一类具有饱和发生率的染病食饵-捕食者随机模型的动力学分析.pdf

第4 9卷 第4期2 0 2 3年1 2月延 边 大 学 学 报(自然科学版)J o u r n a l o f Y a n b i a n U n i v e r s i t y(N a t u r a l S c i e n c e E d i t i o n)V o l.4 9 N o.4D e c.2 0 2 3收稿日期:2 0 2 3 0 6 1 6基金项目:山西省高等学校科技创新计划项目(2 0 2 2 L 6 4 5);山西省高等学校教学改革创新项目(J 2 0 2 2 1 3 1 3);山西省教育科学“十四五”规划课题(GH-2 2 0 4 9 5)作者简介:赵玉凤(1 9 8 5),女,硕士,讲师,研究方向为生物数学.文章编号:1 0 0 4-4 3 5 3(2 0 2 3)0 4-0 2 9 8-1 0一类具有饱和发生率的染病食饵-捕食者随机模型的动力学分析赵玉凤(山西工商学院 计算机信息工程学院,太原 0 3 0 0 0 0)摘要:研究了一类带有饱和发生率和随机比率依赖的H o l l i n g型功能反应的染病食饵 捕食者随机模型.首先,利用I t 公式和构造的L y a p u n o v函数证明了染病食饵 捕食者随机模型存在唯一的全局正解.其次,利用H a sm i n i s k i i遍历性理论证明了随机模型存在唯一的遍历平稳分布.再次,利用I t 公式、大数定律、鞅理论得到了染病食饵种群的阈值Rh0:当Rh01时疾病将长期存在.最后,利用数值仿真验证了所得结果的正确性.关键词:染病食饵 捕食者随机模型;饱和发生率;H o l l i n g型功能反应函数;比率依赖;平稳分布;灭绝中图分类号:O 1 7 5.1 2 文献标志码:AD y n a m i c a n a l y s i s o f a i n f e c t e d p r e y-p r e d a t o r s t o c h a s t i c m o d e l w i t h s a t u r a t i o n i n c i d e n c eZ HAO Y u f e n g(C o l l e g e o f C o mp u t e r a n d I n f o r m a t i o n E n g i n e e r i n g,S h a n x i T e c h n o l o g y a n d B u s i n e s s C o l l e g e,T a i y u a n 0 3 0 0 0 0,C h i n a)A b s t r a c t:I n t h i s p a p e r,w e i n v e s t i g a t e d t h e d y n a m i c s o f a s t o c h a s t i c r a t i o-d e p e n d e n t i n f e c t e d p r e y-p r e d a t o r m o d e l w i t h s a t u r a t i o n i n c i d e n c e a n d H o l l i n g-t y p e f u n c t i o n a l r e s p o n s e.F i r s t l y,w e p r o v e d t h a t t h e u n i q u e s o l u t i o n o f s t o c h a s t i c m o d e l w a s g l o b a l l y p o s i t i v e b y u s i n g I t f o r m u l a a n d c o n s t r u c t i n g L y a p u n o v f u n c t i o n.S e c o n d l y,t h e e x i s t e n c e o f a u n i q u e e r g o d i c s t a t i o n a r y d i s t r i b u t i o n w a s s t u d i e d b y u s i n g t h e e r g o d i c i t y t h e o r y o f H a s m i n i s k i i.T h i r d l y,t h e t h r e s h o l d Rh0 f o r t h e i n f e c t e d p r e y p o p u l a t i o n w a s o b t a i n e d b y u s i n g I t f o r m u l a,t h e l a w o f l a r g e n u m b e r s,a n d t h e m a r t i n g a l e t h e o r y,t h a t i s,t h e d i s e a s e w i l l t e n d t o e x t i n c t i o n i f Rh01.F i n a l l y,n u m e r i c a l s i m u l a t i o n s w e r e u s e d t o v e r i f y t h e c o r r e c t n e s s o f t h e o b t a i n e d r e s u l t s.K e y w o r d s:i n f e c t e d p r e y-p r e d a t o r s t o c h a s t i c m o d e l;s a t u r a t i o n i n c i d e n c e;H o l l i n g-t y p e f u n c t i o n a l r e s p o n s e f u n c t i o n;r a t i o-d e p e n d e n t;s t a t i o n a r y d i s t r i b u t i o n;e x t i n c t i o n0 引言由于H o l l i n g型功能反应函数更适合于描述脊椎动物种群随时间的变化规律,因此一些学者对 第4期赵玉凤:一类具有饱和发生率的染病食饵 捕食者随机模型的动力学分析H o l l i n g型功能反应函数的捕食模型进行了研究1-3.在捕食者 食饵模型中,由于捕食者的平均生长率需要考虑食饵丰度与捕食者丰度的比值,因此一些学者进而研究了具有比例依赖的功能反应的食饵捕食者模型4-5.为了解不同生态系统的动力学性质,学者们利用I t 公式、大数定律、鞅理论分析了不同系统的动力学性质,其中包括全局正解的存在唯一性、遍历平稳分布的存在性、灭绝性和持久性、周期解等4-8.文献9 的研究表明,饱和发生率(b X1X21+a X2)通常比双线性发生率(b X1X2)更适合于描述某些流行病的传播.基于上述研究,本文提出了一类带有饱和发生率和比率依赖的H o l l i n g型功能反应的染病食饵 捕食者模型:dX1(t)dt=r X1(t)1-X1(t)k -X1(t)Y2(t)(X1(t)+X2(t)2+m Y2(t)-b X1(t)X2(t)1+a X2(t),dX2(t)dt=b X1(t)X2(t)1+a X2(t)-d1X2(t)-X2(t)Y2(t)(X1(t)+X2(t)2+m Y2(t),dY(t)dt=c X1(t)Y2(t)(X1(t)+X2(t)2+m Y2(t)+cX2(t)Y2(t)(X1(t)+X2(t)2+m Y2(t)-d2Y(t).(1)其中:X1(t)为易感食饵种群的密度,X2(t)为被感染的食饵种群的密度,Y(t)为捕食者种群的密度,r为内禀增长率,rk为种间竞争率,k为易感食饵的承载能力,b X1(t)X2(t)1+a X2(t)为饱和发生率,a为饱和常数,b为传输速率,c为食饵转化为捕食者的系数,为捕食者对易感食饵的捕获率,为捕食者对感染食饵的捕获率,m为半饱和常数,d1为感染食饵的自然死亡率,d2为捕食者的自然死亡率.考虑到环境噪声会对生物学系统产生不可忽略的影响,因此本文对系统(1)进行了线性扰动,以此建立了一个如下具有饱和发生率和l o g i s t i c增长的随机模型(式(2),并对其动力学性质进行了研究.dX1(t)=r X1(t)1-X1(t)k -X1(t)Y2(t)(X1(t)+X2(t)2+m Y2(t)-b X1(t)X2(t)1+a X2(t)dt+1X1(t)dB1,dX2(t)=b X1(t)X2(t)1+a X2(t)-d1X2(t)-X2(t)Y2(t)(X1(t)+X2(t)2+m Y2(t)dt+2X2(t)dB2,dY(t)=c X1(t)Y2(t)(X1(t)+X2(t)2+m Y2(t)+cX2(t)Y2(t)(X1(t)+X2(t)2+m Y2(t)-d2Y(t)dt+3Y(t)dB3.(2)式中:Bit0(i=1,2,3)是相互独立的标准布朗运动.1 全局正解的存在性和唯一性随机微分方程dX(t)=f(X(t)dt+mk=1gk(X)dBk(t).X(t)的扩散矩阵为H(x)=(hi j(x),hi j(x)=mk=1gik(x)gjk(x).用L作用于函数VC2,1(Rd,R+)可得:LV(X,t)=Vt(X,t)+VX(X,t)f(X,t)+12t r a c egT(X,t)VXX(X,t)g(X,t),其中Vt=Vt,VX=Vx1,Vx2,Vxd ,VXX=2Vxixj dd.设X(t)Rn,则L y a p u n o v函数V的I t 公式为dV(X(t),t)=LV(X(t),t)dt+VX(X(t),t)g(X(t),t)dB(t).定理1对于任意的初值(X1(0),X2(0),Y(0)R3+,当t0时,系统(2)存在唯一的全局正解992延边大学学报(自然科学版)第4 9卷(X1(t),X2(t),Y(t),且该解以概率1在R3+中.即当t0时,(X1(t),X2(t),Y(t)R3+a.s.证明 由于定理1的证明过程与文献4中定理2.1的证明过程相似,故省略.2 平稳分布的遍历性引理1(H a s m i n i s k i i)1 0设有界域D Rd,且其边界是正则的,若:1)存在一个正数M,使得di,j=1ai j(x)ijM2,xD,Rd;2)存在一个非负C2函数V,使得对于任意的RdD,LV是负的,则系统(2)中的马尔可夫过程X(t)有一个遍历平稳分布().定理2假设Rh0=r+d2+232-212-m-c(+)2m /rb kd1+m+222 1,环境噪声足够小,222d1,232d2,则对于任意的初值(X1(0),X2(0),Y(0)R3+,系统(2)存在唯一的遍历平稳分布.证明 由扩散矩阵的计算公式得系统(2)的扩散矩阵为:H(X1,X2,Y)=21X2100022X2200023Y2 .于是再由正定矩阵的判定易得对于任意的(X1,X2,Y)R3+,H(X1,X2,Y)是正定的.定义C2函数V=M-l nX1-rb kl nX2+bd1X2 +12X1+X2+Yc 2,其中:M=b krd1+m+222 Rh0-1 m a x2+f1+f2+f3,2+f1+f2+f3,1+f1+f2+f3 ,函数f1、f2、f3、f1、f2和f3的表达式分别为:f1(X1)=-rkX31+2r5+2r5c X521+212+r X21,f2(X2)=-d1-222 X22+3r5X532,f3(Y)=-1c2d2-232 Y2+3r5cY53,f1(X1)=-r2kX31+2r5+2r5c X521+212+r X21,f2(X2)=-d1-22/22X22+3r5X532,f3(Y)=-12c2d2-232 Y2+3r5cY53.参考文献4中的方法可得,V存在唯一的最小值点(X1,X2,Y).定义一个非负C2-L y a p u n o v函数,即V=M-l nX1-rb kl nX2+bd1X2+l nY +12X1+X2+Yc 2-VX1,X2,Y ,并令:V1=-l nX1-rb kl nX2+bd1X2+l nY,V2=12X1+X2+Yc ,LV1=-r+r sk+Y2m Y2+(X1+X2)2+b X21+a X2+b2X1X2d1(1+a X2)-b X2-bX2Y2d1m Y2+(X1+X2)2 -r sk(1+a X2)+r d1b k+rY2b k m Y2+(X1+X2)2 +c X1YmY2+(X1+X2)2-d2+cX2YmY2+(X1+X2)2+1221+rb k22-23 003 第4期赵玉凤:一类具有饱和发生率的染病食饵 捕食者随机模型的动力学分析 -r+r sk+Y2m Y2+(X1+X2)2+b X2-b X2+b2X1X2d1(1+a X2)-r X1k+a r X1X2k(1+a X2)+r d1b k+rb k m+c+c2m-d2+1221+rb k22-23 -r+m+b2d1+a rk X1X2+r d1b k+rb k m+c(+)2m-d2+1221+rb k22-23 =-r+d2+232-212-m-c(+)2m+rb kd1+m+222 +b2d1+a rk X1X2.于是由不等式x y25x52+35y53可得:LV2=r X21-rkX31+r X1X2-d1X22+r X1Yc-d2Y2c2+1221X21+22X22+23Y2c2 r X21-rkX31+25r+2r5c X521+212X21-d1-222 X22+35r X532-1c2d2-232 Y2+3r5cY53,LV=MLV1+LV2M-r+d2+232-212-m-c(+)2m +rb kd1+m+222 +b2d1+a rk X1X2-rkX31+25r+2r5c X521+212+r X21-d1-222 X22+35r X532-1c2d2-232 Y2+3r5cY53=-Mrb kd1+m+222 Rh0-1 +b2d1+a rk X1X2M-rkX31+25r+2r5c X521+212+r X21-d1-222 X22+35r X532-1c2d2-232 Y2+3r5cY53 -Mrb kd1+m+222 Rh0-1 +b2d1+a rk X1X2M+f1(X1)+f2(X2)+f3(Y).其中:Rh0=r+d2+232-212-m-c(+)2m /rb kd1+m+222 .设有界 集D=(X1,X2,Y)R3+:X11,X21,Y1 ,R3+D=Dc1Dc2Dc3Dc4Dc5Dc6,其中:Dc1=(X1,X2,Y)R3+:0X1 ,Dc2=(X1,X2,Y)R3+:0X2,Dc3=(X1,X2,Y)R3+:0Y1,Dc5=(X1,X2,Y)R3+:X21,Dc6=(X1,X2,Y)R3+:Y1.上式中是满足下列条件的足够小的正数,且同时满足:-Mrb kd1+m+222 Rh0-1 +b2d1+a rk M+f1(X1)+f2(X2)+f3(Y)-1,(3)b2d1+a rk M d1-222 /2,(4)-Mrb kd1+m+222 Rh0-1 +b2d1+a rk M+f1(X1)+f2(X2)+f3(Y)-1,(5)b2d1+a rk M r2k,(6)-Mrb kd1+m+222 Rh0-1 +A+3r5c53-1,(7)103延边大学学报(自然科学版)第4 9卷 -Mrb kd1+m+222 Rh0-1 +B-r2k 3-1,(8)-Mrb kd1+m+222 Rh0-1 +C-123d1-222 -1,(9)-Mrb kd1+m+222 Rh0-1 +D-122c2d2-232 -1.(1 0)其中:A=s u p(X1,X2,Y)R3+Mb2d1+a rk 25X521+35X532 +f1(X1)+f2(X2),B=s u p(X1,X2,Y)R3+Mb2d1+a rk 25X521+35X532 +f1(X1)+f2(X2)+f3(Y),C=s u p(X1,X2,Y)R3+b2d1+a rk 25X521M+35X532M +f1(X1)+f2(X2)+f3(Y),D=s u p(X1,X2,Y)R3+b2d1+a rk 25X521M+35X532M +f1(X1)+f2(X2)+f3(Y).情形1若(X1,X2,Y)Dc1,则显然有X1X2 X2(1+X22).由此再由式(3)和式(4)可得:LV-Mrb kd1+m+222 Rh0-1 +b2d1+a rk M+f1(X1)+-d1-222 /2+b2d1+a rk M X22+f2(X2)+f3(Y)-Mrb kd1+m+222 Rh0-1 +b2d1+a rk M+f1(X1)+f2(X2)+f3(Y)-1.情形2若(X1,X2,Y)Dc2,则显然有X1X2 X1(1+X31).由此再由式(5)和式(6)可得:LV-Mrb kd1+m+222 Rh0-1 +b2d1+a rk M+f1(X1)+-r2k+b2d1+a rk M X31+f2(X2)+f3(Y)-Mrb kd1+m+222 Rh0-1 +b2d1+a rk M+f1(X1)+f2(X2)+f3(Y)-1.情形3若(X1,X2,Y)Dc3,则显然有X1X225X521+35X532.由此再由式(7)可得:LV-Mrb kd1+m+222 Rh0-1 +b2d1+a rk 25X521M+b2d1+a rk 35X532M+f1(X1)+f2(X2)-1c2d2-232 Y2+3r5c53 -Mrb kd1+m+222 Rh0-1 +A+3r5c53-1.情形4若(X1,X2,Y)Dc4,则显然有X1X225X521+35X532和-r2kX31-r2k-3.由此再由式(8)可得:LV-Mrb kd1+m+222 Rh0-1 +b2d1+a rk 25X521M+b2d1+a rk 35X532M-rkX31+2r5+2r5c X521+212+r X21-d1-222 X22+3r5X532-1c2d2-232 Y2+3r5c53203 第4期赵玉凤:一类具有饱和发生率的染病食饵 捕食者随机模型的动力学分析 -Mrb kd1+m+222 Rh0-1 +Mb2d1+a rk 25X521+35X532 -r2k-3+f1(X1)+f2(X2)+f3(Y)-Mrb kd1+m+222 Rh0-1 +B-r2k 3-1.情形5若(X1,X2,Y)Dc5,则 显 然 有X1X225X521+35X532和-12d1-222 X22c-122d1-222 .由此再由式(9)可得:LV-Mrb kd1+m+222 Rh0-1 +b2d1+a rk M25X521+35X532 +f1(X1)+f2(X2)+f3(Y)-122d1-222 -Mrb kd1+m+222 Rh0-1 +C-122d1-222 -1.情形6若(X1,X2,Y)Dc6,则显然有X1X225X521+35X532和-12c2d2-232 Y20)、0(00)、和ni,使得当tT时有l nX(t)t-0t0X(s)ds+ji=1niB(t)a.s.,则 有*0 a.s.,0;l i mt X(t)=0 a.s.,0,其 中*=l i m s u pt ,=1tt0X(t)dt.2)如果存在T(T0)、0(00)、(0)和ni,使得当tT时有l nX(t)t-0t0X(s)ds+ji=1niB(t)a.s.,则有*0 a.s.,其中*=l i m i n ft .定理3设(X1(t),X2(t),Y(t)是系统(2)的解,其初值为(X1(0),X2(0),Y(0)R3+.若r212,+2m(d2+232)/c,Rh0=b kr-212 /rd1+222 1,则有:l i m s u pt l nX2(t)td1+222 Rh0-1 0 a.s.,l i m s u pt l nY(t)t-d2+232 -c(+)2m0 a.s.,l i mt 1tt0X1(s)ds=kr-212 /r a.s.303延边大学学报(自然科学版)第4 9卷 证明 对l nX1利用I t 公式可得:d l nX1=r-r X1k-Y2Y2+(X1+X2)2-b X21+a X2-212dt+1dB1(t)r-rkX1-212 dt+1dB1(t).(1 1)对式(1 1)从0到t进行积分后再除以t可得:1tl nX1(t)X1(0)r-212-rkt0X1(s)ds /t+t01dB1()/t,l nX1(t)X1(0)r-212 t-rkt0X1(s)ds+t01dB1().由上式和引理2中的结论1)可得l i m s u pt 1tt0X1(s)ds0=r-212 /rk =kr-212 /r a.s.类似地,对l nX2利用I t 公式可得:d l nX2=b X11+a X2-d1-Y2m Y2+(X1+X2)2-222dt+2dB2(t)b X1-d1+222 dt+2dB2(t).(1 2)对式(1 2)从0到t进 行 积 分 后 再 除 以t可 得1tl nX2(t)X2(0)bt0X1(s)ds /t-d1+222 +t02dB2()/t.由上式和引理2中的结论1)可得:l i m s u pt l nX2(t)tb kr-212 /r-d1+222 =d1+222 Rh0-1 0 a.s.类似地,对l nY利用I t 公式可得:d l nY=c X1PmY2+(X1+X2)2+cX2PmY2+(X1+X2)2-d2-232dt+3dB3(t)c(+)2m-d2-232dt+3dB3(t).(1 3)对式(1 3)从0到t进行积分后再除以t可得1tl nY(t)Y(0)c(+)2m-d2-232+t03dB3()/t.由该式和引理2中的结论1)可得l i m s u pt l nY(t)t-d2+232 -c(+)2m0 a.s.于是再由l i m s u pt l nY(t)t0)和2(20),使得当tT时有Y2m Y2+(X1+X2)21和b X21+a X2212,+1,则有l i m i n ft l nX2(t)td1+222 Rh0-1 0 a.s.证明对l nX2利 用I t 公式可得d l nX2=b X11+a X2-d1-Y2m Y2+(X1+X2)2-222dt+2dB2(t).再由定理3可知,存在任意 小的常数1(1 0)和2(2 0),使得 当tT时有Y2m Y2+(X1+X2)21和X20 a.s.由上式和定理3可知:Rh0是感染食饵种群的阈值;当Rh01时,疾病将会长期存在.定理4证毕.4 数值模拟例1设系统(2)的初值X1(0)=1 0,X2(0)=6,Y(0)=4,r=0.3,k=9,b=0.0 3,m=1,=0.0 3,=0.0 3,c=0.8,d1=0.1,d2=0.0 5,1=2=3=0.2.将上述初值代入定理2的条件中进行计算可得Rh0=1.7 7 61,22=0.0 40.2=2d1,23=0.0 40.0 42=212,+=0.0 61.由于该结果满足定理4的条件,因此可知易感食饵和感染食饵是持久的,而捕食者将会逐渐灭绝.图1为在噪声强度为1=2=3=0.2,初始值为X1(0)=1 0、X2(0)=6、Y(0)=4时系统(2)的解X1(t)、X2(t)、Y(t)的路径仿真图.由图1进一步可知,定理2和定理4是正确的.例2设系统(2)的初值X1(0)=1 0,X2(0)=6,Y(0)=4,r=0.3,k=9,b=0.0 3,m=1,=0.0 3,=0.0 3,c=0.8,d1=0.1,d2=0.0 5,1=2=3=0.1.将上述初值代入定理2的条件中进行计算可得Rh0=3.1 3 4 21,22=0.0 10.2=2d1,23=0.0 10.0 12=212,+=0.0 61.由于该结果满足定理4的条503延边大学学报(自然科学版)第4 9卷 件,因此可知易感食饵和感染食饵是持久的,而捕食者将会逐渐灭绝.图2为系统(2)在噪声强度为1=2=3=0.1,初始值为X1(0)=1 0、X2(0)=6、Y(0)=4时系统(2)的解X1(t)、X2(t)、Y(t)的路径仿真图.从图1和图2可以看出,噪声强度越小,系统(2)的动力学性质越接近系统(1)的性质.图1 在噪声强度为1=2=3=0.2,初始值为X1(0)=1 0、X2(0)=6、Y(0)=4时系统(2)的解X1(t)、X2(t)、Y(t)的路径图 图2 在噪声强度为1=2=3=0.1,初始值为X1(0)=1 0、X2(0)=6、Y(0)=4时系统(2)的解X1(t)、X2(t)、Y(t)的路径图例3设系统(2)的初值X1(0)=1 0,X2(0)=6,Y(0)=4,r=0.3,k=9,b=0.0 1,m=1,=0.0 3,=0.0 3,c=0.8,d1=0.1,d2=0.0 5,1=0.1,2=3=0.2.将上述初值代入定理3的条件中进行计算可得+=0.0 60.0 12=212,Rh0=0.7 3 1 2 51,222d1和23212,+2m(d2+232)/c和Rh0212,+1时,易感食饵和感染食饵是持久的,捕食者是灭绝的.该结果可为预测种群的变化规律和研究染病食饵 捕食者种群模型的动力学性质提供良好参考.今后我们将探讨具有非线性发生率(b X1g(X2)和高阶随机扰动等更为一般的随机系统,以更准确地描述染病食饵 捕食者系统的动力学性质.参考文献:1 姜全德.时标上具有捕获率和投放率的H o l l i n g型捕食系统的周期解J.云南大学学报(自然科学版),2 0 2 1,4 3(5):8 4 1-8 4 2.2 张子振,张伟诗.一类具有恐惧效应的H o l l i n g-类时滞捕食系统J.江苏师范大学学报(自然科学版),2 0 2 2,4 0(2):4 2-4 3.3 赖尾英,张敬华.具有H o l l i n g 功能性反应的捕食系统的全局稳定性J.黑龙江大学自然科学学报,2 0 2 1,3 8(3):2 8 3-2 8 5.4 MA J Y,R E N H M.O n t h e d y n a m i c s o f a s t o c h a s t i c r a t i o-d e p e n d e n t p r e d a t o r-p r e y s y s t e m w i t h i n f e c t i o n f o r t h e p r e yJ.O p e n J o u r n a l o f A p p l i e d S c i e n c e s,2 0 2 1,1 1(4):4 4 0-4 5 7.5 X U C H,YU Y G,R E N G J,e t a l.E x t i n c t i o n a n d p e r m a n e n c e a n a l y s i s o f s t o c h a s t i c p r e d a t o r-p r e y m o d e l w i t h d i s-e a s e,r a t i o-d e p e n d e n t t y p e f u n c t i o n a l r e s p o n s e a n d n o n l i n e a r i n c i d e n c e r a t eJ.J o u r n a l o f C o m p u t a t i o n a l a n d N o n-l i n e a r D y n a m i c s,2 0 2 1,1 6:1-1 5.6 YAN G Q,Z HANG X H,J I ANG D Q,e t a l.A n a l y s i s o f a s t o c h a s t i c p r e d a t o r-p r e y m o d e l w i t h w e a k A l l e e e f f e c t a n d H o l l i n g-(n+1)f u n c t i o n a l r e s p o n s eJ.C o mm u n i c a t i o n s i n N o n l i n e a r S c i e n c e a n d N u m e r i c a l S i m u l a t i o n,2 0 2 2,1 1 1:2-5.7 Z HAN G X H,YAN G Q.D y n a m i c a l b e h a v i o r o f a s t o c h a s t i c p r e d a t o r-p r e y m o d e l w i t h g e n e r a l f u n c t i o n a l r e s p o n s e a n d n o n l i n e a r j u m p-d i f f u s i o nJ.D i s c r e t e a n d C o n t i n u o u s D y n a m i c a l S y s t e m s-B,2 0 2 2,2 7(6):3 1 5 5-3 1 7 5.8 YAN G J T.P e r s i s t e n c e a n d p e r i o d i c m e a s u r e o f a s t o c h a s t i c p r e d a t o r-p r e y m o d e l w i t h B e d d i n g t o n-D e A n g e l i s f u n c-t i o n a l r e s p o n s eJ.I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l o f B i o m a t h e m a t i c s,2 0 2 3,1 6(6):1-3.9 HAN B T,J I AN G D Q,Z HOU B Q,e t a l.S t a t i o n a r y d i s t r i b u t i o n a n d p r o b a b i l i t y d e n s i t y f u n c t i o n o f a s t o c h a s t i c S I R S I e p i d e m i c m o d e l w i t h s a t u r a t i o n i n c i d e n c e r a t e a n d l o g i s t i c g r o w t hJ.C h a o s S o l i t o n s&F r a c t a l s,2 0 2 0,1 4 2(5):1-5.1 0 KHA S M I NK I I R.S t o c h a s t i c S t a b i l i t y o f D i f f e r e n t i a l E q u a t i o n sM.B e r l i n:S p r i n g e r,2 0 1 2.1 1 L I U M,WANG K.S u r v i v a l a n a l y s i s o f a s t o c h a s t i c c o o p e r a t i o n s y s t e m i n a p o l l u t e d e n v i r o n m e n tJ.J o u r n a l o f B i o l o g i c a l S y s t e m s,2 0 1 1,1 9(2):1 8 3-2 0 4.703