资源描述
[基础达标]
1．不等式A<6×A的解集为( )
A．[2，8] B．[2，6]
C．(7，12) D．{8}
解析：选D．<6×，
∴x2－19x＋84<0，解得7<x<12.
又x≤8，x－2≥0，
∴7<x≤8，x∈N*，即x＝8.
2．(2022·高考辽宁卷)一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为( )
A．3×3! B．3×(3！)3
C．(3！)4 D．9!
解析：选C．把一家三口看作一个排列，然后再排列这3家，所以有(3！)4种．
3．(2022·东北三校联合考试)将4名实习老师支配到高一班级的3个班实习，若每班至少支配1名老师，则不同的支配方案种数为( )
A．12 B．36
C．72 D．108
解析：选B．由于元素个数多于位置个数，故先分堆再分位置，分两步完成，第一步，从4名老师中选出2名老师分成一组，其余2名老师各自为一组，共有C种选法，其次步，将上述三组与3个班级对应，共有A种，这样，所求的不同的方案种数为CA＝36.
4．有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有( )
A．36种 B．48种
C．72种 D．96种
解析：选C．恰有两个空位相邻，相当于两个空位与第三个空位不相邻，先排三个人，然后插空．从而共A·A种排坐法．
5．(2022·高考浙江卷)若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )
A．60种 B．63种
C．65种 D．66种
解析：选D．满足题设的取法可分为三类：一是四个奇数相加，其和为偶数，在5个奇数1，3，5，7，9中，任意取4个，有C＝5(种)；二是两个奇数加两个偶数其和为偶数，在5个奇数中任取2个，再在4个偶数2，4，6，8中任取2个，有C·C＝60(种)；三是四个偶数相加，其和为偶数，4个偶数的取法有1种，所以满足条件的取法共有5＋60＋1＝66(种)．
6．(2021·高考大纲全国卷)从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有________种．(用数字作答)
解析：由题意知，全部可能的决赛结果有CCC＝6××1＝60(种)．
答案：60
7．(2021·高考大纲全国卷)6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有________种．(用数字作答)
解析：法一：先把除甲、乙外的4个人全排列，共有A种方法．再把甲、乙两人插入这4人形成的五个空位中的两个，共有A种不同的方法．故全部不同的排法共有A·A＝24×20＝480(种)．
法二：6人排成一排，全部不同的排法有A＝720(种)，其中甲、乙相邻的全部不同的排法有AA＝240(种)，所以甲、乙不相邻的不同排法共有720－240＝480(种)．
答案：480
8．(2022·湖北省八校联考)航空母舰“辽宁舰”将进行一次编队配置科学试验，要求2艘攻击型核潜艇一前一后，2艘驱除舰和2艘护卫舰分列左、右，同侧不能都是同种舰艇，则舰艇支配方案的方法数为________．
解析：先将2艘驱除舰和2艘护卫舰平均分成两组，再排，有CAAA种方法，然后排2艘攻击型核潜艇，有A种方法，故舰艇支配方案的方法数为CAAAA＝32.
答案：32
9．男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名，选派5人外出竞赛，在下列情形中各有多少种选派方法？
(1)男运动员3名，女运动员2名；
(2)至少有1名女运动员．
解：(1)任选3名男运动员，方法数为C，再选2名女运动员，方法数为C，共有C·C＝120(种)方法．
(2)法一：至少1名女运动员包括以下几种状况：
1女4男，2女3男，3女2男，4女1男，
由分类加法计数原理可得总选法数为
CC＋CC＋CC＋CC＝246.
法二：“至少有1名女运动员”的反面是“全是男运动员”，因此用间接法求解，不同选法有C－C＝246(种)．
10．从1到9的9个数字中取3个偶数4个奇数，试问：
(1)能组成多少个没有重复数字的七位数？
(2)上述七位数中，3个偶数排在一起的有几个？
(3)(1)中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个？
解：(1)分三步完成：第一步，在4个偶数中取3个，有C种状况；其次步，在5个奇数中取4个，有C种状况；第三步，3个偶数，4个奇数进行排列，有A种状况．所以符合题意的七位数有CCA＝100 800(个)．
(2)上述七位数中，3个偶数排在一起的有CCAA＝14 400(个)．
(3)上述七位数中，3个偶数排在一起，4个奇数也排在一起的有CCAAA＝5 760(个)．
[力气提升]
1．(2022·高考北京卷)从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为( )
A．24 B．18
C．12 D．6
解析：选B．当选0时，先从1，3，5中选2个数字有C种方法，然后从选中的2个数字中选1个排在末位有C种方法，剩余1个数字排在首位，共有CC＝6(种)方法；当选2时，先从1，3，5中选2个数字有C种方法，然后从选中的2个数字中选1个排在末位有C种方法，其余2个数字全排列，共有CCA＝12(种)方法．依分类加法计数原理知共有6＋12＝18(个)奇数．
2．(2022·湖南张家界调研)在航天员进行的一项太空试验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能毁灭在第一或最终一步，程序B和C在实施时必需相邻，问试验挨次的编排方法共有( )
A．34种 B．48种
C．96种 D．144种
解析：选C．本题是一个分步计数问题，由题意知程序A只能毁灭在第一步或最终一步，∴从第一个位置和最终一个位置中选一个位置把A排列，有A＝2(种)结果．∵程序B和C在实施时必需相邻，∴把B和C看作一个元素，同除A外的3个元素排列，留意B和C之间还有一个排列，共有AA＝48(种)结果．依据分步计数原理知共有2×48＝96(种)结果，故选C．
3．甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是__________．(用数字作答)
解析：3个人各站一级台阶有A＝210(种)站法；3个人中有2个人站在一级，另一人站在另一级，有CA＝126(种)站法，共有210＋126＝336(种)站法．
答案：336
4．(2022·高考湖北卷)回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数．如22，121，3 443，94 249等．明显2位回文数有9个：11，22，33，…，99.3位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999.则
(1)4位回文数有__________个；
(2)2n＋1(n∈N＋)位回文数有__________个．
解析：(1)4位回文数第1、4位取同一个非零数有C＝9(种)选法，第2、3位可取0，有10种选法，故有9×10＝90(个)，即4位回文数有90个．
(2)首位和末位不能取0，故有9种选法，其余位关于中间数对称，每两数都有10种选法，中间数也有10种选法，故2n＋1(n∈N＋)位回文数有9×10n个．
答案：90 9×10n
5．依据下列要求，分别求有多少种不同的方法？
(1)6个不同的小球放入4个不同的盒子；
(2)6个不同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少有一个小球．
解：(1)每个小球都有4种方法，依据分步计数原理共有46＝4 096(种)不同方法．
(2)分两类：第1类，6个小球分3，1，1，1放入盒中；第2类，6个小球分2，2，1，1放入盒中，共有C·C·A＋C·C·A＝1 560(种)不同放法．
6．(选做题) 某区有7条南北向街道，5条东西向街道(如图所示)．
(1)图中共有多少个矩形？
(2)从A点到B点最近的走法有多少种？
解：(1)在7条竖线中任选2条，5条横线中任选2条，这样4条线可组成1个矩形，故可组成矩形C·C＝210(个)．
(2)每条东西向的街道被分成6段，每条南北向的街道被分成4段，从A到B最短的走法，无论怎样走，确定包括10段，其中6段方向相同，另外4段方向相同，每种走法，即是从10段中选出6段，这6段是走东西方向的，共有C＝C＝210(种)走法(同样可从10段中选4段走南北方向，每种选法即是1种走法)．所以共有210种走法．
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