资源描述
阶段性测试题十(统计与概率)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．(2021·湖南师大附中月考)我校三个班级共有24个班，学校为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到24，现用系统抽样方法，抽取4个班进行调查，若抽到编号之和为48，则抽到的最小编号为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
[答案] B
[解析] 从24个班中抽取4个班，抽样间隔为6，设抽到的最小编号为x，则x＋(x＋6)＋(x＋12)＋(x＋18)＝4x＋36＝48，∴x＝3.
2．(文)(2021·河南开封二十二校联考)如图是某次诗歌竞赛上七位评委为甲、乙两名选手打出的分数茎叶图(其中a、b为数字0～9中的一个)，分别去掉一个最高分和一个最低分，记甲、乙两名选手得分的平均数分别为x1，x2，得分的方差分别为y1，y2，则下列结论正确的是 ( )
甲
乙
1
7
a
2 5 5 3 5
8
5 4 4 8 4
b
9
6
A.x1>x2，y1<y2 B．x1>x2，y1>y2
C．x1<x2，y1<y2 D．x1<x2，y1>y2
[答案] C
[解析] 由题计算可知x1＝84，y1＝，x2＝85，y2＝，∴x1<x2，y1<y2.
(理)(2021·郑州质量猜想)已知随机变量ξ听从正态分布N(1，σ2)，P(ξ≤4)＝0.84，则P(ξ≤－2)＝( )
A．0.16 B．0.32
C．0.68 D．0.84
[答案] A
[解析] 由于ξ听从正态分布N(1，σ2)，所以P(ξ≤4)＝P(ξ≥－2)＝0.84，故P(ξ≤－2)＝1－P(ξ≥－2)＝1－0.84＝0.16.
3．(文)(2021·湖南长沙市长郡中学月考)在区间[－π，π]内随机取两个数分别记为a、b，则使得函数f(x)＝4x2＋2ax－b2＋π2有零点的概率为( )
A. B．1－
C. D．1－
[答案] B
[解析] 要使f(x)有零点，应有16a2－16(－b2＋π2)＝16(a2＋b2－π2)≥0，
由题意知这是一个几何概型，
所求概率P＝＝，故选B.
(理)(2021·洛阳市期中)已知x，y都是区间[0，]内任取的一个实数，则使得y≤sinx的概率是( )
A. B．
C. D．
[答案] C
[解析] 如图，正方形OABC的面积S＝，阴影部分的面积S1＝∫0sinxdx＝(－cosx)|0＝1，∴所求概率P＝＝.
4．(2021·内蒙古宁城县月考)甲、乙两位同学在高二的5次月考中数学成果统计如茎叶图所示，若甲乙两人的平均成果分别是x甲，x乙，则下列结论正确的是( )
甲
乙
8 7 2
7
8
6
8
8 8
2
9
1 0
A.x甲<x乙 甲比乙成果稳定
B．x甲>x乙 乙比甲成果稳定
C．x甲>x乙 甲比乙成果稳定
D．x甲<x乙 乙比甲成果稳定
[答案] D
[解析] x甲＝(72＋77＋78＋86＋92)＝81，
x乙＝(78＋88＋88＋91＋90)＝87，∴x甲<x乙；
又甲的成果较分散，∴乙比甲的成果稳定，故选D.
5．(2021·赣州市博雅文化学校月考)袋中有大小相同的三个白球和两个黑球，从中任取两个球，两球同色的概率为( )
A. B．
C. D．
[答案] B
[解析] 从5个球中任取2个，共有10种不同取法，两球同色的情形为4种，∴所求概率P＝＝.
6．(2021·浙江慈溪市、余姚市联考)在一次射击训练中，甲、乙两位运动员各射击一次，设命题p是“甲射中目标”，q是“乙射中目标”，则命题“至少有一位运动员没有射中目标”可表示为( )
A．p∨q B．(¬p)∨(¬q)
C．(¬p)∧(¬q) D．p∨(¬q)
[答案] B
[解析] 命题¬p：甲没射中目标，¬q：乙没射中目标；
∵“至少有一位运动员没有射中目标”就是“甲没射中目标，或乙没射中目标”，∴可表示为(¬p)∨(¬q)，故选B.
7．(2022·北京市西城区二模)在平面直角坐标系xOy中，不等式组所表示的平面区域是α，不等式组所表示的平面区域是β.从区域α中随机取一点P(x，y)，则P为区域β内的点的概率是( )
A. B．
C. D．
[答案] C
[解析] 如图所示，平面区域α为三角形OAB，β与α重合的区域为直角梯形OCDB，由图可知，α内的点P落在β内的概率为＝，故选C.
8．(文)(2022·陕西宝鸡金台区月考)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b2x＋1，若a是从1,2,3三个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为( )
A. B．
C. D．
[答案] D
[解析] 求导数可得f ′(x)＝x2＋2ax＋b2，要满足题意需x2＋2ax＋b2＝0有两不等实根，即Δ＝4(a2－b2)>0，即a>b，又a，b的取法共有3×3＝9种，其中满足a>b的有(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)共6种，故所求的概率P＝＝，故选D.
(理)(2022·江西师大附中检测)高三毕业时，甲、乙、丙等五位同学站成一排合影留念，已知甲、乙相邻，则甲、丙相邻的概率为( )
A. B．
C. D．
[答案] B
[解析] 五人排队，甲、乙相邻的排法有AA，若甲、丙相邻，此时甲在乙、丙中间，排法有AA，故甲、丙相邻的概率为＝.
9．(文)(2021·江西师大附中、临川一中联考)已知变量x，y之间具有线性相关关系，其回归方程为＝－3＋bx，若i＝20，i＝30，则b的值为( )
A．1 B．3
C．－3 D．－1
[答案] B
[解析] ∵i＝20，i＝30，∴＝2，＝3，
∵回归方程为＝－3＋bx，∴3＝－3＋2b，∴b＝3，故选B.
(理)(2021·长春外国语学校期中)设随机变量ξ听从二项分布B(n，p)，且E(ξ)＝1.6，D(ξ)＝1.28，则( )
A．n＝8，p＝0.2 B．n＝4，p＝0.4
C．n＝5，p＝0.32 D．n＝7，p＝0.45
[答案] A
[解析] ∵随机变量ξ听从二项分布B(n，p)，且E(ξ)＝1.6，D(ξ)＝1.28，∴np＝1.6，np(1－p)＝1.28，相除得p＝0.2，n＝8，故选A.
10．(文)(2021·许昌、平顶山、新乡调研)从正六边形六个顶点及其中心这7个点中，任取两个点，则这两个点的距离大于该正六边形边长的概率为( )
A. B．
C. D．
[答案] C
[解析] ∵O到正六边形各顶点的距离都等于其边长，∴距离大于边长的两点，只在其顶点中产生，从每个顶点能连三条大于边长的线，故共有＝9条，从7个点中任取2个共有21种取法，
∴所求概率P＝＝.
(理)(2021·福建宁化一中段测)若(x－)n的开放式中第2项与第4项的二项式系数相等，则直线y＝nx与曲线y＝x2围成的封闭图形的面积为( )
A．36 B．12
C. D．
[答案] C
[解析] 由题意知C＝C，∴n＝4，
由解得或
∴所求面积S＝(4x－x2)dx＝(2x2－x3)|＝.
11．(文)(2022·重庆模拟)如图是收集重庆市2021年9月各气象采集点处的平均气温(单位：℃)的数据制成的频率分布直方图，图中有一处因污迹看不清．已知各采集点的平均气温范围是[20.5,26.5]，且平均气温低于22.5℃的采集点个数为11，则平均气温不低于25.5℃的采集点个数为( )
A．6 B．7
C．8 D．9
[答案] D
[解析] 依题意得2x＝1－(0.10＋0.26＋0.22＋0.18)＝0.24，x＝0.12.留意到(0.10＋0.12)0.18＝2218＝119，因此平均气温不低于25.5℃的采集点个数为9，故选D.
(理)(2021·江西三县联考)一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒子中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，其分布列为P(X)，则P(X＝4)的值为( )
A. B．
C. D．
[答案] C
[解析] 旧球个数X的可能取值为3,4,5,6，相应的取到新球的个数依次为ξ＝0,1,2,3，ξ听从超几何分布，
∴P(X＝4)＝P(ξ＝1)＝＝.
12．(文)(2021·甘肃会宁二中模拟)某班有24名男生和26名女生，数据a1，a2，…，a50是该班50名同学一次数学学业水平模拟考试的成果，下面的程序用来同时统计全班成果的平均分A，男生平均分M和女生平均分W；为了便于区分性别，输入时，男生的成果用正数，女生的成果用其成果的相反数．那么在图中空白的推断框和处理框中，应分别填入下列四个选项中的( )
A．T>0？，A＝ B．T<0？，A＝
C．T<0？，A＝ D．T>0？，A＝
[答案] D
[解析] M是用来统计男生成果的统计量，由于满足条件时，执行M＝M＋T，故第一个推断框中条件应为T>0？，又其次个推断框中条件k<50不成立时，男生总成果M与女生总成果W都已求出，故处理框中应赋值A＝计算全班成果的平均分．
(理)(2022·长安一中质检)用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( )
A．243 B．252
C．261 D．279
[答案] B
[解析] 有两个重复数字时，①含2个0，有9种，②含1个0,0不能排在百位，∴有CC＝18种；③不含0，有CCC＝216种(或CCC＝216种)；
有三个重复数字时，有C＝9种，∴共有含重复数字的三位数9＋18＋216＋9＝252个，故选B.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上．)
13．(文)(2022·佛山市质检)一个总体分为甲、乙两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为20的样本．已知乙层中每个个体被抽到的概率都为，则总体中的个体数为________．
[答案] 180
[解析] 由于分层抽样中每个个体被抽到的概率相等，故总体中的个体数为20÷＝180.
(理)(2021·普宁二中、中山一中、航天中学联考)各高校在高考录用时实行专业志愿优先的录用原则．一考生从某高校所给的7个专业中，选择3个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时兼报，则该考生不同的填报专业志愿的方法有________种．
[答案] 180
[解析] 甲、乙都不选时，有A＝60种；甲、乙两个专业选1个时，有CCA＝120种，
依据分类计数原理，可得共有60＋120＝180种不同的填报专业志愿的方法．
14．(2021·焦作市期中)学校为了解同学数学课程的学习状况，在1000名同学中随机抽取200名，并统计这200名同学的某次数学考试成果，得到了样本的频率分布直方图(如图)．依据频率分布直方图可估记这1000名同学在该次数学考试中成果不低于60分的同学数是________．
[答案] 800
[解析] 成果不低于60分的同学频率为(0.024＋0.028＋0.020＋0.008)×10＝0.8，
∴用频率作为概率的估量值可得这1000名同学中，成果不低于60分的同学数是1000×0.8＝800.
15．(文)(2021·湖南师大附中月考)从区间[－5,5]内随机取出一个数x，从区间[－3,3]内随机取出一个数y，则使得|x|＋|y|≤4的概率为________．
[答案]
[解析] 点(x，y)所在区域为长方形ABCD，其面积S＝60，其中阴影部分的面积为S1＝2×(2＋8)×3×＝30.
∴所求概率为P＝＝.
(理)(2021·长春外国语学校期中)袋中有三个白球，两个黑球，现每次摸出一个球，不放回的摸取两次，则在第一次摸到黑球的条件下，其次次摸到白球的概率为________．
[答案]
[解析] 由于是不放回取球，所以在第一次取到黑球的条件下，袋中还有3白1黑共4个球，从中取出一球，摸到白球的概率为，即在第一次取到黑球的条件下，第2次摸到白球的概率为.
16．(文)(2022·海南省文昌市检测)在区域M＝(x，y)内撒一粒豆子，落在区域N＝{(x，y)|x2＋(y－2)2≤2}内的概率为________．
[答案]
[解析] ∵⊙C：x2＋(y－2)2＝2的圆心C(0,2)与直线y＝x和x＋y＝4都相切．
∴区域M中落在区域N内的部分为半圆．
由得A(2,2)，∴S△OAB＝×4×2＝4，
又S半圆＝π，∴所求概率P＝.
(理)(2021·宜春中学、新余四中联考)过椭圆＋＝1的左焦点作直线与椭圆相交，使弦长均为整数的全部直线中，等可能地任取一条直线，所取弦长不超过4的概率为________．
[答案]
[解析] 过椭圆＋＝1的左焦点作直线与椭圆相交，最小弦长为通径＝2，最大弦长为长轴长8，弦长均为整数的全部直线中，等可能地任取一条直线，共有2×5＋2＝12种状况，所取弦长不超过4，有2×2＋1＝5种状况，∴所求概率为P＝.
三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)
17．(本小题满分12分)(文)(2021·湖南长沙长郡中学月考)已知某单位有50名职工，从中按系统抽样抽取10名职工．
(1)若第5组抽出的号码为22，写出全部被抽出职工的号码；
(2)分别统计这10名职工的体重(单位：公斤)，获得体重数据的茎叶图如图所示，现从这10名职工中随机抽取两名体重超过平均体重的职工，求体重为76公斤的职工被抽取到的概率.
5
9
6
2 5 7
7
0 3 6 8 9
8
1
[解析] (1)由题意，第5组抽出的号码为22，
由于2＋5×(5－1)＝22，
所以第1组抽出的号码应当为2，抽出的10名职工的号码分别为2,7,12,17,22,27,32,37,42,47.
(2)由于10名职工的平均体重为＝(81＋70＋73＋76＋78＋79＋62＋65＋67＋59)＝71.
从10名职工中随机抽取两名体重不轻于71公斤的职工，共有10种不同的取法：(73,76)，(73,78)，(73,79)，(73,81)，(76,78)，(76,79)，(76,81)，(78,79)，(78,81)，(79,81)，
体重为76公斤的职工被抽到有4种，
故所求概率为P(A)＝＝.
(理)(2021·石光中学段测)下图是依据部分城市某年9月份的平均气温(单位：℃)数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是[20.5，26.5]，样本数据的分组为[20.5,21.5)，[21.5,22.5)，[22.5,23.5)，[23.5,24.5)，[24.5,25.5)，[25.5，26.5]．已知样本中平均气温低于22.5℃的城市个数为11.
(1)求抽取的样本个数和样本数据的众数；
(2)若用分层抽样的方法在数据组[21.5,22.5)和[25.5，26.5]中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2个城市，求恰好抽到2个城市在同一组中的概率．
[解析] (1)设抽取的样本个数为N，则＝(0.10＋0.12)×1，解之得N＝50.
由图知样本数据的众数为＝24.
所以抽取的样本个数为50，样本数据的众数为24.
(2)由图知气温数据组[21.5,22.5)与[25.5,26.5]的概率比为0.120.18＝23，又用分层抽样共抽取5个城市，所以在[21.5,22.5)中抽取5×＝2个城市，不妨设为甲、乙；在[25.5,26.5]中抽取5×＝3个城市，不妨设为A，B，C.
于是在这5个城市中抽到的2个城市有如下状况：
甲乙、甲A、甲B、甲C、乙A、乙B、乙C、AB、AC、BC，共10种状况.2个城市在同一气温数据组的有：甲乙、AB、AC、BC，共4种状况．
所以在这5个城市中恰好抽到2个城市在同一气温数据组的概率P＝＝.
18．(本小题满分12分)(文)(2021·山东师大附中模拟)某公司有男职员45名，女职员15名，依据分层抽样的方法组建了一个4人的科研攻关小组．
(1)求某职员被抽到的概率及科研攻关小组中男、女职员的人数；
(2)经过一个月的学习、争辩，这个科研攻关组打算选出两名职员做某项试验，方法是先从小组里选出1名职员做试验，该职员做完后，再从小组内剩下的职员中选一名做试验，求选出的两名职员中恰有一名女职员的概率；
(3)试验结束后，第一次做试验的职员得到的试验数据为68,70,71,72,74，其次次做试验的职员得到的试验数据为69,70,70,72,74，请问哪位职员的试验更稳定？并说明理由．
[解析] (1)P＝＝＝，所以某职员被抽到的概率为.
设有x名男职员，则＝，所以x＝3，所以男、女职员的人数分别为3、1.
(2)把3名男职员和1名女职员记为a1，a2，a3，b，则选取两名职员的基本大事有(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，a3)，(a2，b)，(a3，a1)，(a3，a2)，(a3，b)，(b，a1)，(b，a2)，(b，a3)共12种，其中有一名女职员的有6种．
所以选出的两名职员中恰有一名女职员的概率为P＝＝.
(3)1＝＝71，
2＝＝71，
s＝
＝4，
s＝＝3.2，
∵s<s，∴其次次做试验的职员做的试验更稳定．
(理)(2021·江西师大附中、临川一中联考)为了增加中同学的法律意识，某中学高三班级组织了普法学问竞赛．并随机抽取了A、B两个班中各5名同学的成果，成果如下表所示：
A班
87
88
91
91
93
B班
85
89
91
92
93
(1)依据表中的数据，分别求出A、B两个班成果的平均数和方差，并推断对法律学问的把握哪个班更为稳定？
(2)用简洁随机抽样方法从B班5名同学中抽取2名，他们的成果组成一个样本，求抽取的2名同学的分数差值至少是4分的概率．
[解析] (1)＝(87＋88＋91＋91＋93)＝90，＝(85＋89＋91＋92＋93)＝90，
S＝[(87－90)2＋(88－90)2＋(91－90)2＋(91－90)2＋(93－90)2]＝，
S＝[(85－90)2＋(89－90)2＋(91－90)2＋(92－90)2＋(93－90)2]＝8.
A班法律学问的把握更为稳定．
(2)从B班抽取两名同学的成果分数，全部基本大事有：(85,89)，(85,91)，(85,92)，(85,93)，(89,91)，(89,92)，(89,93)，(91,92)，(91,93)，(92,93)共有10个基本大事；抽取的2名同学的分数差值至少是4分的有(85,89)，(85,91)，(85,92)，(85,93)，(89,93)共5个基本大事．
∴P＝＝.
19．(本小题满分12分)(文)(2021·内蒙宁城县月考)某企业员工500人参与“学雷锋”志愿活动，按年龄分组：第1组[25,30)，第2组[30,35)，第3组[35,40)，第4组[40,45)，第5组[45,50]，得到的频率分布直方图如图所示．
(1)下表是年龄的频率分布表，求正整数a，b的值；
区间
[25,30)
[30,35)
[35,40)
[40,45)
[45,50]
人数
50
50
a
150
b
(2)现在要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取6人，从这6人中随机抽取2人参与社区宣扬沟通活动，求至少有1人年龄在第3组的概率．
[解析] (1)由题设可知，a＝0.08×5×500＝200，b＝0.02×5×500＝50.
(2)由于第1,2,3组共有50＋50＋200＝300人，
利用分层抽样在300名同学中抽取6名同学，每组抽取的人数分别为：
第1组的人数为6×＝1，第2组的人数为6×＝1，第3组的人数为6×＝4，
所以第1,2,3组分别抽取1人，1人，4人．
设第1组的1位同学为A，第2组的1位同学为B，第3组的4位同学为C1，C2，C3，C4，则从六位同学中抽两位同学有：(A，B)，(A，C1)，(A，C2)，(A，C3)，(A，C4)，(B，C1)，(B，C2)，(B，C3)，(B，C4)，(C1，C2)，(C1，C3)，(C1，C4)，(C2，C3)，(C2，C4)，(C3，C4)，共15种可能．
其中2人年龄都不在第3组的只有(A，B)1种可能，
所以至少有1人年龄在第3组的概率为1－＝.
(理)(2021·福建宁化一中段测)某校为了解高一班级期中考试数学科的状况，从高一的全部数学试卷中随机抽取n份试卷进行分析，得到数学成果频率分布直方图如下图，其中成果在[70,80)的人数为15，规定成果≥80分为优秀．
(1)求样本中成果优秀的试卷份数，并估量该校高一班级期中考试数学成果的优秀率；
(2)从样本成果在[50,60)和[60,70)这两组中随机抽取2名同学，求抽取的2名同学中不及格(成果<60分为不及格)的人数ξ的分布列及数学期望．
[解析] (1)由频率分布直方图可得[70,80)的频率：0.030×10＝0.30，所以，n＝15÷0.30＝50，
∴第四组[80,90)的频数：0.024×10×50＝12；
第五组[90,100]的频数：0.016×10×50＝8；
所以，样本中优秀的试卷份数为20，样本的优秀率＝＝40%，∴估量该校高一班级期中考试数学成果的优秀率为40%.
(2)第一组[50,60)的频数：0.012×10×50＝6；
其次组[60,70)的频数：0.018×10×50＝9；
ξ的全部可能取值为0,1,2.
依题意，得P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝.
∴ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P
∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.
20．(本小题满分12分)(文)(2022·广东执信中学期中)某校高三文科分为五个班．高三数学测试后，随机地在各班抽取部分同学进行成果统计，各班被抽取的同学人数恰好成等差数列，人数最少的班被抽取了18人．抽取出来的全部同学的测试成果统计结果的频率分布条形图如图所示，其中120～130(包括120分但不包括130分)的频率为0.05，此分数段的人数为5人．
(1)问各班被抽取的同学人数各为多少人？
(2)在抽取的全部同学中，任取一名同学，求分数不小于90分的概率．
[解析] (1)由频率分布条形图知，抽取的同学总数为＝100人．
∵各班被抽取的同学人数成等差数列，设其公差为d，
由5×18＋10d＝100，解得d＝1.
∴各班被抽取的同学人数分别是18人，19人，20人，21人，22人．
(2)在抽取的同学中，任取一名同学，则分数不小于90分的频率为0.35＋0.25＋0.1＋0.05＝0.75.
用频率作为概率的估量值知所求概率约为0.75.
(理)(2021·洛阳市期中)某旅行社为3个旅游团供应甲、乙、丙、丁共4条旅游线路，每个旅游团任选其中一条．
(1)求恰有2条线路没有被选择的概率；
(2)设选择甲旅行线路的旅游团数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．
[解析] (1)恰有2条线路没有被选择的概率为P＝＝.
(2)ξ＝0,1,2,3，P(ξ＝0)＝＝，
P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝.
所以ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
3
P
所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
21．(本小题满分12分)(文)(2021·韶关市十校联考)对某校全体老师在教学中是否经常使用信息技术实施教学的状况进行了调查，得到统计数据如下：
老师年龄
5年以下
5年至
10年
10年至
20年
20年以上
老师人数
8
10
30
18
经常使用信息技术
实施教学的人数
2
4
10
4
(1)求该校老师在教学中不经常使用信息技术实施教学的概率．
(2)在教龄10年以下，且经常使用信息技术教学的老师中任选2人，其中恰有一人教龄在5年以下的概率是多少？
[解析] (1)该校老师总人数为66人，其中经常使用信息技术教学的老师有20人，不经常使用信息技术实施教学的有46人，所以该校老师在教学中不经常使用信息技术实施教学的概率P＝＝.
(2)在教龄10年以下且经常使用信息技术教学的老师中，教龄在5年以下的有2人分别记为A1，A2；教龄5年至10年的有4人分别记为B1，B2，B3，B4，从这6人中任选2人的状况有：(A1A2)，(A1B1)，(A1B2)，(A1B3)，(A1B4)，(A2B1)，(A2B2)，(A2B3)，(A2B4)，(B1B2)，(B1B3)，(B1B4)，(B2B3)，(B2B4)，(B3B4)，共15种．
设其中恰有一人教龄在5年以下为大事A，则大事A包含的基本大事有8种．
所以P(A)＝.
答：在教龄10年以下，且经常使用信息技术教学的老师中任选2人，其中恰有一人教龄在5年以下的概率是.
(理)(2021·豫南九校联考)某市为“市中同学学问竞赛”进行选拔性测试，且规定：成果大于或等于90分的有参赛资格，90分以下(不包括90分)的则被淘汰．现有500名同学参与测试，参与测试的同学成果的频率分布直方图如图所示．
(1)求获得参赛资格的同学人数，并且依据频率分布直方图，估算这500名同学测试的平均成果；
(2)若学问竞赛分初赛和复赛，在初赛中每人最多有5次选题答题的机会，累计答对3题或答错3题即终止答题，答对3题者方可参与复赛．已知同学甲答对每一个问题的概率都相同，并且相互之间没有影响，已知他连续两次答错的概率为，求甲在初赛中答题个数ξ的分布列及数学期望E(ξ)．
[解析] (1)由频率分布直方图得，获得参赛资格的人数为500×(0.0050＋0.0043＋0.0032)×20＝125人．
设500名同学的平均成果为，则＝(40×0.0065＋60×0.0140＋80×0.0170＋100×0.0050＋120×0.0043＋140×0.0032)×20＝78.48分．
(2)设同学甲答对每道题的概率为P(A)，则
(1－P(A))2＝，∴P(A)＝.
同学甲答题个数ξ的可能值为3,4,5，
则P(ξ＝3)＝()3＋()3，P(ξ＝4)＝C()()3＋C()()3＝，
P(ξ＝5)＝C()2()2＝.
所以ξ的分布列为
ξ
3
4
5
P
Eξ＝×3＋×4＋×5＝.
22．(本小题满分14分)(文)某中学对高二甲、乙两个同类班级进行“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率作用”的试验，其中甲班为试验班(加强语文阅读理解训练)，乙班为对比班(常规教学，无额外训练)，在试验前的测试中，甲、乙两班同学在数学应用题上的得分率基本全都，试验结束后，统计几次数学应用题测试的平均成果(均取整数)如下表所示：
60分
以下
61～
70分
71～
80分
81～
90分
91～
100分
甲班(人数)
3
6
11
18
12
乙班(人数)
4
8
13
15
10
现规定平均成果在80分以上(不含80分)的为优秀．
(1)试分析估量两个班级的优秀率；
(2)由以上统计数据填写下面2×2列联表，并问是否有75%的把握认为“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率”有挂念.
优秀人数
非优秀人数
合计
甲班
乙班
合计
参考数据：
P(K2≥k0)
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
k0
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
P(K2≥k0)
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
[解析] (1)由题意知，甲、乙两班均有同学50人，
甲班优秀人数为30人，优秀率为＝60%，
乙班优秀人数为25人，优秀率为＝50%，
所以甲、乙两班的优秀率分别为60%和50%.
(2)
优秀人数
非优秀人数
合计
甲班
30
20
50
乙班
25
25
50
合计
55
45
100
由于K2＝＝≈1.010，
所以由参考数据知，没有75%的把握认为“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率”有挂念．
(理)(2022·浙江省五校联考)甲、乙、丙三人按下面的规章进行乒乓球竞赛：第一局由甲、乙参与而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行竞赛，而前一局的失败者轮空．竞赛按这种规章始终进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止．设在每局中参赛者胜败的概率均为，且各局胜败相互独立．求：
(1)打满4局竞赛还未停止的概率；
(2)竞赛停止时已打局数ξ的分布列与期望E(ξ)．
[解析] 令Ak，Bk，Ck分别表示甲、乙、丙在第k局中获胜．
(1)由独立大事同时发生与互斥大事至少有一个发生的概率公式知，打满4局竞赛还未停止的概率为P(A1C2B3A4)＋P(B1C2A3B4)＝＋＝.
(2)ξ的全部可能值为2,3,4,5,6，且
P(ξ＝2)＝P(A1A2)＋P(B1B2)＝＋＝，
P(ξ＝3)＝P(A1C2C3)＋P(B1C2C3)＝＋＝.
P(ξ＝4)＝P(A1C2B3B4)＋P(B1C2A3A4)＝＋＝.
P(ξ＝5)＝P(A1C2B3A4A5)＋P(B1C2A3B4B5)＝＋＝.
P(ξ＝6)＝P(A1C2B3A4C5)＋P(B1C2A3B4C5)＝＋＝.
故分布列为
ξ
2
3
4
5
6
P
∴E(ξ)＝2×＋3×＋4×＋5×＋6×＝.
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