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第四章 第三节
一、选择题
1．(文)(2021·泰安期中)设a＝sin31°，b＝cos58°，c＝tan32°，则( )
A．a>b>c B．c>b>a
C．c>a>b D．b>c>a
[答案] B
[解析] ∵cos58°＝sin32°，sin31°<sin32°<tan32°，
∴a<b<c，故选B.
(理)设a＝logtan70°，b＝logsin25°，c＝logcos25°，则它们的大小关系为( )
A．a<c<b B．b<c<a
C．a<b<c D．b<a<c
[答案] A
[解析] ∵tan70°>tan45°＝1>cos25°＝sin65°>sin25°>0，y＝logx为减函数，∴a<c<b.
2．(2022·甘肃省三诊)函数f(x)＝sin2x－4sin3x·cosx(x∈R)的最小正周期为( )
A. B．
C. D．π
[答案] A
[解析] f(x)＝sin2x－4sin3x·cosx＝2sinxcosx－4sin3xcosx＝2sinxcosx(1－2sin2x)＝sin2xcos2x＝sin4x，∴函数f(x)的最小正周期为.
3．(文)(2022·辽宁理，9)将函数y＝3sin(2x＋)的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数( )
A．在区间[，]上单调递减
B．在区间[，]上单调递增
C．在区间[－，]上单调递减
D．在区间[－，]上单调递增
[答案] B
[解析] 设平移后的函数为f(x)，则f(x)＝3sin[2(x－)＋]＝3sin(2x＋－π)＝－3sin(2x＋)．令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，解得f(x)的递减区间为[kπ－，kπ＋]，k∈Z，同理得递增区间为[kπ＋，kπ＋]，k∈Z.从而可推断得B正确．
(理)(2021·江西吉安一中段考)将函数y＝sinx＋cosx的图象向左平移m个(m>0)单位长度后，所得到的函数为偶函数，则m的最小值为( )
A. B．
C.π D．π
[答案] A
[解析] y＝sinx＋cosx＝sin(x＋)，向左平移m个单位得到y＝sin(x＋m＋)，∵此函数为偶函数，∴m＋＝kπ＋，∴m＝kπ＋，故选A.
[点评] 解答平移与伸缩变换的题目留意事项．
(1)确定好由哪个函数变为哪个函数．
①(2022·四川理，3)为了得到函数y＝sin(2x＋1)的图象，只需把函数y＝sin2x的图象上全部的点( )
A．向左平行移动个单位长度
B．向右平行移动个单位长度
C．向左平行移动1个单位长度
D．向右平行移动1个单位长度
[答案] A
[解析] ∵y＝sin(2x＋1)＝sin2(x＋)，
∴需要把y＝sin2x图象上全部的点向左平移个单位长度即得到y＝sin(2x＋1)的图象．
(2)确定好平移方向及平移单位数．
②(2022·东北三省三校二模)函数h(x)＝2sin(2x＋)的图象与函数f(x)的图象关于点(0,1)对称，则函数f(x)可由h(x)经过________的变换得到( )
A．向上平移2个单位，向右平移个单位
B．向上平移2个单位，向左平移的单位
C．向下平移2个单位，向右平移个单位
D．向下平移2个单位，向左平移的单位
[答案] A
[解析] ∵函数h(x)与f(x)的图象关于点(0,1)对称，∴函数f(x)＝2sin(2x－)＋2，故将函数h(x)的图象向上平移2个单位，向右平移个单位可得函数f(x)的图象．
(3)留意先平移后伸缩和先伸缩后平移的区分．
③(2021·武汉质检)将函数y＝sin(6x＋)的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移个单位，得到的函数的一个对称中心是( )
A．(，0) B．(，0)
C．(，0) D．(，0)
[答案] A
[解析] y＝sin(6x＋)y＝sin(2x＋)y＝sin2x，其对称中心为(，0)，取k＝1，选A.
(4)留意正向变换与逆向变换，由f(x)的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到g(x)的图象，则由g(x)的图象变换为f(x)的图象时，应向上平移1个单位，再向左平移2个单位．
④(2022·郑州市质检)将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位后得到的函数对应的表达式为y＝2sin2x，则函数f(x)的表达式可以是( )
A．f(x)＝2sinx B．f(x)＝2cosx
C．f(x)＝cos2x D．f(x)＝sin2x
[答案] D
[解析] ∵y＝2sin2x＝1－cos2x，∴将y＝1－cos2x的图象向下平移一个单位，得到y＝－cos2x的图象，再向左平移个单位得到f(x)＝－cos[2(x＋)]＝－cos(2x＋)＝sin2x，故选D.
4．(文)(2022·沈阳市二检)已知曲线f(x)＝sin(ωx)＋cos(ωx)(ω>0)的两条相邻的对称轴之间的距离为，且曲线关于点(x0,0)成中心对称，若x0∈[0，]，则x0＝( )
A. B．
C. D．
[答案] C
[解析] 由题可知f(x)的周期为π，∴ω＝2，∴y＝2sin(2x＋)，由曲线关于(x0,0)对称得2x0＋＝kπ，k∈Z，∴x0＝－，∵x0∈[0，]，∴k＝1，x0＝.
(理)(2021·北大附中月考)定义行列式运算＝a1a4－a2a3.将函数f(x)＝的图象向左平移个单位，以下是所得函数图象的一个对称中心的是( )
A．(，0) B．(，0)
C．(，0) D．(，0)
[答案] B
[解析] 依据行列式的定义可知f(x)＝sin2x－cos2x＝2sin(2x－)，向左平移个单位得到g(x)＝2sin[2(x＋)－]＝2sin2x，所以g()＝2sin(2×)＝2sinπ＝0，所以(，0)是函数的一个对称中心，选B.
5．(文)(2022·温州检测)函数f(x)＝2cos2x－sin2x(x∈R)的最小正周期和最大值分别为 ( )
A．2π，3 B．2π，1
C．π，3 D．π，1
[答案] C
[解析] 由题可知，f(x)＝2cos2x－sin2x＝cos2x－sin2x＋1＝2sin(－2x)＋1，所以函数f(x)的最小正周期为T＝π，最大值为3，故选C.
(理)(2022·金丰中学质检)若函数f(x)＝(1＋tanx)·cosx,0≤x<，则f(x)的最大值为( )
A．1 B．2
C.＋1 D．＋2
[答案] B
[解析] f(x)＝(1＋tanx)cosx
＝cosx＋sinx＝2sin，
∵0≤x<，∴≤x＋<，
∴≤sin≤1，∴f(x)的最大值为2.
6．(文)(2021·厦门一中期末)已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B的一部分图象如下图所示，若A>0，ω>0，|φ|<，则( )
A．A＝4 B．ω＝1
C．φ＝ D．B＝4
[答案] C
[解析] 由图知，∴
又＝－＝，∴T＝π，
∴ω＝2，∴y＝2sin(2x＋φ)＋2，
∵图象过点(，4)，
∴sin(＋φ)＝1，∴φ＝.
(理)(2022·山西重点中学四校联考)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示，则y＝f(x＋)取得最小值时x的集合为( )
A．{x|x＝kπ－，k∈Z} B．{x|x＝kπ－，k∈Z}
C．{x|x＝2kπ－，k∈Z} D．{x|x＝2kπ－， k∈Z}
[答案] B
[解析] 由图知，＝－＝，∴T＝＝π，∴ω＝2，∴f(x)＝sin(2x＋φ)，∵图象过点(，1)，∴f()＝sin(＋φ)＝1，∵|φ|<，∴φ＝－，∴f(x)＝sin(2x－)．将f(x)的图象向左平移个单位得到y＝f(x＋)＝sin(2x＋)的图象，当函数y＝f(x＋)取到最小值时，2x＋＝2kπ－，∴x＝kπ－，k∈Z，故选B.
二、填空题
7．(2022·课标全国Ⅱ理，14)函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sinφcos(x＋φ)的最大值为________．
[答案] 1
[解析] ∵f(x)＝sin(x＋2φ)－2sinφcos(x＋φ)
＝sin(x＋φ)·cosφ＋cos(x＋φ)·sinφ－2sinφcos(x＋φ)
＝sin(x＋φ)·cosφ－cos(x＋φ)·sinφ
＝sinx≤1.
∴最大值为1.
8．(2022·山东威海一模)若函数y＝cos2x＋sin2x＋a在[0，]上有两个不同的零点，则实数a的取值范围为________．
[答案] (－2，－1]
[解析] 由题意可知y＝2sin(2x＋)＋a，该函数在[0，]上有两个不同的零点，
即y＝－a与y＝2sin(2x＋)在[0，]上有两个不同的交点．
结合函数的图象可知1≤－a<2，
所以－2<a≤－1.
9．(文)已知关于x的方程2sin2x－sin2x＋m－1＝0在x∈(，π)上有两个不同的实数根，则m的取值范围是________．
[答案] －2<m<－1
[解析] m＝1－2sin2x＋sin2x＝cos2x＋sin2x
＝2sin(2x＋)，
∵x∈(，π)时，原方程有两个不同的实数根，
∴直线y＝m与曲线y＝2sin(2x＋)，x∈(，π)有两个不同的交点，∴－2<m<－1.
(理)已知函数f(x)＝xsinx，现有下列命题：
①函数f(x)是偶函数；②函数f(x)的最小正周期是2π；③点(π，0)是函数f(x)的图象的一个对称中心；④函数f(x)在区间[0，]上单调递增，在区间[－，0]上单调递减．
其中真命题是________(写出全部真命题的序号)．
[答案] ①④
[解析] ∵y＝x与y＝sinx均为奇函数，∴f(x)为偶函数，故①真；∵f()＝，f(＋2π)＝＋2π≠，
∴②假；∵f()＝，f()＝－，＋＝2π，＋(－)≠0，∴③假；设0≤x1<x2≤，则＝·<1，∴f(x1)<f(x2)(f(x2)>0)，∴f(x)在[0，]上为增函数，又∵f(x)为偶函数，∴f(x)在[－，0]上为减函数，∴④真．
三、解答题
10．(文)(2021·山东师大附中四模)已知函数f(x)＝cos(＋x)cos(－x)－sinxcosx＋.
(1)求函数f(x)的最小正周期和最大值；
(2)求函数f(x)的单调递增区间．
[解析] (1)∵f(x)＝cos(＋x)cos(－x)－sin2x＋
＝(cosx－sinx)(cosx＋sinx)－sin2x＋
＝cos2x－sin2x－sin2x＋
＝－－sin2x＋
＝(cos2x－sin2x)＝cos(2x＋)，
∴函数f(x)的最小正周期T＝π，
函数f(x)的最大值为.
(2)2kπ－π≤2x＋≤2kπ，k∈Z.
得kπ－π≤x≤kπ－，k∈Z，
∴函数f(x)的单调递增区间为[kπ－，kπ－]，k∈Z.
(理)(2022·中原名校其次次联考)已知函数f(x)＝sinωx－cosωx－1(ω>0)的周期T＝π.
(1)若直线y＝m与函数f(x)的图象在x∈[0，]时有两个公共点，其横坐标分别为x1，x2，求f(x1＋x2)的值；
(2)已知三角形ABC的内角A，B，C对边分别为a，b，c且c＝3，f(C)＝0.若向量m＝(1，sinA)与n＝(2，sinB)共线，求a，b的值.
[解析] (1)∵f(x)＝sinωx－cosωx－1＝sin(ωx－)－1且周期为π，∴＝π，∴ω＝2，
∴f(x)＝sin(2x－)－1，
∵y＝f(x)的图象关于x＝对称，所以当x∈[0，]时，y＝m与函数f(x)图象的交点关于x＝对称，
∴x1＋x2＝，∴f(x1＋x2)＝f()＝－.
(2)由(1)知，f(C)＝sin(2C－)－1＝0，∴C＝，
又∵m∥n，∴2sinA－sinB＝0，∴2a＝b.
∵a2＋b2－2abcosC＝c2，c＝3，
∴a＝，b＝2.
一、选择题
11．(2022·北京西城一模)下列函数中，对于任意x∈R，同时满足条件f(x)＝f(－x)和f(x－π)＝f(x)的函数是( )
A．f(x)＝sinx B．f(x)＝sinxcosx
C．f(x)＝cosx D．f(x)＝cos2x－sin2x
[答案] D
[解析] 由f(x)＝f(－x)，可知函数f(x)为偶函数，由f(x－π)＝f(x)，可知函数f(x)是以π为周期的周期函数．由于f(x)＝sinx，f(x)＝sinxcosx＝sin2x是奇函数，故A，B错；由于函数f(x)＝cosx的周期为2π，故C错；f(x)＝cos2x－sin2x＝cos2x为偶函数且周期为π，故选D.
12．(文)设函数f(x)＝2sin(x＋)．若对任意x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1－x2|的最小值为( )
A．4 B．2
C．1 D．
[答案] B
[分析] ∵f(x)的最大值为2，最小值为－2，
∴对∀x∈R，－2≤f(x)≤2.
|x1－x2|取最小值，即f(x1)为最小值，f(x2)为最大值且(x1，f(x1))，(x2，f(x2))为相邻的最小(大)值点，即半个周期．
[解析] f(x)的周期T＝＝4，|x1－x2|min＝＝2.故选B.
[点评] 考查三角函数的周期，而又不提周期，题目难度不大，却能考查同学的思维力气，应加强这种小题训练．
(理)为了使函数y＝sinωx(ω>0)在区间[0,1]上至少毁灭50次最大值，则ω的最小值是( )
A．98π B．π
C.π D．100π
[答案] B
[解析] 由题意至少毁灭50次最大值即至少需用49个周期，∴49·T＝·≤1，∴ω≥π，故选B.
13．(文)(2022·山东威海一模)已知函数f(x)＝sin2x的图象向左平移个单位后，得到函数y＝g(x)的图象，下列关于y＝g(x)的说法正确的是( )
A．图象关于点(－，0)中心对称
B．图象关于直线x＝－轴对称
C．在区间[－，－]上单调递增
D．在区间[－，]上单调递减
[答案] C
[解析] 函数f(x)＝sin2x向左平移个单位后，得到函数f(x)＝sin2(x＋)，即f(x)＝sin(2x＋)，
令x＝－，得f(－)＝－sin≠0，A不正确；
令x＝－，得f(－)＝sin0＝0≠±1，B不正确；
由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，即函数的增区间为[－＋kπ，＋kπ]，k∈Z，减区间为[＋kπ，＋kπ]，k∈Z，当k＝0时，[－，－][－，]，故选C.
(理)(2021·湖北教学合作十月联考)将函数y＝sin2x－cos2x的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数g(x)( )
A．有最大值，最大值为＋1
B．对称轴方程是x＝＋kπ，k∈Z
C．是周期函数，周期T＝
D．在区间[，]上单调递增
[答案] D
[解析] 化简函数得y＝sin2x－cos2x＝2sin(2x－)，所以g(x)＝2sin(2x－)，易求最大值是2，周期是π，由2x－＝＋kπ(k∈Z)得对称轴方程是x＝＋(k∈Z)．
由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ⇒＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，故选D.
14．(文)已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)，y＝f(x)的部分图象如图，则f()＝( )
A．2＋ B．
C. D．2－
[答案] B
[解析] 由图可知：T＝2×(π－)＝，
∴ω＝＝2，
又∵图象过点(π，0)，
∴A·tan(2×π＋φ)＝A·tan(π＋φ)＝0，
∴φ＝.
又∵图象还过点(0,1)，∴Atan(2×0＋)＝A＝1，
∴f(x)＝tan(2x＋)，
∴f()＝tan(2×＋)
＝tan(＋)＝tan＝.
(理)函数y＝，x∈(－π，0)∪(0，π)的图象可能是下列图象中的( )
[答案] C
[解析] 依题意，函数y＝，x∈(－π，0)∪(0，π)为偶函数，排解A，当x∈(0，π)时，直线y＝x的图象在y＝sinx上方，所以y＝>1，故选C.
二、填空题
15．(2021·江西吉安一中段考)已知在函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的一个周期内，当x＝时，有最大值，x＝π时，有最小值－，若φ∈(0，)，则函数解析式f(x)＝________.
[答案] sin(3x＋)
[解析] 由最值知A＝，T＝2(－)＝，∴ω＝3，
∴f(x)＝sin(3x＋φ)，
又f()＝，∴sin(＋φ)＝1，
∵φ∈(0，)，∴φ＝.
16．(2021·山西忻州四校联考)已知函数f(x)＝2sinxcosx＋2sin2x－，将y＝f(x)的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y＝g(x)的图象，若函数y＝g(x)在[a，b]上至少含有1012个零点，则b－a的最小值为________．
[答案] π
[解析] 函数f(x)＝2sinxcosx＋2sin2x－＝sin2x－cos2x＝2sin(2x－)，将y＝f(x)的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y＝g(x)＝2sin[2(x＋)－]＋1＝2sin2x＋1的图象，由题意可得，g(x)在[a，b]上至少含有1012个零点，令g(x)＝0，得sin2x＝－，可得2x＝2kπ＋，或2x＝2kπ＋，k∈Z，求得x＝kπ＋，或x＝kπ＋.函数g(x)在每个周期上恰有两个零点，令a＝kπ＋，b＝nπ＋，则b－a＝(n－k)·π＋，若y＝g(x)在[a，b]上至少含有1012个零点，则n－k≥505，故b－a的最小值为505π＋＝π.
三、解答题
17．(2022·重庆理，17)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，－≤φ<)的图象关于直线x＝对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.
(1)求ω和φ的值；
(2)若f()＝(<α<)，求cos(α＋)的值．
[解析] (1)由于f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f(x)的最小正周期T＝π，从而ω＝＝2，
又因f(x)的图象关于直线x＝对称，所以
2·＋φ＝kπ＋，k＝0，±1，±2，…，因－≤φ<得k＝0，
所以φ＝－＝－.
(2)由(1)得f()＝sin(2·－)＝.
所以sin(α－)＝.
由<α<得0<α－<.
所以cos(α－)＝＝＝.
因此cos(α＋)＝sinα
＝sin[(α－)＋]
＝sin(α－)cos＋cos(α－)sin
＝×＋×
＝.
18．(文)在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，向量m＝(b,2a－c)，n＝(cosB，cosC)，且m∥n.
(1)求角B的大小；
(2)设f(x)＝cos＋sinωx(ω>0)，且f(x)的最小正周期为π，求f(x)在区间[0，]上的最大值和最小值．
[解析] (1)由m∥n得，bcosC＝(2a－c)cosB，
∴bcosC＋ccosB＝2acosB.
由正弦定理得，sinBcosC＋sinCcosB＝2sinAcosB，
即sin(B＋C)＝2sinAcosB.
又B＋C＝π－A，∴sinA＝2sinAcosB.
又sinA≠0，∴cosB＝.又B∈(0，π)，∴B＝.
(2)由题知f(x)＝cos(ωx－)＋sinωx
＝cosωx＋sinωx＝sin(ωx＋)，
由已知得＝π，∴ω＝2，f(x)＝sin(2x＋)，
当x∈[0，]时，(2x＋)∈[，]，
sin(2x＋)∈[－，1]．
因此，当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值.
当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最小值－.
(理)(2021·江西省七校联考)已知m＝(asinx，cosx)，n＝(sinx，bsinx)，其中a，b，x∈R.若f(x)＝m·n满足f()＝2，且f(x)的导函数f ′(x)的图象关于直线x＝对称．
(1)求a，b的值；
(2)若关于x的方程f(x)＋log2k＝0在区间[0，]上总有实数解，求实数k的取值范围．
[解析] (1)f(x)＝m·n＝asin2x＋bsinxcosx＝(1－cos2x)＋sin2x.
由f()＝2，得a＋b＝8.①
∵f ′(x)＝asin2x＋bcos2x，
又f ′(x)的图象关于直线x＝对称，
∴f ′(0)＝f ′()，
∴b＝a＋b，即b＝a.②
由①②得，a＝2，b＝2.
(2)由(1)得f(x)＝1－cos2x＋sin2x＝2sin(2x－)＋1.
∵x∈[0，]，∴－≤2x－≤，
∴－1≤2sin(2x－)≤2，f(x)∈[0,3]．
又f(x)＋log2k＝0在[0，]上有解，
即f(x)＝－log2k在[0，]上有解，
∴－3≤log2k≤0，
解得≤k≤1，
即k∈[，1]．
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