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课时冲关练(四)
函数与方程及函数的应用
(45分钟 100分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.设f(x)=3x+3x-8,用二分法求方程3x+3x-8=0在x∈[1,2]上近似解的过程中,计算得到f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,则方程的解所在的区间为 ( )
A.[1,1.25] B.[1.25,1.5]
C.[1.5,2] D.不能确定
【解析】选B.由于f(1)<0,f(1.5)>0,则第一步计算中点值f(1.25)<0,又f(1.5)>0,则确定区间为[1.25,1.5],故选B.
2.(2022·金华模拟)函数f(x)=log2x-x+2的零点的个数为 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】选C.f(x)=log2x-x+2零点的个数,
即为log2x-x+2=0的解的个数,
即为y=log2x的图象与y=x-2的图象的交点个数,如图所示:
结合图象可得f(x)=log2x-x+2的零点的个数为2.
3.(2022·随州模拟)若f(x)是奇函数,且x0是y=f(x)+ex的一个零点,则-x0确定是下列哪个函数的零点 ( )
A.y=f(-x)ex-1 B.y=f(x)e-x+1
C.y=exf(x)-1 D.y=exf(x)+1
【解析】选C.由已知可得f(x0)=-,则f(x0)=-1,
f(-x0)=1,故-x0确定是y=exf(x)-1的零点.
4.(2022·莆田模拟)手机的价格不断降低,若每隔半年其价格降低,则现在价格为2560元的手机,两年后价格可降为 ( )
A.900元 B.810元 C.1440元 D.160元
【解析】选B.半年降价一次,则两年后降价四次,其价格降为2560×=810(元).
5.(2022·威海模拟)若函数f(x)的零点与g(x)=4x+2x-2的零点之差的确定值不超过0.25,则f(x)可以是 ( )
A.f(x)=4x-1 B.f(x)=(x-1)2
C.f(x)=ex-1 D.f(x)=ln
【解题提示】先求出4个选项中函数的零点,再推断g(x)零点的范围,最终再依据两零点之差的确定值不超过0.25作出推断.
【解析】选A.由于4个选项中的零点是确定的.
A:x=;B:x=1;C:x=0;D:x=.
又由于g(0)=40+2×0-2=-1<0,
g=+2×-2=1>0,
所以g(x)=4x+2x-2的零点介于之间.从而选A.
6.(2022·绍兴模拟)如图是函数f(x)=x2+ax+b的部分图象,则函数g(x)=lnx+2x+a的零点所在区间是 ( )
A. B.(1,2)
C. D.(2,3)
【解析】选C.由函数f(x)=x2+ax+b的部分图象得
0<b<1,f(1)=0,从而-2<a<-1.
而g(x)=lnx+2x+a在定义域内单调递增.
g=ln+1+a<0,g(1)=ln1+2+a>0,所以函数g(x)=lnx+2x+a的零点所在区间是.
7.(2022·乌鲁木齐模拟)设函数f(x)=若互不相等的实数x1,x2,x3满足f(x1)=f(x2)=f(x3),则x1+x2+x3的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【解题提示】依据图象的对称性,可求出其中两个根的和,再由f(x1)=f(x2)=f(x3),依据其中已知两个的值域,求出另一个根的范围后再求解.
【解析】选D.画出函数的图象如图,由于x1,x2,x3互不相等,设x1<x2<x3,依据图象可知,
当f(x1)=f(x2)=f(x3)时,x2+x3=6,而-<x1<0,所以<x1+x2+x3<6.
8.(2022·绥化模拟)已知函数f(x)=2x-lox,实数a,b,c满足a<b<c,且满足f(a)f(b)f(c)<0,若实数x0是函数y=f(x)的一个零点,则下列结论确定成立的是
( )
A.x0>c B.x0<c C.x0>a D.x0<a
【解题提示】f(a)f(b)f(c)<0,则有①f(a)<f(b)<f(c)<0;②f(a)<0<f(b)<f(c)两种状况,再结合单调性求解.
【解析】选C.由于函数f(x)=2x-lox为增函数,故若a<b<c,f(a)f(b)f(c)<0,则有如下两种状况:
①f(a)<f(b)<f(c)<0;②f(a)<0<f(b)<f(c),又x0是函数的一个零点,即f(x0)=0,
故当f(a)<f(b)<f(c)<0=f(x0)时,由单调性可得x0>a,又当
f(a)<0=f(x0)<f(b)<f(c)时,也有x0>a,故选C.
二、填空题(每小题4分,共16分)
9.(2022·沈阳模拟)某驾驶员喝了m升酒后,血液中的酒精含量f(x)(毫克/毫升)随时间x(小时)变化的规律近似满足表达式f(x)=《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应的惩处》规定:驾驶员血液中酒精含量不得超过0.02毫克/毫升.此驾驶员至少要过 小时后才能开车(不足1小时部分算1小时,结果精确到1小时).
【解析】由于0≤x≤1,所以-2≤x-2≤-1,所以5-2≤5x-2≤5-1,而5-2>0.02,又由x>1,得·≤,得≤,所以x≥4.故至少要过4小时后才能开车.
答案:4
10.(2022·江门模拟)函数f(x)=3x-7+lnx的零点位于区间(n,n+1)(n∈N)内,则n= .
【解析】求函数f(x)=3x-7+lnx的零点,可以大致估算两个相邻自然数的函数值,如f(2)=-1+ln2,由于ln2<lne=1,所以f(2)<0,f(3)=2+ln3,由于ln3>1,所以f(3)>0,所以函数f(x)的零点位于区间(2,3)内,故n=2.
答案:2
11.(2022·衢州模拟)已知f(x)=若函数g(x)=f(x)-kx+k只有一个零点,则k的取值范围是 .
【解析】由题意可得函数y=f(x)的图象和直线y=k(x-1)只有一个交点,直线y=k(x-1)经过定点(1,0),斜率为k,当0<x<1时,f'(x)=>1,当x≥1时,f'(x)=-∈[-1,0),如图所示:
故k∈(-∞,-1]∪[0,1].
答案:(-∞,-1]∪[0,1]
12.已知f(x)=则函数y=2f2(x)-3f(x)的零点的个数为 .
【解析】依据题意,令2f2(x)-3f(x)=0,解得f(x)=0或f(x)=,作出f(x)的图象,由图象可得当f(x)=0或f(x)=时,分别有2个和3个零点,所以关于x的函数y=2f2(x)-3f(x)的零点个数为5.
答案:5
三、解答题(13～14题每题10分,15～16题每题12分,共44分)
13.已知函数f(x)=-x2+2ex+t-1,g(x)=x+(x>0,其中e表示自然对数的底数).
(1)若g(x)=m有零点,求m的取值范围.
(2)确定t的取值范围,使得g(x)-f(x)=0有两个相异实根.
【解题提示】(1)可结合图象也可解方程求之.(2)利用图象求解.
【解析】(1)方法一:作出g(x)=x+的图象,如图:
可知若使g(x)=m有零点,则只需m≥2e.
方法二:由于g(x)=x+≥2=2e,
等号成立的条件是x=e.
故g(x)的值域是[2e,+∞),
因而只需m≥2e,则g(x)=m就有零点.
(2)若g(x)-f(x)=0有两个相异的实根,即g(x)=f(x)中函数g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点,作出g(x)=x+(x>0)的图象.
由于f(x)=-x2+2ex+t-1=-(x-e)2+t-1+e2.
其对称轴为x=e,开口向下,最大值为t-1+e2.
故当t-1+e2>2e,即t>-e2+2e+1时,g(x)与f(x)有两个交点,即g(x)-f(x)=0有两个相异实根.所以t的取值范围是(-e2+2e+1,+∞).
14.(2022·宜昌模拟)已知函数f(x)=若存在x1,x2,当0≤x1<x2<2时,f(x1)=f(x2),求x1f(x2)的取值范围.
【解题提示】作出函数f(x)的图象,依据图象寻求x1,x2的关系与范围,最终将x1f(x2)中的x1用x2表示,转化为关于x2的函数求解.
【解析】作出函数f(x)的图象,
由图知
所以x1f(x2)=·=-∈,即x1f(x2)的取值范围是.
15.(2022·瑞安模拟)据气象中心观看和猜想:发生于M地的沙尘暴始终向正南方向移动,其移动速度v(km/h)与时间t(h)的函数图象如图所示,过线段OC上一点T(t,0)作横轴的垂线l,梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t(h)内沙尘暴所经过的路程s(km).
(1)当t=4时,求s的值.
(2)将s随t变化的规律用数学解析式表示出来.
(3)若N城位于M地正南方向,且距M地650km,试推断这场沙尘暴是否会侵袭到N城.假如会,在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城?假如不会,请说明理由.
【解析】(1)由图象可知:当t=4时,v=3×4=12,
所以s=×4×12=24.
(2)当0≤t≤10时,s=·t·3t=t2;
当10<t≤20时,s=×10×30+30(t-10)=30t-150;
当20<t≤35时,s=×10×30+10×30+(t-20)×30-×(t-20)×2(t-20)=-t2+70t-550.
综上可知,s=
(3)由于t∈[0,10]时,smax=×102=150<650,
t∈(10,20]时,smax=30×20-150=450<650,
所以当t∈(20,35]时,令-t2+70t-550=650,
解得t1=30,t2=40.由于20<t≤35,所以t=30,即沙尘暴发生30h后将侵袭到N城.
【讲评建议】在讲解本题时,提示同学留意分类争辩
本题为分段函数,在解题时要留意分段处理,最终再进行总结.在解决分段函数问题时,确定要留意自变量的取值范围不同,解析式不同,要正确选择解析式.
【方法技巧】应用函数学问解应用题的步骤
(1)正确地将实际问题转化为函数模型,这是解应用题的关键,转化来源于对已知条件的综合分析、归纳与抽象,并与熟知的函数模型相比较,以确定函数模型的种类.
(2)用相关的函数学问,进行合理设计,确定最佳解题方案,进行数学上的计算求解.
(3)把计算获得的结果带回到实际问题中去解释实际问题,即对实际问题进行总结作答.
【加固训练】(2022·同仁模拟)某上市股票在30天内每股的交易价格P(元)与时间t(天)组成有序数对(t,P),点(t,P)落在下图中的两条线段上,该股票在30天内的日交易量Q(万股)与时间t(天)的部分数据如表所示:
第t天
4
10
16
22
Q(万股)
36
30
24
18
(1)依据供应的图象,写出该种股票每股交易价格P(元)与时间t(天)所满足的函数关系式.
(2)依据表中数据确定日交易量Q(万股)与时间t(天)的一次函数关系式.
(3)在(2)的结论下,用y表示该股票日交易额(万元),写出y关于t的函数关系式,并求在这30天中第几天日交易额最大,最大值是多少?
【解析】(1)P=(t∈N*).
(2)设Q=at+b(a,b为常数),把(4,36),(10,30)代入,
得解得a=-1,b=40.
所以日交易量Q(万股)与时间t(天)的一次函数关系式为
Q=-t+40,0<t≤30,t∈N*.
(3)由(1)(2)可得
y=(t∈N*)
即y=(t∈N*).
当0<t≤20时,y有最大值ymax=125万元,此时t=15;
当20<t≤30时,y随t的增大而减小,
ymax<(20-60)2-40=120万元.
所以,在30天中的第15天,日交易额取得最大值125万元.
16.(2022·义乌模拟)已知a是实数,函数f(x)=2ax2+2x-3-a,假如函数y=f(x)在区间[-1,1]上有零点,求a的取值范围.
【解析】若a=0,f(x)=2x-3,明显在[-1,1]上没有零点,
所以a≠0,令Δ=4+8a(3+a)=8a2+24a+4=0,解得a=.
①当a=时,y=f(x)恰有一个零点在[-1,1]上;
②当f(-1)·f(1)=(a-1)(a-5)<0,
即1<a<5时,
y=f(x)在[-1,1]上恰有一个零点;
③当y=f(x)在[-1,1]上有两个零点时,
则或
解得a≥5或a<.
综上,a的取值范围为a>1或a≤.
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