【2022届走向高考】高三数学一轮(人教B版)基础巩固：第9章-第4节-线面、面面平行的判定与性质.docx

第九章第四节一、选择题1(2022沈阳模拟)已知直线a，b，平面，则以下三个命题：若ab，b，则a；若ab，a，则b；若a，b，则ab.其中真命题的个数是()A0B1C2D3答案A解析错误，没有指出a；错误，没有指出b；错误，a，b时，a与b可能平行，也可能相交、异面，故选A.2(文)若a不平行于平面，且a，则下列结论成立的是()A内的全部直线与a异面B内与a平行的直线不存在C内存在唯一的直线与a平行D内的直线与a都相交答案B解析由条件知a与相交，故在平面内的直线与a相交或异面，不存在与a平行的直线(理)已知直线l、m，平面、，则下列命题中的假命题是()A若，l，则lB若，l，则lC若l，m，则lmD若，l，m，ml，则m答案C解析对于选项C，直线l与m可能构成异面直线，故选C.3已知m、n、l1、l2表示不同直线，、表示不同平面若m，n，l1，l2，l1l2M，则的一个充分条件是()Am且l1Bm且nCm且nl1Dml1且nl2答案D解析由定理“假如一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面平行，那么这两个平面平行”结合选项D可推知，因此选D.4(2022广东揭阳一模)设平面，直线a，b，a，b，则“a，b”是“”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案B解析由平面与平面平行的判定定理可知，若直线a，b是平面内两条相交直线，且有“a，b”，则有“”，当“”时，若a，b，则有“a，b”，因此“a，b”是“”的必要不充分条件5(文)如图，在三棱柱ABCABC中，点E、F、H、K分别为AC、CB、AB、BC的中点，G为ABC的重心从K、H、G、B中取一点作为P，使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF平行，则P为()AKBHCGDB答案C解析假如平面PEF与侧棱BB平行则和三条侧棱都平行，不满足题意，而FKBB，排解A；假如P为B点，则平面PEF即平面ABC，此平面只与一条侧棱AB平行，排解D.若P为H点，则HF为BAC的中位线，HFAC；EF为ABC的中位线，EFAB，HE为ABC的中位线，HEBC，明显不合题意，排解B.(理)(2021湖北天门一模)给出下列命题，其中正确的两个命题是()直线上有两点到平面的距离相等，则此直线与平面平行；夹在两个平行平面间的两条异面线段的中点连线平行于这两个平面；直线m平面，直线n直线m，则n；a，b是异面直线，则存在唯一的平面，使它与a，b都平行且与a，b的距离相等A与B与C与D与答案D解析直线上有两点到平面的距离相等，则此直线可能与平面平行，也可能和平面相交；直线m平面，直线m直线n，则直线n可能平行于平面，也可能在平面内，因此为假命题6下列命题中，是假命题的是()A三角形的两条边平行于一个平面，则第三边也平行于这个平面B平面平面，a，过内的一点B有唯一的一条直线b，使baC，、与、的交线分别为a、b和c、d，则abcdD一条直线与两个平面成等角是这两个平面平行的充要条件答案D解析三角形的任意两边必相交，故三角形所在的平面与这个平面平行，从而第三边也与这个平面平行，A真；假设在内经过B点有两条直线b、c都与a平行，则bc，与b、c都过B点冲突，故B真；，a，b，ab，同理cd；又，a，c，ac，abcd，故C真；正方体ABCDA1B1C1D1中，AC与平面AA1D1D和平面CC1D1D所成角相等，但平面AA1D1D平面CC1D1DDD1，故D假二、填空题7(2022扶沟中学模拟)如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足条件_时，有MN平面B1BDD1.答案M线段FH分析由H、N分别为CD、BC中点知HNBD，又MN平面B1BDD1，因此点M应使平面MHN平面B1BDD1，而点M在平面EFGH内，从而HM为平面HMN与平面EFGH的交线，而DD1为平面B1BDD1与平面EFGH的交线，由面面平行的性质定理知，应有HMDD1，故M在直线HF上可符合要求解析由于HNBD，HFDD1，所以平面NHF平面B1BDD1，又平面NHF平面EFGHFH.故线段FH上任意点M与N相连，有MN平面B1BDD1，故填M线段FH.8如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF平面AB1C，则线段EF的长度等于_答案解析EF平面AB1C，平面ABCD经过直线EF与平面AB1C相交于AC，EFAC，E为AD的中点，F为CD的中点，EFAC2.9(2022安徽涡阳检测)一个透亮密闭的正方体容器中，恰好盛有该容器一半容积的水，任意转动这个正方体，则水面在容器中的外形可以是：三角形；长方形；正方形；正六边形其中正确的结论是_(把你认为正确结论的序号都填上)答案解析由于正方体容器中盛有一半容积的水，无论怎样转动，其水面总是过正方体的中心三角形截面不过正方体的中心，故不正确；过正方体的一对棱和中心可作一截面，截面外形为长方形，故正确；过正方体四条相互平行的棱的中点得截面外形为正方形，该截面过正方体的中心，故正确；过正方体一面上相邻两边的中点以及正方体的中心得截面外形的正六边形，故正确故应填.三、解答题10(文)(2021三明模拟)如图，已知四棱锥PABCD中，底面ABCD是直角梯形，ABDC，ABC45，DC1，AB2，PA平面ABCD，PA1.(1)求证：AB平面PCD；(2)求证：BC平面PAC；(3)若M是PC的中点，求三棱锥MACD的体积解析(1)由已知底面ABCD是直角梯形，ABDC，又AB平面PCD，CD平面PCD，AB平面PCD.(2)在直角梯形ABCD中，过C作CEAB于点E，则四边形ADCE为矩形，AEDC1又AB2，BE1，在RtBEC中，ABC45，CEBE1，CB，ADCE1，则AC，AC2BC2AB2，BCAC.又PA平面ABCD，PABC，又PAACA，BC平面PAC.(3)M是PC中点，M到平面ADC的距离是P到平面ADC距离的一半VMACDSACD(PA)(11).(理)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱DD1的中点(1)求直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值；(2)在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F平面A1BE？证明你的结论解析(1)如图(1)，取AA1的中点M，连接EM，BM.由于E是DD1的中点，四边形ADD1A1为正方形，所以EMAD.又在正方体ABCDA1B1C1D1中，AD平面ABB1A1，所以EM平面ABB1A1，从而BM为直线BE在平面ABB1A1上的射影，EBM为BE和平面ABB1A1所成的角设正方体的棱长为2，则EMAD2，BE3.于是，在RtBEM中，sinEBM，即直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值为.(2)在棱C1D1上存在点F，使B1F平面A1BE.如图(2)，分别取C1D1和CD的中点F、G，连接B1F、EG、BG、CD1、FG.由于A1D1B1C1BC，且A1D1BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形，因此D1CA1B.又E、G分别为D1D、CD的中点，所以EGD1C，从而EGA1B.这说明A1、B、G、E共面所以BG平面A1BE.由于四边形C1CDD1与B1BCC1皆为正方形，F、G分别为C1D1和CD的中点，所以FGC1CB1B，且FGC1CB1B，因此四边形B1BGF是平行四边形，所以B1FBG，又B1F平面A1BE，BG平面A1BE，故B1F平面A1BE.一、解答题11(文)(2022海淀区期末)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，ABAC，ACAA1，E，F分别是棱BC，CC1的中点(1)求证：AB平面AA1C1C；(2)若线段AC上的点D满足平面DEF平面ABC1，试确定点D的位置，并说明理由；(3)证明：EFA1C.解析(1)证明：A1A底面ABC，A1AAB，又ABAC，A1AACA，AB平面AA1C1C.(2)平面DEF平面ABC1，平面ABC平面DEFDE，平面ABC平面ABC1AB，ABDE，在ABC中E是BC的中点，D是线段AC的中点(3)证明：在三棱柱ABCA1B1C1中，A1AAC，侧面A1ACC1是菱形，A1CAC1，由(1)可得ABA1C，ABAC1A，A1C平面ABC1，A1CBC1.又E，F分别为棱BC，CC1的中点，EFBC1，EFA1C.(理)(2022山东烟台一模)如图(1)所示，在直角梯形ABCD中，ADBC，ADC90，BABC.把BAC沿AC折起到PAC的位置，使得P点在平面ADC上的正投影O恰好落在线段AC上，如图(2)所示，点E，F分别为棱PC，CD的中点(1)求证：平面OEF平面APD；(2)求证：CD平面POF；(3)若AD3，CD4，AB5，求三棱锥ECFO的体积解析(1)证明：由于点P在平面ADC上的正投影O恰好落在线段AC上，所以PO平面ADC，所以POAC.由于ABBC，所以O是AC的中点由于E是PC的中点，所以OEPA.由于PA平面APD，OE平面APD，所以OE平面APD.同理OF平面APD.又由于OEOFO，OE，OF平面OEF，所以平面OEF平面APD.(2)证明：由于ADC90，所以CDAD.由于OFAD，所以CDOF.由于PO平面ADC，CD平面ADC，所以POCD.又由于OFPOO，所以CD平面POF.(3)由于ADC90，AD3，CD4，所以SACD346.由于点O，F分别是AC，CD的中点，所以SCFOSACD.由题意可知ACP是边长为5的等边三角形，所以高OP，即P点到平面ACD的距离为.又由于E为PC的中点，所以E到平面CFO的距离为，故VECFO.12(文)在正方体ABCDABCD中，棱AB、BB、BC、CD的中点分别为E、F、G、H，如图所示(1)求证：AD平面EFG；(2)求证：AC平面EFG；(3)推断点A、D、H、F是否共面，并说明理由解析(1)证明：连结BC.在正方体ABCDABCD中，ABCD，ABCD.所以四边形ABCD是平行四边形所以ADBC.由于F、G分别是BB、BC的中点，所以FGBC，所以FGAD.由于EF、AD是异面直线，所以AD平面EFG.由于FG平面EFG，所以AD平面EFG.(2)证明：连结BC.在正方体ABCDABCD中，AB平面BCCB，BC平面BCCB，所以ABBC.在正方体BCCB中，BCBC，由于AB平面ABC，BC平面ABC，ABBCB，所以BC平面ABC.由于AC平面ABC，所以BCAC.由于FGBC，所以ACFG.同理可证：ACEF.由于EF平面EFG，FG平面EFG，EFFGF，所以AC平面EFG.(3)点A、D、H、F不共面理由如下：假设A、D、H、F共面连结CF、AF、HF.由(1)知，ADBC，由于BC平面BCCB，AD平面BCCB.所以AD平面BCCB.由于CDH，所以平面ADHF平面BCCBCF.由于AD平面ADHF，所以ADCF.所以CFBC，而CF与BC相交，冲突所以A、D、H、F点不共面(理)(2021山西大同市调研)如图，三棱柱ABCA1B1C1的侧面AA1B1B为正方形，侧面BB1C1C为菱形，CBB160，ABB1C.(1)求证：平面AA1B1B平面BB1C1C；(2)若AB2，求三棱柱ABCA1B1C1体积解析(1)证明：由侧面AA1B1B为正方形知ABBB1.又ABB1C，BB1B1CB1，AB平面BB1C1C，又AB平面AA1B1B，平面AA1B1BBB1C1C.(2)由题意知，CBCB1，设O是BB1的中点，连接CO，则COBB1.由(1)知，CO平面ABB1A1，且COBCAB.连接AB1，则VCABB1SABB1COAB2CO.VB1ABCVABCA1B1C1，V三棱柱2.13(文)(2021南昌一模)如图，多面体ABCA1B1C1中，三角形ABC是边长为4的正三角形，AA1BB1CC1，AA1平面ABC，AA1BB12CC14.(1)若O是AB的中点，求证：OC1A1B1；(2)在线段AB1上是否存在一点D，使得CD平面A1B1C1？若存在，确定点D的位置；若不存在，请说明理由解析(1)取线段A1B1的中点E，连接OE，C1E，CO，已知等边三角形ABC的边长为4，AA1BB12CC14，AA1平面ABC，AA1BB1CC1，四边形AA1B1B是正方形，OEAB，COAB.COOEO，AB平面EOCC1，又A1B1AB，OC1平面EOCC1，OC1A1B1.(2)设OEAB1D，连接CD，则点D是AB1的中点，EDAA1，EDAA1，又CC1AA1，CC1AA1，四边形CC1ED是平行四边形，CDC1E，CD平面A1B1C1，即存在点D，得CD平面A1B1C1，且点D是AB1的中点(理)如图，矩形AMND所在的平面与直角梯形MBCN所在的平面相互垂直，MBNC，MNMB.(1)求证：平面AMB平面DNC；(2)若MCCB，求证：BCAC.证明(1)由于MBNC，MB平面DNC，NC平面DNC，所以MB平面DNC.由于四边形AMND是矩形，所以MADN.又MA平面DNC，DN平面DNC，所以MA平面DNC.又MAMBM，且MA、MB平面AMB，所以平面AMB平面DNC.(2)由于四边形AMND是矩形，所以AMMN.由于平面AMND平面MBCN，且平面AMND平面MBCNMN，所以AM平面MBCN.由于BC平面MBCN，所以AMBC.由于MCBC，MCAMM，所以BC平面AMC.由于AC平面AMC，所以BCAC.14(文)(2022保定模拟)如图，在三棱锥PABC中，平面PAC平面ABC，PAAC，ABBC.设D、E分别为PA、AC中点(1)求证：DE平面PBC；(2)求证：BC平面PAB；(3)试问在线段AB上是否存在点F，使得过三点D，E，F的平面内的任一条直线都与平面PBC平行？若存在，指出点F的位置并证明；若不存在，请说明理由解析(1)证明：由于点E是AC中点，点D为PA的中点，所以DEPC.又由于DE平面PBC，PC平面PBC，所以DE平面PBC.(2)证明：由于平面PAC平面ABC，平面PAC平面ABCAC，又PA平面PAC，PAAC，所以PA平面ABC.所以PABC.又由于ABBC，且PAABA，所以BC平面PAB.(3)当点F是线段AB中点时，过点D，E，F的平面内的任一条直线都与平面PBC平行取AB中点F，连EF，DF.由(1)可知DE平面PBC.由于点E是AC中点，点F为AB的中点，所以EFBC.又由于EF平面PBC，BC平面PBC，所以EF平面PBC.又由于DEEFE，所以平面DEF平面PBC，所以平面DEF内的任一条直线都与平面PBC平行故当点F是线段AB中点时，过点D，E，F所在平面内的任一条直线都与平面PBC平行(理)(2022天津河西区一模)在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB2，E为CC1的中点(1)求证：AC1平面BDE；(2)求证：A1E平面BDE；(3)若F为BB1上的动点，使直线A1F与平面BDE所成角的正弦值是，求DF的长解析如图建立空间直角坐标系Dxyz，则D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，A1(1,0,2)，B1(1,1,2)，C1(0,1,2)，D1(0,0,2)，E(0,1,1)，(1)证明：设平面BDE的法向量n(x，y，z)，(1,1,0)，(0,1,1)，由，即，取x1，得n(1，1,1)，又(1,1,2)，由于n111(1)210，所以n，AC1平面BDE，所以AC1平面BDE.(2)证明：由(1)可知n(1，1,1)，(1,1，1)，n，所以n，所以A1E平面BDE.(3)设点F的坐标为(1,1，)，(0,1，2)，设直线A1F与平面BDE所成角为，则sin，解得1，所以点F的坐标为(1,1,1)，(1,1,1)，|，所以DF的长为.