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第三章 第四节
一、选择题
1．设f(x)＝，则 f(x)dx的值是( )
A．x2dx B．2xdx
C．x2dx＋2xdx D．2xdx＋x2dx
[答案] D
[解析] 由分段函数的积分公式知选D．
2．一物体的下落速度为v(t)＝9.8t＋6.5(单位：m/s)，则下落后其次个4s内经过的路程是( )
A．249m B．261.2m
C．310.3m D．450m
[答案] B
[解析] 所求路程为(9.8t＋6.5)dt＝(4.9t2＋6.5t)|
＝4.9×64＋6.5×8－4.9×16－6.5×4
＝313.6＋52－78.4－26＝261.2(m)．
3．若S1＝x2dx，S2＝dx，S3＝exdx，则S1，S2，S3的大小关系为( )
A．S1<S2<S3 B．S2<S1<S3
C．S2<S3<S1 D．S3<S2<S1
[答案] B
[解析] S1＝x2dx＝|＝.
S2＝dx＝lnx|＝ln2－ln1＝ln2.
S3＝exdx＝ex|＝e2－e＝e(e－1)．
∵e>2.7，∴S3>3>S1>S2.故选B．
4．(2022·山东高考)直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )
A．2 B．4
C．2 D．4
[答案] D
[解析] 如图所示
由解得或
∴第一象限的交点坐标为(2,8)
由定积分的几何意义得，S＝(4x－x3)dx＝(2x2－)|＝8－4＝4.
5．由曲线y＝x2，y＝x3围成的封闭图形面积为( )
A． B．
C． D．
[答案] A
[解析] 由得交点坐标为(0,0)，(1,1)．
因此所求图形面积为S＝(x2－x3)dx
＝＝.
6.如图所示，在一个长为π，宽为2的矩形OABC内，曲线y＝sinx(0≤x≤π)与x轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC内随机投一点(该点落在矩形OABC内任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是( )
A． B．
C． D．
[答案] A
[解析] 由题图可知阴影部分是曲边图形，考虑用定积分求出其面积．由题意得S＝sinxdx＝－cosx|＝－(cosπ－cos0)＝2，再依据几何概型的算法易知所求概率是＝＝.
二、填空题
7.|x＋2|dx＝________.
[答案]
[解析] 原式＝(－x－2)dx＋ (x＋2)dx＝.
8．(2022·皖南八校联考) dx＝________.
[答案]
[解析] dx表示圆x2＋y2＝a2在其次象限的面积，为.
9．(2021·江西七校联考)已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＝dx(n∈N*)，则S100＝________.
[答案] ln101
[解析] 依题意，an＝lnx|＝ln(n＋1)－lnn，因此S100＝(ln2－ln1)＋(ln3－ln2)＋…＋(ln101－ln100)＝ln101.
三、解答题
10．求下列定积分：
(1)(x2－x)dx；
(4)设f(x)＝，求f(x)dx.
[解析] (1)(x2－x)dx＝＝－.
(3)令f(x)＝3x3＋4sinx，x∈
∵f(x)在上为奇函数，
(4) f(x)dx＝－1x2dx＋(cosx－1)dx
＝x3|＋(sinx－x)|＝sin1－.
一、选择题
1．与定积分dx相等的是( )
A．sindx B．|sin|dx
C．|sindx| D．以上结论都不对
[答案] B
[解析] ∵1－cosx＝2sin2，
∴dx
＝|sin|dx＝|sin|dx.
2．(2022·江西高考)若f(x)＝x2＋2f(x)dx，则f(x)dx＝( )
A．－1 B．－
C． D．1
[答案] B
[解析] 本题考查定积分的求法．
依据题设条件可得f(x)dx＝－|＝－.
二、填空题
3．已知f(x)＝3x2＋2x＋1，若 f(x)dx＝2f(a)，则a＝________.
[答案] －1或
[解析] f(x)dx＝ (3x2＋2x＋1)dx
＝(x3＋x2＋x)|＝4＝2f(a)．
f(a)＝3a2＋2a＋1＝2，解得a＝－1或.
4．(2021·洛阳统考)用min{a，b}表示a，b两个数中的较小的数，设f(x)＝min{x2，}(x≥0)，那么由函数y＝f(x)的图像、x轴、直线x＝和直线x＝4所围成的封闭图形的面积为________．
[答案]
[解析] 如图所示，所求图形的面积为阴影部分的面积，即所求的面积.
三、解答题
5．已知f(x)为二次函数，且f(－1)＝2，f ′(0)＝0，f(x)dx＝－2，
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)在[－1,1]上的最大值与最小值．
[解析] (1)设f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)，
则f ′(x)＝2ax＋B．
由f(－1)＝2，f ′(0)＝0，得
，即，∴f(x)＝ax2＋(2－a)．
又f(x)dx＝[ax2＋(2－a)]dx
＝[ax3＋(2－a)x]|＝2－a＝－2，∴a＝6，
从而f(x)＝6x2－4.
(2)∵f(x)＝6x2－4，x∈[－1,1]．
∴当x＝0时，f(x)min＝－4；当x＝±1时，f(x)max＝2.
6．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，直线l1：x＝2，直线l2：y＝－t2＋8t(其中0≤t≤2，t为常数)．若直线l1，l2与函数f(x)的图像以及l2，y轴与函数f(x)的图像所围成的封闭图形如图阴影所示．
(1)求a，b，c的值；
(2)求阴影面积S关于t的函数S(t)的解析式．
[解析] (1)由图形可知二次函数的图像过点(0,0)，(8,0)，并且f(x)的最大值为16，
则解得
(2)由(1)，得f(x)＝－x2＋8x，由
得x2－8x－t(t－8)＝0，
∴x1＝t，x2＝8－t.
∵0≤t≤2，
∴直线l2与f(x)的图像的交点坐标为(t，－t2＋8t)．
由定积分的几何意义知：
S(t)＝[(－t2＋8t)－(－x2＋8x)]dx＋[(－x2＋8x)－(－t2＋8t)]dx
＝[(－t2＋8t)x－(－＋4x2)]|＋[(－＋4x2)－(－t2＋8t)x]|
＝－t3＋10t2－16t＋.
所以S(t)＝－t3＋10t2－16t＋(0≤t≤2)．
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