2022届高考数学(文科人教A版)大一轮专项强化训练(六)概率与统计的综合问题-.docx

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专项强化训练(六)
概率与统计的综合问题
1.(2021·宁德模拟)某校高二班级在数学必修模块考试后随机抽取40名同学的成果,按成果共分为五组:第1组[75,80),第2组[80,85),第3组[85,90),第4组[90,95),第5组[95,100),得到的频率直方图如图所示,同时规定成果在90分以上(含90分)的记为A级,成果小于90分的记为B级.
(1)假如用分层抽样的方法从成果为A和B的同学中共选出10人,求成果为A和B的同学各选出几人.
(2)已知a是在(1)中选出的成果为B的同学中的一个,若从选出的成果为B的同学中选出2人参与某问卷调查,求a被选中的概率.

【解析】(1)依题意,成果为A级的同学人数是40×(0.04+0.02)×5=12(人),
成果为B级的同学人数是40-12=28(人),
由于分层抽样的抽取比例为1040=14,故成果为A级的同学抽取出12×14=3(人),
成果为B级的同学抽取出28×14=7(人).
(2)将(1)中选取的成果为B级的同学记作:a,b,c,d,e,f,g.则从这7人中选取2人的基本大事有:ab,ac,ad,ae,af,ag,bc,bd,be,bf,bg,cd,ce,cf,cg,de,df,
dg,ef,eg,fg共21个.其中含a的基本大事有:ab,ac,ad,ae,af,ag共6个.记大事A=“同学a被选中”,则其概率P(A)=621=27.
2.(2021·邯郸模拟)为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关,现对30名六班级同学进行了问卷调查得到如下列联表:平均每天喝500mL以上为常喝,体重超过50kg为肥胖.

常喝
不常喝
总计
肥胖

2

不肥胖

18

总计

30
已知在全部30人中随机抽取1人,抽到肥胖的同学的概率为415.
(1)请将上面的列联表补充完整.
(2)能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为肥胖与常喝碳酸饮料有关?说明你的理由.
(3)现从常喝碳酸饮料且肥胖的同学中(2名女生),抽取2人参与电视节目,则正好抽到一男一女的概率是多少?
参考数据:
P(K2≥k)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6. 635
7.879
10.828
(参考公式:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d)
【解析】(1)设常喝碳酸饮料肥胖的同学有x人,x+230=415,x=6.

常喝
不常喝
总计
肥胖
6
2
8
不肥胖
4
18
22
总计
10
20
30
(2)由已知数据可求得:
k=30(6×18-2×4)210×20×8×22≈8.523>7.879,
因此能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为肥胖与常喝碳酸饮料有关.
(3)设常喝碳酸饮料的肥胖者男生为A,B,C,D,女生为E,F,则任取两人有AB,AC,AD,AE,AF,BC,BD,BE,BF,CD,CE,CF,DE,DF,EF,共15种.其中一男一女有AE,AF,BE,BF,CE,CF,DE,DF.故抽出一男一女的概率是P=815.
3.(2021·合肥模拟)某保险公司利用简洁随机抽样方法,对投保车辆进行抽样,样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下:
赔偿金额(元)
0
1 000
2 000
3 000
4 000
车辆数(辆)
500
130
100
150
120
(1)若每辆车的投保金额均为2800元,估量赔付金额大于投保金额的概率.
(2)在样本车辆中,车主是新司机的占10%,在赔付金额为4000元的样本车辆中,车主是新司机的占20%,估量在已投保车辆中,新司机获赔金额为4000元的概率.
【解析】(1)总车辆数n=500+130+100+150+120=1000.
赔付金额0,1000,2000,3000,4000大于投保金额2800元有:
3000,4000元,分别对应车辆数为150,120.
所以赔付金额大于投保金额2800元的概率P=150+1201 000=27100=0.27.
(2)新司机总人数m=1000×10100=100(人),赔付金额为4000元的新司机为120×20100=24(人),所以在投保中,赔付金额为4000元的新司机所占概率P=24100=0.24.所以新司机获赔金额为4000元的概率为0.24.
4.空气质量指数PM2.5(单位:μg/m3)表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量,这个值越高,代表空气污染越严峻:
PM2.5
日均浓度
0～35
35～75
75～115
115～150
150～250
>250
空气质
量级别
一级
二级
三级
四级
五级
六级
空气质
量类别
优
良
轻度
污染
中度
污染
重度
污染
严峻
污染
某市2021年3月8日至4月6日(30天)对空气质量指数PM2.5进行检测,获得数据后整理得到如图条形图:

(1)估量该城市一个月内空气质量类别为良的概率.
(2)从空气质量级别为三级和四级的数据中任取2个,求至少有一天空气质量类别为中度污染的概率.
【解析】(1)从空气质量条形图可知:这月30天中,空气质量为二级(即空气质量为良)的天数为16天,所以该城市一个月内空气质量类别为良的概率为1630=815.
(2)样本中空气质量级别为三级的有4天,设其编号为a,b,c,d;样本级别为四级的有2天,设其编号为e,f.则基本大事有:(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(a,f),
(b,c),(b,d),(b,e),(b,f),(c,d),(c,e),(c,f),(d,e),(d,f),(e,f)共15个.其中至少有一天空气质量类别为中度污染的状况有:(a,e),(b,e),(c,e),(d,e),(a,f),(b,f),(c,f),(d,f),(e,f)共9个,所以至少有一天空气质量类别为中度污染的概率为915=35.
5.2022年春节期间,高速大路车辆剧增.高管局测控中心在一特定位置从七座以下小型汽车中按先后挨次,每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40辆进行电子测速调查,将它们的车速(km/h)分成六段[80,85),[85,90),[90,95),[95,100),[100,105),[105,110)后得到如图的频率分布直方图.

(1)测控中心在采样中,用到的是什么抽样方法?并估量这40辆车车速的中位数.
(2)从车速在[80,90)的车辆中任抽取2辆,求抽出的2辆车中车速在[85,90)的车辆数为0的概率.
【解析】(1)测控中心在采样中,用到的是系统抽样方法.设中位数的估量值为x,则0.01×5+0.02×5+0.04×5+0.06×(x-95)=0.5,解得x=97.5,即中位数的估量值为97.5.
(2)从图中可知,车速在[80,85)的车辆数为m1=0.01×5×40=2(辆),分别记为B1,B2;车速在[85,90)的车辆数为m2=0.02×5×40=4(辆),分别记为A1,A2,A3,A4,从这6辆车中随机抽取两辆共有15种状况:(A1,A2),(A1,A3),(A1,A4),(A1,B1),
(A1,B2),(A2,A3),(A2,A4),(A2,B1),(A2,B2),(A3,A4),(A3,B1),(A3,B2),(A4,B1),
(A4,B2),(B1,B2).
抽出的2辆车中车速在[85,90)的车辆数为0的只有(B1,B2)一种,故所求的概率P=115.
6.(2021·南平模拟)设f(x)和g(x)都是定义在同一区间上的两个函数,若对任意x∈[1,2],都有|f(x)+g(x)|≤8,则称f(x)和g(x)是“友好函数”,设f(x)=ax,g(x)=bx.
(1)若a∈{1,4},b∈{-1,1,4},求f(x)和g(x)是“友好函数”的概率.
(2)若a∈[1,4],b∈[1,4],求f(x)和g(x)是“友好函数”的概率.
【解析】(1)设大事A表示f(x)和g(x)是“友好函数”,
则|f(x)+g(x)|(x∈[1,2])全部的状况有:
x-1x,x+1x,x+4x,4x-1x,4x+1x,4x+4x,
共6种且每种状况被取到的可能性相同.
又当a>0,b>0时,y=ax+bx在0,ba上递减,在ba,+∞上递增;
且y=x-1x和y=4x-1x在(0,+∞)上递增,
所以对x∈[1,2]可使|f(x)+g(x)|≤8恒成立的状况有x-1x,x+1x,x+4x,4x-1x,
故大事A包含的基本大事有4种,
所以P(A)=46=23,故所求概率是23.
(2)设大事B表示f(x)和g(x)是“友好函数”,
由于a是从区间[1,4]中任取的数,b是从区间[1,4]中任取的数,
所以点(a,b)所在的区域是长为3,宽为3的矩形区域.
要使x∈[1,2]时,|f(x)+g(x)|≤8恒成立,
需f(1)+g(1)=a+b≤8且f(2)+g(2)=2a+b2≤8,
所以大事B表示的点的区域是如图所示的阴影部分.

所以P(B)=12×2+114×33×3=1924,故所求概率是1924.
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