资源描述
[基础达标]
一、选择题
1．在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c.asin Bcos C＋csin Bcos A＝b，则sin B＝( )
A. B．－
C. D.
解析：选A.由正弦定理得sin Asin Bcos C＋sin Csin Bcos A＝sin B，由于B为△ABC的内角，所以sin B≠0，约去sin B，得sin(A＋C)＝，所以sin B＝.
2．(2022·安庆模拟)在△ABC中，A∶B＝1∶2，sin C＝1，则a∶b∶c等于( )
A．1∶2∶3 B．3∶2∶1
C．1∶∶2 D．2∶∶1
解析：选C.由sin C＝1，∴C＝，由A∶B＝1∶2，故A＋B＝3A＝，得A＝，B＝，由正弦定理得，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝∶∶＝1∶∶2.
3．(2022·石家庄质检)在△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，sin A、sin B、sin C成等比数列，且c＝2a，则cos B的值为( )
A. B.
C. D.
解析：选B.由于sin A、sin B、sin C成等比数列，所以sin2B＝sin Asin C，由正弦定理得b2＝ac.又c＝2a，故cos B＝＝＝，故选B.
4．(2021·高考课标全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2，B＝，C＝，则△ABC的面积为( )
A．2＋2 B.＋1
C．2－2 D.－1
解析：选B.∵B＝，C＝，
∴A＝π－B－C＝π－－＝.
由正弦定理＝，得
＝，即＝，
∴c＝2.
∴S△ABC＝bcsin A＝×2×2sin＝＋1.故选B.
5．(2021·高考陕西卷)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的外形为( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
解析：选B.法一：∵bcos C＋ccos B
＝b·＋c·
＝
＝＝a＝asin A，∴sin A＝1.
∵A∈(0，π)，∴A＝，即△ABC是直角三角形．
法二：由正弦定理得：
sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2A，
即sin(B＋C)＝sin A＝sin2A，
∴sin A＝1.
∵A∈(0，π)，∴A＝，
∴△ABC是直角三角形．
二、填空题
6．(2022·福建厦门模拟)已知△ABC中，设三个内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且a＝1，b＝，A＝30°，则c＝________.
解析：∵a＝1，b＝，A＝30°，
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A得
1＝3＋c2－3c，即c2－3c＋2＝0，
因式分解得(c－1)(c－2)＝0，
解得c＝1或c＝2，经检验都符合题意，
所以c＝1或2.
答案：1或2
7．(2022·高考北京卷)在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cos B＝－，则b＝________.
解析：在△ABC中，由b2＝a2＋c2－2accos B及b＋c＝7知，b2＝4＋(7－b)2－2×2×(7－b)×，整理得15b－60＝0，∴b＝4.
答案：4
8．(2022·襄阳市高三调研)在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，若b＝5，∠B＝，tan A＝2，则(1)sin A＝________；(2)a＝________.
解析：(1)由解得
(2)由正弦定理得＝，即，＝解得a＝2.
答案：(1) (2)2
三、解答题
9．(2021·高考浙江卷)在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c, 且2asin B＝b.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝6，b＋c＝8，求△ABC的面积．
解：(1)由2asin B＝b及正弦定理＝，
得sin A＝.
由于A是锐角，所以A＝.
(2)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，
得b2＋c2－bc＝36.
又b＋c＝8，所以bc＝.
由三角形面积公式S＝bcsin A，
得△ABC的面积为××＝.
10．(2021·高考四川卷)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos2cos B－sin(A－B)sin B＋cos(A＋C)＝－.
(1)求cos A的值；
(2)若a＝4，b＝5，求向量在方向上的投影．
解：(1)由2cos2cos B－sin(A－B)sin B＋cos(A＋C)＝－，得
[cos(A－B)＋1]cos B－sin(A－B)sin B－cos B＝－，
即cos(A－B)cos B－sin(A－B)sin B＝－，
则cos(A－B＋B)＝－，即cos A＝－.
(2)由cos A＝－，0<A<π，得sin A＝.
由正弦定理，有＝，所以sin B＝＝.
由题意知a>b，则A>B，故B＝.
依据余弦定理，有(4)2＝52＋c2－2×5×c×，
解得c＝1或c＝－7(舍去)．
故向量 在方向上的投影为||cos B＝.
[力气提升]
一、选择题
1．(2022·威海调研)在△ABC中，内角A，B，C对应的边分别是a，b，c.已知c＝2，C＝，S△ABC＝，则△ABC的周长为( )
A．6 B．5
C．4 D．4＋2
解析：选A.由S△ABC＝absin＝ab＝，得ab＝4.
依据余弦定理知4＝a2＋b2－2abcos＝(a＋b)2－3ab，
所以a＋b＝4.故△ABC的周长为a＋b＋c＝6，故选A.
2．(2022·高考湖北卷)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若三边的长为连续的三个正整数，且A＞B＞C,3b＝20acos A，则sin A∶sin B∶sin C为( )
A．4∶3∶2 B．5∶6∶7
C．5∶4∶3 D．6∶5∶4
解析：选D.∵A＞B＞C，∴a＞b＞c.设a＝b＋1，c＝b－1，由3b＝20acos A得3b＝20(b＋1)×.化简，得7b2－27b－40＝0.解得b＝5或b＝－(舍去)，
∴a＝6，c＝4.
∴sin A∶sin B∶sin C＝6∶5∶4.
二、填空题
3．在△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，已知a，b，c成等比数列，且a2－c2＝ac－bc，则∠A＝________.
解析：∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac.
又a2－c2＝ac－bc，∴b2＋c2－a2＝bc.
在△ABC中，由余弦定理得
cos A＝＝＝，
∴∠A＝60°.
答案：60°
4．(2022·金华调研)在Rt△ABC中，∠C＝90°，且∠A、∠B、∠C所对的边a、b、c满足a＋b＝cx，则实数x的取值范围是________．
解析：x＝＝＝sin A＋cos A
＝sin.又A∈，
∴sin<sin≤sin，即x∈(1， ]．
答案：(1， ]
三、解答题
5．(2022·武汉市部分学校高三调研)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知2cos(B－C)＋1＝4cos B·cos C.
(1)求A；
(2)若a＝2，△ABC的面积为2，求b＋c.
解：(1)由2cos(B－C)＋1＝4cos Bcos C，得2(cos Bcos C＋sin Bsin C)＋1＝4cos Bcos C，
即2(cos Bcos C－sin Bsin C)＝1，亦即2cos(B＋C)＝1，
所以cos(B＋C)＝.
由于0＜B＋C＜π.所以B＋C＝.
由于A＋B＋C＝π，所以A＝.
(2)由(1)，得A＝.
由S△ABC＝2，得bcsin＝2，所以bc＝8.①
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得
(2)2＝b2＋c2－2bccos，即b2＋c2＋bc＝28.
所以(b＋c)2－bc＝28.②
将①代入②，得(b＋c)2－8＝28，
所以b＋c＝6.
6．(选做题)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a2－(b－c)2＝(2－)bc，sin Asin B＝cos2 ，BC边上的中线AM的长为.
(1)求角A和角B的大小；
(2)求△ABC的面积．
解：(1)由a2－(b－c)2＝(2－)bc，
得a2－b2－c2＝－bc，
∴cos A＝＝，又0＜A＜π，∴A＝.
由sin Asin B＝cos2 ，得sin B＝，
即sin B＝1＋cos C，
则cos C＜0，即C为钝角，∴B为锐角，且B＋C＝，
则sin(－C)＝1＋cos C，化简得cos(C＋)＝－1，
解得C＝，∴B＝.
(2)由(1)知，a＝b，由余弦定理得AM2＝b2＋()2－2b··cos C＝b2＋＋＝()2，解得b＝2，
故S△ABC＝absin C＝×2×2×＝.
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