数，因此g(t)的最小值为g()＝e＋1－2e＝(－1)2.故阴影部分的面积的最小值为(－1)2.
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