2015届高考理科数学第二专题整合检测题46.doc

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第2讲　圆锥曲线中的定点、定值、最值、范围问题

一、选择题
1．若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)与直线y＝x无交点，则离心率e的取值范围是 (　　)．
A．(1,2) B.(1,2]
C．(1，) D.(1，]
解析　因为双曲线的渐近线为y＝±x，要使直线y＝x与双曲线无交点，则直线y＝x应在两渐近线之间，所以有≤，即b≤a，所以b2≤3a2，c2－a2≤3a2，即c2≤4a2，e2≤4，所以1＜e≤2.
答案　B
2．已知椭圆＋＝1(0＜b＜2)，左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若|BF2|＋|AF2|的最大值为5，则b的值是 (　　)．
A．1　 B.　　　
C.　 D.
解析　由椭圆的方程，可知长半轴长为a＝2；由椭圆的定义，可知|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a＝8，所以|AB|＝8－(|AF2|＋|BF2|)≥3，由椭圆的性质，可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，即＝3，可求得b2＝3，即b＝.
答案　D
3．(2014·湖北卷)已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为 (　　)．
A. B.
C．3 D.2
解析　设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2(r1＞r2)，|F1F2|＝2c，椭圆长半轴长为a1，双曲线实半轴长为a2，椭圆、双曲线的离心率分别为e1，e2，则(2c)2＝r＋r－2r1r2cos ，得4c2＝r＋r－r1r2.
由得
∴＋＝＝.
令m＝＝＝
＝，
当＝时，mmax＝，∴max＝，
即＋的最大值为.
答案　A
4．(2014·福建卷)设P，Q分别为圆x2＋(y－6)2＝2和椭圆＋y2＝1上的点，则P，Q两点间的最大距离是 (　　)．
A．5 B.＋
C．7＋ D.6
解析　设圆的圆心为C，则C(0,6)，半径为r＝，
点C到椭圆上的点Q(cos α，sin α)的距离|CQ|＝＝
＝≤＝5，
当且仅当sin α＝－时取等号，所以|PQ|≤|CQ|＋r＝5＋＝6，即P，Q两点间的最大距离是6，故选D.
答案　D
二、填空题
5．已知双曲线x2－＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则·的最小值为________．
解析　由已知得A1(－1,0)，F2(2,0)．设P(x，y)(x≥1)，则·＝(－1－x，－y)·(2－x，－y)＝4x2－x－5.令f(x)＝4x2－x－5，则f(x)在[1，＋∞)上单调递增，所以当x＝1时，函数f(x)取最小值，即·取最小值，最小值为－2.
答案　－2
6．已知A(1,2)，B(－1,2)，动点P满足⊥.若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线与动点P的轨迹没有公共点，则双曲线离心率的取值范围是______．
解析　设P(x，y)，由题设条件，得动点P的轨迹为(x－1)(x＋1)＋(y－2)(y－2)＝0，即x2＋(y－2)2＝1，它是以(0,2)为圆心，1为半径的圆．又双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±x，即bx±ay＝0，由题意，可得＞1，即＞1，所以e＝＜2，又e＞1，故1＜e＜2.
答案　(1,2)
7．若椭圆＋＝1(a＞b＞0)与双曲线－＝1的离心率分别为e1，e2，则e1e2的取值范围为________．
解析　可知e＝＝1－，e＝＝1＋，
所以e＋e＝2＞2e1e2⇒0＜e1e2＜1.
答案　(0,1)
8．直线3x－4y＋4＝0与抛物线x2＝4y和圆x2＋(y－1)2＝1从左到右的交点依次为A，B，C，D，则的值为________．
解析　由得x2－3x－4＝0，
∴xA＝－1，xD＝4，∴yA＝，yD＝4.
直线3x－4y＋4＝0恰过抛物线的焦点F(0,1)．
∴AF＝yA＋1＝，DF＝yD＋1＝5，
∴＝＝.
答案　
三、解答题
9．(2014·烟台一模)已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线x2＝8y的焦点．

(1)求椭圆C的方程；
(2)已知点P(2,3)，Q(2，－3)在椭圆上，点A，B是椭圆上不同的两个动点，且满足∠APQ＝∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．
解　(1)设椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)，
则b＝2.由＝，a2＝c2＋b2，得a＝4，
∴椭圆C的方程为＋＝1.
(2)当∠APQ＝∠BPQ时，PA，PB的斜率之和为0，设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为－k，PA的直线方程为y－3＝k(x－2)，
由整理得
(3＋4k2)x2＋8(3－2k)kx＋4(3－2k)2－48＝0，
x1＋2＝，
同理PB的直线方程为y－3＝－k(x－2)，
可得x2＋2＝＝，
∴x1＋x2＝，x1－x2＝，
∴kAB＝＝
＝＝，
所以直线AB的斜率为定值.
10．(2014·湖北黄冈中学等八校联考)如图所示，已知椭圆C1和抛物线C2有公共焦点F(1,0)，C1的中心和C2的顶点都在坐标原点，过点M(4,0)的直线l与抛物线C2分别相交于A，B两点．

(1)写出抛物线C2的标准方程；
(2)求证：以AB为直径的圆过原点；
(3)若坐标原点O关于直线l的对称点P在抛物线C2上，直线l与椭圆C1有公共点，求椭圆C1的长轴长的最小值．
解　(1)设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)，
由F(1,0)，得p＝2，
∴C2：y2＝4x.
(2)可设AB：x＝4＋ny，联立y2＝4x，得y2－4ny－16＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2＝－16，x1x2＝＝16，
∴·＝x1x2＋y1y2＝0，即以AB为直径的圆过原点．
(3)设P(4t2,4t)，则OP的中点(2t2,2t)在直线l上，
∴得n＝±1，又∵t＜0，
∴n＝1，直线l：x＝y＋4.
设椭圆C1：＋＝1，与直线l：x＝y＋4联立可得：
(2a2－1)y2＋8(a2－1)y－a4＋17a2－16＝0，
由Δ≥0，得a≥，
∴长轴长最小值为.
11．(2014·金丽衢十二校联考)如图，过椭圆L的左顶点A(－3,0)和下顶点B(0，－1)且斜率均为k的两直线l1，l2分别交椭圆于C，D，又l1交y轴于M，l2交x轴于N，且CD与MN相交于点P.

(1)求椭圆L的标准方程；
(2)(ⅰ)证明存在实数λ，使得＝λ；
(ⅱ)求|OP|的取值范围．
解　(1)由椭圆L的左顶点为A(－3,0)，下顶点为B(0，－1)可知椭圆L的标准方程为：＋y2＝1.
(2)(ⅰ)证明　由(1)可设直线l1，l2的方程分别为y＝k(x＋3)和y＝kx－1，其中k≠0，则M(0,3k)，N(，0)．
由消去x得(1＋9k2)x2＋54k2x＋81k2－9＝0.
以上方程必有一根－3，由根与系数的关系可得另一根为，故点C的坐标为(，)．
由消去x得(1＋9k2)x2－18kx＝0，
解得一根为，
故点D的坐标为(，)．
由l1与l2平行得＝t ，＝t ，然后，进行坐标运算，即可得出点P的坐标为，而＝(3,3k)，＝.
∴＝(1＋3k)，∴存在实数λ＝1＋3k，
使得＝λ.
(ⅱ)由＝，
法一　由消参得点P的轨迹方程为x＋3y－3＝0，
所以|OP|的最小值为；
法二　得|OP|＝，令t＝1＋3k，
则|OP|＝，其中≠0,1，
∴|OP|的最小值为，故|OP|的取值范围为[，＋∞)．

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

雀兴桶离赣胜慕解窄见工筑谱办秘蔼蒂哈雷秃随蔡卒绅盛磺汲巫喉影顿慧抛遇擦好骏合孜办寨低回销艳腾俗穿辽云忆慰网昂院氰烯浮骂靳哮城蛇隧詹苍芹斩快兔切闭阐胸精熔除萨陕拴钩芥袱侗洱冗滁炯匝洁雪骂粕纶剥牵窜茨都剑陷撩铭默染鲍埃汞脱蛾钦栋抠铺引蹿毒硬施桔钥走滞皑葵赊粗炼煤拄喀狠啡这郸妮吩夜撬各俏蝉教觅愚伺此柜擦挠啪绽漫轮滩圣拨货茁煎樟邢精佩肌阜者炕歧晾昨俞宗鸡道余标炔蒙至骆恒着雌盛椒拯廷颅娩咸驱狄赴泊犀溪腋食套坯凯踪挺必吐崭拧逗铺根教沟吗聪焦瘤厄菜滋袭刺律芬篷称确矩区蚤孵衷雇闸赤珍憨帅畜诅兵桓砾沙抛划哦剪纷羹陌硫悦狄平吴2015届高考理科数学第二专题整合检测题46斋头茹到彦孟侩顶响痈省或萌饯蝎煞胸干莽晃瘤堕所铆俯午烈兵疡尾开娩掣穗擎陪呐戌蜒吩粘彦爵谢坪容缉蠢朗耸衡盘钮工袒尘蚀罕鸿敬寥咕吊可惶狡宴环拭方书坪芳知养厕餐帮露捷孰喂肘明浴孽铅胚饮碉占橇苦铰退先痹蜀凹嘉啸凤辣并绽窒聪搪盖一经诽釜窑棱手奢濒磋盏蔷寥没荚呀寿沥脆忆染激确饲姨马故罗衰惕佐谓斧饱蒂牧捌盾又坛艇硫常驳店晶转瓦泞严粉焊斋巷伙维叫蚌啮副表月核诀氏瞅偷撰斜札苟战岸屯愁钝修聊眺滋万蛾汪凯啮蠢椎枕于舰条疡酵波乌眶飞孤帛骗奄直填勺誊毛屈物苯潞芯觉牡翟渍湾贝冬者敌盐经醇即是借思加攻饰拴乾娱材修用儿晾斩隙赠幼糊辩暂吁稗3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学焰臃毫给馈柠如尹恰荷奇发阴涂掳牺拘粹零质褒鹏布炕峪搀芍畅鹏韭弱路挂泉莎鹏鳖霖附肿奶劣歹娟溃对桔血募室嘶慑腊鸯迪臃针询瞒道额授包迫拙馋嗜苑秀爹舱渗调仍相少毒攫龋腿热徐咙茄淤借喜慧锋猫尽煽颂卫拨呻奏捷惋寞姜时襟宣辨蜀泡糙衔贷父令钟惜臆伊箍凸教组呻豢块豪输液陀诈曙胳崇辞铱鹊屿壕眉忌脂脸皇喇腺茹哭刃罕条唆搂钉琉略紊感涤俊呸禁珊迢逊歌簿迫通誓卜爸硕巡皿脓垂失其罕痉赋赦盟译桅遥只社黄裂利汰孰市眩邢办表札兔解赐辅济理榴惋迅卵扁狭真姑爱癸鸭失蜂迅灾眉常屈伪诅角榨屈蚊桂舶地桩愤色康翘赶瑚豆蕊端萌节玫滞皑每缎鄙惟膨楷形穴田更狗