2015届高考理科数学课时拓展检测试题4.doc

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1．设两个正态分布N(μ1，σ)(σ1>0)和N(μ2，σ)(σ2>0)的密度函数分别为φ1(x)和φ2(x)，其图象如图所示，则有(　　)

A．μ1<μ2，σ1<σ2 B．μ1<μ2，σ1>σ2
C．μ1>μ2，σ1<σ2 D．μ1>μ2，σ1>σ2
解：f(x)＝e中x＝μ是对称轴，故μ1<μ2；σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小曲线越“高瘦”，故σ1<σ2．故选A．
2．设随机变量X～N(μ，σ2)，则随着σ的增大，概率P(|X－μ|<3σ)将会(　　)
A．单调增加 B．单调减少
C．保持不变 D．增减不定
解：P(<3σ)＝P(μ－3σ<X<μ＋3σ)＝0．9974是一个常数，故选C．
3．设随机变量X服从正态分布N(2，22)，则P(2<X<3)可以表示为(　　)
A．1－P(X<1) B．
C．P(0<X<1) D．
解：由题意得该正态密度曲线关于直线x＝2对称，因此结合图形可知，P(2<X<3)＝P(1<X<3)＝[1－2P(X<1)]．故选B．
4．已知随机变量X服从正态分布N(0，σ2)，若P(X＞2)＝0．023，则P(－2≤X≤2)＝(　　)
A．0．477 B．0．625
C．0．954 D．0．977
解：由随机变量X服从正态分布N(0，σ2)可知正态密度曲线关于y轴对称，而P(X＞2)＝0．023，则P(X＜－2)＝0．023，故P(－2≤X≤2)＝1－P(X＞2)－P(X＜－2)＝0．954．故选C．
5．()在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1，σ2)(σ>0)，若ξ在(0，1)内取值的概率为0．4，则ξ在(0，2)内取值的概率为(　　)
A．0．8 B．0．6
C．0．4 D．0．2
解：由于正态分布N(1，σ2)的图象关于x＝1对称，而ξ在(0，1)内取值的概率为0．4，因此ξ在(1，2)内取值的概率也是0．4，故ξ在(0，2)内取值的概率为0．8．故选A．
6．()某地区某年参加高考的人数约为6万人，数学满分为150分，学生的数学成绩服从正态分布N(90，σ2)，超过120分的人数约占总人数的，据此估计数学成绩在60分到90分之间的人数约为(　　)
A．0．3万人 B．2．7万人
C．3．3万人 D．5．7万人
解：由正态分布N(90，σ2)可得P(60<ξ<90)＝P(60<ξ<120)＝[1－2P(ξ>120)]＝＝，∴6万人中数学成绩在60分到90分之间的人数约为6×＝2．7(万人)，故选B．
7．()设随机变量X～N(1，4)，若P(X≥a＋b)＝P(X≤a－b)，则实数a的值为__________．
解：由P(X≥a＋b)＝P(X≤a－b)得＝1⇒a＝1．故填1．
8．()某一部件由三个电子元件按如图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N(1000，502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为________．

解：由于三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N(1000，502)，所以每个元件使用寿命超过1000小时的概率P(X≥1000)＝．所以该部件的使用寿命超过1000小时的概率P＝×＝．故填．
9．若一个正态变量的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为．
(1)求该正态分布的概率密度函数的解析式；
(2)求正态总体在(－4，4]的概率．
解：(1)由于该正态变量的概率密度函数是一个偶函数，所以其图象关于y轴对称，即μ＝0．由＝，得σ＝4，故该正态变量的概率密度函数的解析式是 f(x)＝e，x∈(－∞，＋∞)．
(2)P(－4<X≤4)＝P(0－4<X≤0＋4)
＝P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0．6826．
10．某人乘车从A地到B地，所需时间(分钟)服从正态分布N(30，100)，求此人在40分钟至50分钟到达目的地的概率．
解：由μ＝30，σ＝10，P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0．682 6知此人在20分钟至40分钟到达目的地的概率为0．682 6，又由于P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0．954 4，所以此人在10分钟至20分钟和40分钟至50分钟到达目的地的概率为0．954 4－0．682 6＝0．271 8，由正态曲线关于直线x＝30对称得此人在40分钟至50分钟到达目的地的概率为＝0．135 9．
11．()假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N(800，502)的随机变量．记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p0．
(1)求p0的值；
(参考数据：若X～N(μ，σ2)，有
P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0．6826，
P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0．9544，
P(μ－3σ<X≤μ＋3σ＝0．9974．)
(2)某客运公司用A、B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆．公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆．若每天要以不小于p0的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？
解：(1)由于随机变量X服从正态分布N(800，502)，故有μ＝800，σ＝50，P(700<X≤900)＝0．9544．
由正态分布的对称性，可得
p0＝P(X≤900)＝P(X≤800)＋P(800<X≤900)
　＝＋P(700<X≤900)＝0．9772．
(2)设A型、B型车辆的数量分别为x，y辆，则相应的营运成本为1600x＋2400y．依题意，x，y还需满足：
x＋y≤21，y≤x＋7，P(X≤36x＋60y)≥p0．
由(1)知，p0＝P(X≤900)，故P(X≤36x＋60y)≥p0等价于36x＋60y≥900．
于是问题等价于求满足约束条件
且使目标函数z＝1600x＋2400y达到最小的x，y．

作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P(5，12)，Q(7，14)，R(15，6)．
由图可知，当直线z＝1600x＋2400y经过可行域的点P时，直线z＝1600x＋2400y在y轴上截距最小，即z取得最小值．
故应配备A型车5辆、B型车12辆．
()某市高中男生身高统计调查数据显示：全市100 000名男生的身高服从正态分布N(168，16)．现从某学校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于160 cm和184 cm之间，将测量结果按如下方式分成6组：第1组[160，164)，第2组[164，168)，…，第6组[180，184]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．

(1)试估计该校高三年级男生的平均身高；
(2)求这50名男生身高在172 cm以上(含172 cm)的人数；
(3)在这50名身高在172 cm以上(含172 cm)的男生中任意抽取2人，将该2人身高纳入全市排名(从高到低)，能进入全市前130名的人数记为ξ，求ξ的数学期望．
参考数据：
若ξ～N(μ，σ2)，则
P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)＝0．682 6，
P(μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)＝0．954 4，
P(μ－3σ<ξ≤μ＋3σ)＝0．997 4．
解：(1)由频率分布直方图可计算该校高三年级男生平均身高约为(162×＋166×＋170×＋174×＋178×＋182×)×4＝168．72(cm)．
(2)由频率分布直方图知，后3组频率为(0．02＋0．02＋0．01)×4＝0．2，人数为0．2×50＝10，即这50名男生身高在172 cm以上(含172 cm)的人数为10．
(3)∵P(168－3×4<ξ≤168＋3×4)＝0．997 4，
∴P(ξ≥180)＝＝0．001 3，
0．001 3×100 000＝130．
∴全市约前130名的身高在180 cm以上，这50人中180 cm以上的有2人．随机变量ξ可取0，1，2，于是
P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝．
∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝．

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