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第三章 第四节
一、选择题
1．(2021·山东济南一模)设a＝dx，b＝dx，c＝dx，则下列关系式成立的是( )
A．<< B．<<
C．<< D．<<
[答案] C
[解析] ∵a＝dx＝ln2，b＝dx＝ln3，c＝dx＝ln5，
∴＝ln2＝ln，＝ln3＝ln，＝ln5＝ln，而<<，∴<<，选C．
2．(2022·河南南阳第一中学月考)设函数f(x)＝ax2＋b(a≠0)，若f(x)dx＝3f(x0)，则x0＝( )
A．±1 B．
C．± D．2
[答案] C
[解析] 由于f(x)dx＝(ax2＋b)dx＝(ax3＋bx)|＝9a＋3b,3f(x0)＝3ax＋3b，所以9a＋3b＝3ax＋3b，所以x＝3，x0＝±，故选C．
3．(2021·湖北理，7)一辆汽车在高速大路上行驶，由于遇到紧急状况而刹车，以速度v(t)＝7－3t＋(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车连续行驶的距离(单位：m)是( )
A．1＋25ln5 B．8＋25ln
C．4＋25ln5 D．4＋50ln2
[答案] C
[解析] 由于v(t)＝7－3t＋，且汽车停止时速度为0，
因此由v(t)＝0可解得t＝4，
即汽车从刹车到停止共用4s.
该汽车在此期间所行驶的距离
s＝(7－3t＋)dt＝[7t－＋25ln(t＋1)]|
＝4＋25ln5(m)．
4．曲线y＝cosx(0≤x≤2π)与直线y＝1所围成的图形面积是( )
A．2π B．3π
C． D．π
[答案] A
[解析] 如图，
S＝∫(1－cosx)dx
＝(x－sinx)|＝2π.
[点评] 此题可利用余弦函数的对称性①②③④面积相等解决，但若把积分区间改为，则对称性就无能为力了．
5.(2022·广东深圳调研)如图所示，在矩形OABC内：记抛物线y＝x2＋1与直线y＝x＋1围成的区域为M(图中阴影部分)．随机往矩形OABC内投一点P，则点P落在区域M内的概率是( )
A． B．
C． D．
[答案] B
[解析] 依据定积分学问可得阴影部分面积S＝[(x＋1)－(x2＋1)]dx＝，点落在区域内的概率为面积型几何概型，所以由几何概型的概率计算公式得P＝＝，故选B．
6．(2022·广东中山试验高中段考)已知函数f(x)＝，则＝( )
A． B．1
C．2 D．
[答案] A
[解析]
，故选A．
二、填空题
7. (2021·济宁一模)如图，长方形的四个顶点为O(0,0)，A(2,0)，B(2,4)，C(0,4)．曲线y＝ax2经过点B，现将一质点随机投入正方形OABC中，则质点落在图中阴影区域的概率是
________.
[答案]
[解析] ∵y＝ax2过点B(2,4)，∴a＝1，
∴所求概率为1－＝.
8. (2022·山西高校附中月考)如图，圆O：x2＋y2＝π2内的正弦曲线y＝sinx与x轴围成的区域记为M(图中阴影部分)，随机往圆O内投一个点A，则点A落在区域M内的概率为________.
[答案]
[解析] 圆的面积S＝π3，区域M的面积S′＝2sinxdx＝2(－cosx)＝2(－cosπ＋cos0)＝4，故所求概率P＝.
9．(2022·河北名校名师俱乐部模拟)已知在函数f(x)＝ex2＋aex图象上点(1，f(1))处切线的斜率为e，则f(x)dx＝________.
[答案] 1－e
[解析] f′(x)|x＝1＝(2ex＋aex)|x＝1＝2e＋ae＝e⇒a＝－1，则(ex2－ex)dx＝(ex3－ex)|＝1－e.
10．(2021·北京东城区检测)图中阴影部分的面积等于________．
[答案] 1
[解析] 由题知所求面积为3x2dx＝x3|＝1.
一、选择题
11．(2021·长春一模)与定积分∫dx相等的是( )
A．∫sindx B．∫|sin|dx
C．|∫sindx| D．以上结论都不对
[答案] B
[解析] ∵1－cosx＝2sin2，
∴∫dx＝∫|sin|dx
＝∫|sin|dx.
12. (2022·河源龙川一中月考)如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC内，曲线y＝x2和曲线y＝围成一个叶形图(阴影部分)，向正方形AOBC内随机投一点，则所投的点落在叶形图内部的概率是( )
A． B．
C． D．
[答案] D
[解析] 依题意知，题中的正方形区域的面积为12＝1，阴影区域的面积等于(－x2)dx＝(x－x3)|＝，因此所投的点落在叶形图内部的概率等于，选D．
13．(2022·抚顺六校联合体期中)设(＋x2)3的开放式中的常数项为a，则直线y＝ax与直线y＝x2围成图形的面积为( )
A． B．9
C． D．
[答案] C
[解析] (＋x2)3，即(x2＋)3的通项Tr＋1＝C(x2)3－r()r＝Cx6－3r，令6－3r＝0，得r＝2，∴常数项为3.
则直线y＝3x与曲线y＝x2围成图形的面积为S＝(3x－x2)dx＝(x2－x3)|＝.故选C．
14．(2021·山西诊断)若函数f(x)＝，则f(2022)＝( )
A．1 B．2
C． D．
[答案] C
[解析] 依题意得，当x≤0时，f(x)＝2x＋sin3t|0＝2x＋，故f(2022)＝f(4×503)＝f(0)＝20＋＝，选C．
15．已知(xlnx)′＝lnx＋1，则lnxdx＝( )
A．1 B．e
C．e－1 D．e＋1
[答案] A
[解析] 由(xlnx)′＝lnx＋1，联想到(xlnx－x)′＝(lnx＋1)－1＝lnx，于是lnxdx＝(xlnx－x)|＝(elne－e)－(1×ln1－1)＝1.
二、填空题
16．(2021·江西省七校联考)已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＝∫dx(n∈N*)，则S100＝________.
[答案] ln101
[解析] 依题意，an＝lnx|＝ln(n＋1)－lnn，因此S100＝(ln2－ln1)＋(ln3－ln2)＋…＋(ln101－ln100)＝ln101.
17．(2022·豫东、豫北十所名校联考)设a＝－π(sinx－cosx)dx，则二项式(－)8开放式中的常数项是________．(用数字作答)
[答案] 1120
[解析] a＝－π(sinx－cosx)dx＝－cosx－sinx＝－2，
∴二项式(－)8＝(＋)8，
∴Tr＋1＝C()8－r()r＝2rCx4－r，
令4－r＝0，∴r＝4
∴常数项为24×C＝16×70＝1120.
三、解答题
18.已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx(a，b∈R)的图象如图所示，它与x轴在原点处相切，且x轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为，求a的值．
[解析] f ′(x)＝－3x2＋2ax＋b，∵f ′(0)＝0，∴b＝0，
∴f(x)＝－x3＋ax2，令f(x)＝0，得x＝0或x＝a(a<0)．
∴S阴影＝[0－(－x3＋ax2)]dx
＝(x4－ax3)|＝a4＝，
∵a<0，∴a＝－1.
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