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第四章 第四节
一、选择题
1．(文)(2021·烟台市期中)log2sin＋log2cos的值为( )
A．－2 B．－1
C. D．1
[答案] A
[解析] log2sin＋log2cos＝log2(sincos)
＝log2(sin)＝log2＝－2.
(理)(2022·浙江温州一适)已知sin2α＝，则cos2(α－)＝( )
A. B．－
C. D．－
[答案] C
[解析] cos2(α－)＝＝＝＝，故选C.
2．(2022·新课标Ⅰ)设α∈(0，)，β∈(0，)，且tanα＝，则( )
A．3α－β＝ B．3α＋β＝
C．2α－β＝ D．2α＋β＝
[答案] C
[解析] 解法1：当2α－β＝时，β＝2α－，
所以＝＝＝tanα.
解法2：∵tanα＝＝，
∴sinαcosβ＝cosα＋cosαsinβ，
∴sin(α－β)＝cosα＝sin(－α)，
∵α、β∈(0，)，∴α－β∈(－，)，－α∈(0，)，∴α－β＝－α，∴2α－β＝.
3．(文)在△ABC中，C＝120°，tanA＋tanB＝，则tanAtanB的值为( )
A. B．
C. D．
[答案] B
[解析] ∵C＝120°，∴A＋B＝60°，
∴tan(A＋B)＝＝，
∵tanA＋tanB＝，∴tanAtanB＝.
(理)(2022·湖北重点中学联考)若tanα＝lg(10a)，tanβ＝lg()，且α＋β＝，则实数a的值为( )
A．1 B．
C．1或 D．1或10
[答案] C
[解析] ∵tanα＝lg(10a)＝1＋lga，
tanβ＝lg()＝－lga，
∴tan(α＋β)＝
＝＝＝1，
∴lg2a＋lga＝0，∴lga＝0或－1.
∴a＝1或.
4．(2022·河北衡水中学五调)已知sin(α＋)＋sinα＝－，－<α<0，则cos(α＋)等于( )
A．－ B．－
C. D．
[答案] C
[解析] ∵sin(α＋)＋sinα＝－，－<α<0，
∴sinα＋cosα＝－，
∴sinα＋cosα＝－.
∴cos(α＋)＝cosαcos－sinαsin
＝－cosα－sinα＝.
5．(文)(2022·四川成都五校联考)已知锐角α满足cos2α＝cos(－α)，则sin2α等于( )
A. B．－
C. D．－
[答案] A
[解析] ∵α∈(0，)，
∴2α∈(0，π)，－α∈(－，)．
又cos2α＝cos(－α)，
∴2α＝－α或2α＋－α＝0，
∴α＝或α＝－(舍)，
∴sin2α＝sin＝，故选A.
(理)设α、β都是锐角，且cosα＝，sin(α＋β)＝，则cosβ＝( )
A. B．
C.或 D．或
[答案] A
[解析] 依题意得sinα＝＝，cos(α＋β)＝±＝±.又α、β均为锐角，因此0<α<α＋β<π，cosα>cos(α＋β)，由于>>－，
所以cos(α＋β)＝－.
cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)·sinα＝－×＋×＝，选A.
6．(2021·池州期末)已知θ是△ABC中的最小角，则sin(θ＋)的取值范围是( )
A．(，1] B．[，1]
C．(，1] D．[，1]
[答案] B
[解析] ∵θ是△ABC中的最小角，不妨设B＝θ，则0<θ≤A,0<θ≤C，∴0<3θ≤A＋B＋C＝π，即0<θ≤.
∴<θ＋≤，
∴sin(θ＋)的取值范围是[，1]，故选B.
二、填空题
7．(2022·陕西咸阳质检)已知α∈(0，)，且2sin2α－sinα·cosα－3cos2α＝0，则＝________.
[答案]
[解析] ∵α∈(0，)，且2sin2α－sinα·cosα－3cos2α＝0，则(2sinα－3cosα)(sinα＋cosα)＝0，∴2sinα＝3cosα，
又∵sin2α＋cos2α＝1，
∴cosα＝，sinα＝，
∴
＝
＝.
8．函数y＝cos(－2x)＋sin(－2x)的最小正周期为________．
[答案] π
[解析] y＝coscos2x＋sinsin2x＋cos2x
＝cos2x＋sin2x＝(cos2x＋sin2x)
＝sin(2x＋)，∴T＝π.
9．(文)下列命题：①存在α、β∈R，使tan(α＋β)＝tanα＋tanβ；②存在φ∈R，使f(x)＝cos(3x＋φ)为奇函数；③对任意α，β∈(0，)，若tanα·tanβ<1，则α＋β<；④△ABC中，sinA>sinB的充要条件是A>B.其中真命题的序号是________．
[答案] ①②③④
[解析] ①α＝0，β＝时，原式成立；
②φ＝时，f(x)为奇函数；
③∵tanα·tanβ<1，α，β∈，
∴<1，∴sinα·sinβ<cosα·cosβ，
∴cos(α＋β)>0，∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β<；
④在△ABC中，A>B⇔a>b⇔2RsinA>2RsinB⇔sinA>sinB(其中R为△ABC外接圆的半径)．
(理)(2021·新乡、许昌、平顶山调研)设函数f(x)＝1＋sin2x，g(x)＝2cos2x＋m，若存在x0∈[0，]，f(x0)≥g(x0)，则实数m的取值范围是________．
[答案] m≤
[解析] 由f(x)≥g(x)得1＋sin2x≥2cos2x＋m，∴m≤sin2x－cos2x，
∵y＝sin2x－cos2x＝sin(2x－)，
当x∈[0，]时，y∈[－1，]，
∴若存在x0∈[0，]，使f(x0)≥g(x0)，则m≤.
三、解答题
10．(2022·湖北理，17)某试验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)＝10－cost－sint，t∈[0,24)．
(1)求试验室这一天的最大温差；
(2)若要求试验室温度不高于11℃，则在哪段时间试验室需要降温？
[解析] (1)由于f(t)＝10－2(cost＋sint)＝10－2sin(t＋)．
又0≤t<24，所以≤t＋<，－1≤sin(t＋)≤1.
当t＝2时，sin(t＋)＝1；当t＝14时，sin(t＋)＝－1.
于是f(t)在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8.
故试验室这一天最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃.
(2)依题意，当f(t)>11时，试验室需要降温．
由(1)得f(t)＝10－2sin(t＋)，故有10－2sin(t＋)>11，即sin(t＋)<－.
又0≤t<24，因此<t＋<，即10<t<18.
在10时至18时试验室需要降温.
一、选择题
11．(2022·广东中山一模)已知cosα＝，cos(α＋β)＝－，且α，β∈(0，)，则cos(α－β)的值等于( )
A．－ B．
C．－ D．
[答案] D
[解析] ∵α∈(0，)，∴2α∈(0，π)．
∵cosα＝，∴cos2α＝2cos2α－1＝－，
∴sin2α＝＝，而α，β∈(0，)，
∴α＋β∈(0，π)，
∴sin(α＋β)＝＝，
∴cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]
＝cos2αcos(α＋β)＋sin2αsin(α＋β)
＝(－)×(－)＋×＝.
12．设动直线x＝a与函数f(x)＝2sin2(＋x)和g(x)＝cos2x的图象分别交于M，N两点，则|MN|的最大值为( )
A. B．
C．2 D．3
[答案] D
[解析] 易知|MN|＝|f(a)－g(a)|
＝|2sin2(＋a)－cos2a|
＝|1－cos(＋2a)－cos2a|
＝|1＋2sin(2a－)|≤3，即最大值是3.
13．(2021·山东菏泽期中)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(其中A>0，|φ|<)的图象如图所示，为了得到g(x)＝sin2x的图象，则只要将f(x)的图象( )
A．向右平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
[答案] A
[解析] 由图象知A＝1，＝－＝，∴T＝π，
∴ω＝＝2，∴f(x)＝sin(2x＋φ)，∵f()＝－1，
∴sin(＋φ)＝－1，
∵|φ|<，∴φ＝，∴f(x)＝sin(2x＋)．
要得到g(x)＝sin2x的图象，需将f(x)的图象右移个单位，故选A.
14．(2022·青岛模拟)若(4tanα＋1)(1－4tanβ)＝17，则tan(α－β)等于( )
A. B．
C．4 D．12
[答案] C
[解析] 由已知得4tanα－16tanαtanβ＋1－4tanβ＝17，
∵tanα－tanβ＝4(1＋tanαtanβ)，
∴tan(α－β)＝＝4.
二、填空题
15．(2021·江西赣州博雅文化学校月考)α，β∈(0，)，cos(2α－β)＝，sin(α－2β)＝－，则cos(α＋β)的值等于________．
[答案]
[解析] ∵α、β∈(0，)，∴－<2α－β<，－<α－2β<，0<α＋β<，sin(α－2β)＝－<0，
∴sin(2α－β)＝±，cos(α－2β)＝，
若sin(2α－β)＝－，则cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)]
＝cos(2α－β)cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β)＝×＋(－)×(－)＝1与0<α＋β<冲突，
∴sin(2α－β)＝－，∴cos(α＋β)＝.
16．(文)(2021·湖南师大附中月考)计算：＝________.
[答案] －4
[解析] 原式＝
＝
＝
＝＝－4.
(理)(2022·甘肃酒泉模拟)＝________.
[答案] －4
[解析] 原式＝
＝
＝
＝＝＝－4.
三、解答题
17．(文)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a、b、c，已知tanB＝，tanC＝，且c＝1.
(1)求tan(B＋C)的值；
(2)求a的值．
[解析] (1)由于tanB＝，tanC＝，
所以tan(B＋C)＝＝＝1.
(2)由于A＝180°－B－C，tanA＝tan[180°－(B＋C)]
＝－tan(B＋C)＝－1，
又0°<A<180°，所以A＝135°.
由于tanC＝>0，且0°<C<180°，
所以sinC＝.
由＝得，＝，∴a＝.
(理)已知0<α<，<β<π，且tan＝，sin(α＋β)＝.
(1)求cosα和cosβ的值；
(2)求tan的值．
[解析] (1)∵tan＝，∴tanα＝＝，
∴sinα＝cosα，
代入sin2α＋cos2α＝1中消去sinα得，cos2α＝，
∵0<α<，∴cosα＝，∴sinα＝，∵<α＋β<，sin(α＋β)＝>0，∴<α＋β<π，
∴cos(α＋β)＝－＝－，
∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα
＝－×＋×＝－.
∴cosα和cosβ的值依次为和－.
(2)由(1)知cosβ＝－，又已知<β<π，
∴sinβ＝，∴tanβ＝－.∴＝－，
∵<β<π，∴tan>0，∴tan＝，
∴tan＝＝＝－.
18．(文)(2022·广东东莞一模)已知f(x)＝2cos(sin＋cos)－1，x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)设α，β∈(0，)，f(α)＝2，f(β)＝，求f(α＋β)的值．
[解析] (1)f(x)＝sinx＋cosx＝2sin(x＋)，f(x)的最小正周期T＝2π.
(2)∵2sin(α＋)＝2，∴sin(α＋)＝1，
∵<α＋<，
∴α＋＝，∴α＝.
∵2sin(β＋)＝，∴sin(β＋)＝，
∵<β＋<，<，
∴<β＋<，cos(β＋)＝，
∴f(α＋β)＝2sin(α＋β＋)
＝2sin(＋β)＝2cosβ
＝2cos[(β＋)－]
＝2cos(β＋)cos＋2sin(β＋)sin＝.
(理)(2022·北京海淀一模)已知函数f(x)＝2sinx·cosx，过两点A(t，f(t))，B(t＋1，f(t＋1))的直线的斜率记为g(t)．
(1)求g(0)的值；
(2)写出函数g(t)的解析式，求g(t)在[－，]上的取值范围．
[解析] (1)f(x)＝sinx，g(0)＝＝sin－sin0＝.
(2)g(t)＝
＝sin(t＋)－sint
＝sintcos＋costsin－sint＝－sint＋cost
＝－sin(t－)，
由于t∈[－，]，
所以t－∈[－，]，
所以sin(t－)∈[－1，]，所以g(t)在[－，]上的取值范围是[－，1]．
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