资源描述
阶段性测试题二(函 数)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．(文)(2021·广东阳东一中、广雅中学联考)函数f(x)＝＋lg(1＋x)的定义域是( )
A．(－∞，－1) B．(1，＋∞)
C．(－1,1)∪(1，＋∞) D．(－∞，＋∞)
[答案] C
[解析] 要使函数f(x)有意义，应有∴x>－1且x≠1，故选C.
(理)(2022·福建省闽侯二中、永泰二中、连江侨中、长乐二中联考)函数f(x)＝＋lg(3x＋1)的定义域是( )
A．(－，＋∞) B．(－，1)
C．(－，) D．(－∞，－)
[答案] B
[解析] 为使f(x)＝＋lg(3x＋1)有意义，
须解得－<x<1，
故选B.
2．(2021·石光中学段测)函数f(x)＝x－5＋2x－1的零点所在的区间是( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
[答案] C
[解析] f(0)＝－4<0，f(1)＝－3<0，f(2)＝－1<0，f(3)＝2>0，故选C.
3．(文)(2022·甘肃省金昌市二中期中)设a＝0.32，b＝20.3，c＝log0.34，则( )
A．b<a<c B．c<b<a
C．b<c<a D．c<a<b
[答案] D
[解析] ∵0<0.32<1,20.3>20＝1，log0.34<log0.31＝0，
∴c<a<b.
(理)(2021·湖北襄阳四中、龙泉中学、宜昌一中、荆州中学联考)若a＝log23，b＝log32，c＝log4，则下列结论正确的是( )
A．a<c<b B．c<a<b
C．b<c<a D．c<b<a
[答案] D
[解析] ∵a＝log23>log22＝1,0＝log31<b＝log32<log33＝1，c＝log4<log41＝0，∴c<b<a，故选D.
4．(2021·湖南浏阳一中、攸县一中、醴陵一中联考)定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，f(x－2)＝f(x＋2)，且x∈(－1,0)时，f(x)＝2x＋，则f(log220)＝( )
A．1 B.
C．－1 D．－
[答案] C
[解析] 由f(x－2)＝f(x＋2)⇒f(x)＝f(x＋4)，由于4<log220<5，所以0<log220－4<1，－1<4－log220<0，所以f(log220)＝f(log220－4)＝－f(4－log220)＝－f(log2)＝－1，故选C.
5．(文)(2021·石光中学段测)函数y＝log5(1－x)的大致图象是( )
[答案] C
[解析] 由1－x>0得x<1，排解A、B；
又y＝log5(1－x)为减函数，排解D，选C.
(理)(2021·江淮十校联考)函数f(x)＝的大致图象是( )
[答案] B
[解析] 由函数解析式可得f(x)为偶函数，当|x|≤1时，f(x)＝＝y≥0，即圆x2＋y2＝1位于x轴上方部分；当x>1时，f(x)＝，其图象在第一象限单调递减，所以选B.
6．(2022·北京海淀期中)下列函数中，值域为(0，＋∞)的函数是( )
A．f(x)＝ B．f(x)＝lnx
C．f(x)＝2x D．f(x)＝tanx
[答案] C
[解析] ∵≥0，lnx∈R,2x>0，tanx∈R，∴选C.
7．(文)(2021·甘肃民乐一中诊断)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( )
A．y＝ B．y＝e－x
C．y＝－x2＋1 D．y＝lg|x|
[答案] C
[解析] y＝在(0，＋∞)上是减函数，但在定义域内是奇函数，故排解A；y＝e－x在(0，＋∞)上是减函数，但不具备奇偶性，故排解B；y＝－x2＋1是偶函数，且在(0，＋∞)上为减函数，故选C；y＝lg|x|在定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)上是偶函数，但在(0，＋∞)上为增函数，故排解D.
(理)(2022·河南省试验中学期中)下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为( )
A．y＝cos2x B．y＝log2|x|
C．y＝ D．y＝x3＋1
[答案] B
[解析] y＝x3＋1是非奇非偶函数；y＝为奇函数；y＝cos2x在(1,2)内不是单调增函数，故选B.
8．(2021·江西三县联考)设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)＝( )
A．－3 B．－1
C．1 D．3
[答案] A
[解析] ∵f(x)为奇函数，∴f(1)＝－f(－1)＝－[2×(－1)2－(－1)]＝－3.
9.(2022·山西曲沃中学期中)如图，直角坐标平面内的正六边形ABCDEF，中心在原点，边长为a，AB平行于x轴，直线l：y＝kx＋t(k为常数)与正六边形交于M、N两点，记△OMN的面积为S，则关于函数S＝f(t)的奇偶性的推断正确的是( )
A．确定是奇函数
B．确定是偶函数
C．既不是奇函数，也不是偶函数
D．奇偶性与k有关
[答案] B
[解析] 设直线OM、ON与正六边形的另一个交点分别为M′、N′，由于正六边形关于点O成中心对称，∴OM′＝OM，ON′＝ON，从而△OM′N′与△OMN成中心对称，设直线l交y轴于T，直线M′N′交y轴于T′，则|OT|＝|OT′|，且S△OM′N′＝S△OMN，即当t<0时，有S＝f(t)＝f(－t)，∴S＝f(t)为偶函数．
10．(文)(2022·泸州市一诊)函数f(x)＝(1－)sinx的图象大致为( )
[答案] A
[解析] 首先y＝1－为偶函数，y＝sinx为奇函数，从而f(x)为奇函数，故排解C、D；其次，当x＝0时，f(x)无意义，故排解B，选A.
(理)(2022·抚顺市六校联合体期中)函数f(x)＝(1－cosx)sinx在[－π，π]的图象大致为( )
[答案] C
[解析] f(x)＝(1－cosx)sinx＝4sin3cos，
∵f()＝1，∴排解D；∵f(x)为奇函数，∴排解B；
∵0<x<π时，f(x)>0，排解A，故选C.
11．(2021·庐江二中、巢湖四中联考)函数f(x)＝()x－log2x，正实数a，b，c满足a<b<c且f(a)·f(b)·f(c)<0.若实数d是方程f(x)＝0的一个解，那么下列四个推断：①d<a ②d>a ③d>c ④d<c中有可能成立的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] B
[解析] ∵y＝()x为减函数，y＝log2x为增函数，
∴f(x)为减函数，
由题意f(d)＝0，又a<b<c，f(a)f(b)f(c)<0，
∴f(c)<0，f(a)>0，从而a<d<c，∴②④正确，选B.
12．(2021·河北高阳中学月考)若函数f(x)＝1＋＋sinx在区间[－k，k](k>0)上的值域为[m，n]，则m＋n＝( )
A．0 B．1
C．2 D．4
[答案] D
[解析] 令g(x)＝sinx，－k≤x≤k，则在关于原点对称的任意区间A上(A⊆[－k，k])，总有g(x)max＋g(x)min＝0，
令h(x)＝1＋，则h(x)＝3－，易知h(x)在[－k，k]上单调递增，设0<a≤k，则h(a)＋h(－a)＝(3－)＋(3－)＝4.
∵f(x)在[－k，k]上的值域为[m，n]，∴m＋n＝4.
[点评] 本题中抓住f(x)＋f(－x)＝4恒成立，及g(x)＝sinx在关于原点对称的区间上最大值与最小值之和为0，从题意中领悟到m＋n是一个定值是解题的关键．
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上．)
13．(2022·营口三中期中)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋1)＝f(1－x)．若当0≤x＜1时，f(x)＝2x，则f(log26)＝________.
[答案]
[解析] ∵f(x＋1)＝f(1－x)，∴函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，又f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)是周期为2的周期函数，∴f(log26)＝f(log26－2)＝f(log2)，∵0<log2<1，∴f(log2)＝＝，∴f(log26)＝.
14．(2021·宝安中学、仲元中学摸底) 若f(x)＝2x＋2－xlga是奇函数，则实数a＝________.
[答案]
[解析] ∵函数f(x)＝2x＋2－xlga是奇函数，
∴f(x)＋f(－x)＝0恒成立．
∴2x＋2－xlga＋2－x＋2xlga＝0，即2x＋2－x＋lga(2x＋2－x)＝0恒成立，
∴lga＝－1，∴a＝.
15．(2021·洛阳市期中)函数f(x)＝的最大值与最小值之积等于________．
[答案] －
[解析] f(x)＝＝＝，当x>0时，x＋≥2等号在x＝1时成立，此时f(x)∈(0，]；当x<0时，x＋≤－2，等号在x＝－1时成立，此时f(x)∈[－，0)，又f(0)＝0，∴f(x)∈[－，]，∴最大值与最小值之积为－.
16．(文)(2022·北京朝阳区期中)已知函数f(x)＝若f(3－a2)<f(2a)，则实数a的取值范围是________．
[答案] －3<a<1
[解析] 依据所给分段函数，画图象如下：
可知函数f(x)在整个定义域上是单调递减的，
由f(3－a2)<f(2a)可知，3－a2>2a，解得－3<a<1.
(理)(2022·湖南省五市十校联考)下列命题：
①函数y＝sin(x－)在[0，π]上是减函数；
②点A(1,1)，B(2,7)在直线3x－y＝0两侧；
③数列{an}为递减的等差数列，a1＋a5＝0，设数列{an}的前n项和为Sn，则当n＝4时，Sn取得最大值；
④定义运算＝a1b2－a2b1，则函数f(x)＝的图象在点(1，)处的切线方程是6x－3y－5＝0.其中正确命题的序号是________(把全部正确命题的序号都写上)．
[答案] ②④
[解析] y＝sin(x－)＝－cosx在[0，π]上为增函数，∴①错；∵(3×1－1)(3×2－7)<0，∴②正确；∵{an}为递减等差数列，∴d<0，∵a1＋a5＝0，∴a1>0，a5<0，且a3＝0，∴当n＝2或3时，Sn取得最大值，故③错；由新定义知f(x)＝x3＋x2－x，∴f ′(x)＝x2＋2x－1，
∴f ′(1)＝2，故f(x)在(1，)处的切线方程为y－＝2(x－1)，即6x－3y－5＝0，∴④正确，故填②④.
三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)
17．(本小题满分12分)(2021·濉溪县月考)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且它的图象关于直线x＝1对称．
(1)求证：f(x)是周期为4的周期函数；
(2)若f(x)＝(0<x≤1)，求x∈[－5，－4]时，函数f(x)的解析式．
[解析] (1)证明：由函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，有f(x＋1)＝f(1－x)，
即有f(－x)＝f(x＋2)．
又函数f(x)是定义在R上的奇函数，
故有f(－x)＝－f(x)，即f(x＋2)＝－f(x)．
从而f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，
∴f(x)是周期为4的周期函数．
(2)由函数f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0.
当x∈[－1,0)时，有－x∈(0,1]，
∴f(x)＝－f(－x)＝－.
故x∈[－1,0]时，f(x)＝－.
当x∈[－5，－4]时，x＋4∈[－1,0]，
f(x)＝f(x＋4)＝－，
从而x∈[－5，－4]时，函数f(x)＝－.
18．(本小题满分12分)(2022·北京朝阳区期中)已知函数f(x)＝x2－4x＋a＋3，a∈R.
(1)若函数y＝f(x)的图象与x轴无交点，求a的取值范围；
(2)若函数y＝f(x)在[－1,1]上存在零点，求a的取值范围；
(3)设函数g(x)＝bx＋5－2b，b∈R.当a＝0时，若对任意的x1∈[1,4]，总存在x2∈[1,4]，使得f(x1)＝g(x2)，求b的取值范围．
[解析] (1)∵f(x)的图象与x轴无交点，∴Δ＝16－4(a＋3)<0，∴a>1.
(2)∵f(x)的对称轴为x＝2，∴f(x)在[－1,1]上单调递减，欲使f(x)在[－1,1]上存在零点，应有
即∴－8≤a≤0.
(3)若对任意的x1∈[1,4]，总存在x2∈[1,4]，使f(x1)＝g(x2)，只需函数y＝f(x)的值域为函数y＝g(x)值域的子集即可．∵函数y＝f(x)在区间[1,4]上的值域是[－1,3]，当b>0时，g(x)在[1,4]上的值域为[5－b,2b＋5]，只需∴b≥6；当b＝0时，g(x)＝5不合题意，当b<0时，g(x)在[1,4]上的值域为[2b＋5,5－b]，只需∴b≤－3.综上知b的取值范围是b≥6或b≤－3.
19．(本小题满分12分)(文)(2021·莆田市仙游一中期中)已知函数g(x)＝ax2－2ax＋1＋b(a>0)在区间[2,3]上有最大值4和最小值1.设f(x)＝.
(1)求a、b的值；
(2)若不等式f(2x)－k·2x≥0在x∈[－1,1]上有解，求实数k的取值范围．
[解析] (1)g(x)＝a(x－1)2＋1＋b－a，由于a>0，所以g(x)在区间[2,3]上是增函数，
故解得
(2)由(1)得g(x)＝x2－2x＋1，由已知可得f(x)＝x＋－2，所以f(2x)－k·2x≥0可化为2x＋－2≥k·2x，
化为1＋()2－2·()≥k，令t＝，则k≤t2－2t＋1，
由于x∈[－1,1]，故t∈[，2]，
记h(t)＝t2－2t＋1，由于t∈[，2]，故h(t)max＝1，所以k的取值范围是(－∞，1]．
(理)(2021·浏阳一中、醴陵一中、攸县一中联考)已知幂函数f(x)＝(m∈Z)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是单调增函数．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)设函数g(x)＝f(x)＋ax3＋x2－b(x∈R)，其中a，b∈R.若函数g(x)仅在x＝0处有极值，求a的取值范围．
[解析] (1)∵f(x)在区间(0，＋∞)上是单调增函数，
∴－m2＋2m＋3>0，即m2－2m－3<0，
∴－1<m<3，又m∈Z，∴m＝0,1,2，
而m＝0,2时，f(x)＝x3不是偶函数，m＝1时，f(x)＝x4是偶函数，
∴f(x)＝x4.
(2)g(x)＝x4＋ax3＋x2－b，g′(x)＝x(x2＋3ax＋9)，明显x＝0不是方程x2＋3ax＋9＝0的根．
为使g(x)仅在x＝0处有极值，必需x2＋3ax＋9≥0恒成立，
即有Δ＝9a2－36≤0，解不等式得a∈[－2,2]．
这时，g(0)＝－b是唯一极值．∴a∈[－2,2].
20．(本小题满分12分)(2022·河北冀州中学期中)已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋a2(a＞0)的单调递减区间是(1,2)且满足f(0)＝1.
(1)求f(x)的解析式；
(2)对任意m∈(0,2]，关于x的不等式f(x)<m3－mlnm－mt＋3在x∈[2，＋∞)上有解，求实数t的取值范围．
[解析] (1)由f(0)＝a2＝1，且a＞0，可得a＝1.
由已知，得f′(x)＝3ax2＋2bx＋c＝3x2＋2bx＋c，
∵函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋a2的单调递减区是(1,2)，
∴f ′(x)＜0的解是1＜x＜2.
所以方程3x2＋2bx＋c＝0的两个根分别是1和2，
∴得
∴f(x)＝x3－x2＋6x＋1.
(2)由(1)，得f ′(x)＝3x2－9x＋6＝3(x－1)(x－2)，
∵当x＞2时，f ′(x)＞0，∴f(x)在[2，＋∞)上单调递增，x∈[2，＋∞)时，f(x)min＝f(2)＝3，
要使f(x)<m3－mlnm－mt＋3在x∈[2，＋∞)上有解，应有m3－mlnm－mt＋3>f(x)min，
∴m3－mlnm－mt＋3>3，
mt<m3－mlnm对任意m∈(0,2]恒成立，
即t<m2－lnm对任意m∈(0,2]恒成立．
设h(m)＝m2－lnm，m∈(0,2]，则t＜h(m)min，
h′(m)＝m－＝＝，
令h′(m)＝0得m＝1或m＝－1，
由m∈(0,2]，列表如下：
m
(0,1)
1
(1,2)
2
h′(m)
－
0
＋
h(m)
↘
微小值
↗
∴当m＝1时，h(m)min＝h(m)微小值＝，∴t<.
21．(本小题满分12分)(2021·湖北龙泉中学、宜昌一中等四校联考)某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C(x)(万元)，当年产量不足80千件时，C(x)＝x2＋10x(万元)；当年产量不小于80千件时，C(x)＝51x＋－1450(万元)．通过市场分析，每件商品售价定为500元，该厂生产的商品能全部售完．
(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；
(2)求年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？
[解析] (1)由于每件商品售价为0.05万元，则x千件商品销售额为0.05×1000x万元，依题意得，0<x<80时，L(x)＝(0.05×1000x)－x2－10x－250＝－x2＋40x－250.
当x≥80时，
L(x)＝(0.05×1000x)－51x－＋1450－250
＝1200－(x＋)．
所以L(x)＝
(2)当0<x<80时，
L(x)＝－(x－60)2＋950.
当x＝60时，L(x)取得最大值L(60)＝950万元．
当x≥80时，L(x)＝1200－(x＋)
≤1200－2
＝1200－200＝1000，
在x＝，即x＝100时，L(x)取得最大值1000万元．
∵950<1000，∴当产量为100千件时，该厂在这一商品中所获利润最大，最大利润为1000万元．
22．(本小题满分14分)(2021·长春市十一高中阶段测试)设函数f(x)＝(x2＋2)lnx，g(x)＝2x2＋ax，a∈R.
(1)证明：f(x)是(0，＋∞)上的增函数；
(2)设F(x)＝f(x)－g(x)，当x∈[1，＋∞)时，F(x)≥0恒成立，求a的取值范围．
[解析] (1)证明：要证明f(x)在(0，＋∞)上是增函数，只需证明f ′(x)≥0在(0，＋∞)恒成立，
∵f ′(x)＝2xlnx＋＋x，∴x(2lnx＋＋1)≥0，
∴2lnx＋＋1≥0.
设h(x)＝2lnx＋＋1，x∈(0，＋∞)，则h′(x)＝－＝，
所以h(x)在(0，)上单调递减，(，＋∞)上单调递增，h(x)的最小值为h()＝ln2＋2>0，
故f ′(x)＝2xlnx＋＋x＝xh(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
(2)∵F(x)＝f(x)－g(x)＝(x2＋2)lnx－2x2－ax≥0在[1，＋∞)上恒成立，
∴a≤在x∈[1，＋∞)上恒成立，
设G(x)＝
则G′(x)＝，当1<x<或x>e时，G′(x)>0，当<x<e时，G′(x)<0，
∴g(x)在(1，)上单调递增，在(，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增．
∴G(x)的最小值为G(1)，G(e)中较小的，
∵G(e)－G(1)＝－e＋2>0，
∴G(e)>G(1)，∴G(x)在x∈[1，＋∞)上的最小值为G(1)＝－2，∴a≤－2.
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