2015届高考理科数学第一轮知识点专项题库70.doc

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第4讲 直接证明与间接证明
一、填空题
1．已知点An(n，an)为函数y＝图象上的点，Bn(n，bn)为函数y＝x图象上的点，其中n∈N*，设cn＝an－bn，则cn与cn＋1的大小关系为________．
解析 由条件得cn＝an－bn＝－n＝，
∴cn随n的增大而减小．∴cn＋1<cn.
答案 cn＋1<cn
2．下列命题：
①三角形中至少有一个内角不小于60°；
②四面体的三组对棱都是异面直线；
③闭区间[a，b]上的单调函数f(x)至多有一个零点；
④设a，b∈Z，若a＋b是奇数，则a，b中至少有一个为奇数；
其中假命题的序号是________．
解析　a＋b为奇数⇔a，b中有一个为奇数，另一个为偶数，故④错误．
答案　④
3．命题“如果数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，那么数列{an}一定是等差数列”是________命题(填“真”、“假”)．
解析　∵Sn＝2n2－3n，
∴Sn－1＝2(n－1)2－3(n－1)(n≥2)，
∴an＝Sn－Sn－1＝4n－5(n＝1时，a1＝S1＝－1符合上式)．
又∵an＋1－an＝4(n≥1)，∴{an}是等差数列．
答案　真
4．设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b>1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2；⑤ab>1.
其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是________．(填序号)
解析 若a＝，b＝，则a＋b>1，但a<1，b<1，故①推不出；
若a＝b＝1，则a＋b＝2，故②推不出；
若a＝－2，b＝－3，则a2＋b2>2，故④推不出；
若a＝－2，b＝－3，则ab>1，故⑤推不出；
对于③，即a＋b>2，则a，b中至少有一个大于1，
反证法：假设a≤1且b≤1，
则a＋b≤2与a＋b>2矛盾，
因此假设不成立，故a，b中至少有一个大于1.[来源 ZXXK]
答案 ③
5．已知函数f(x)＝x，a，b是正实数，A＝f，B＝f()，C＝f，则A、B、C的大小关系为________．
解析　∵≥≥，又f(x)＝x在R上是减函数．
∴f≤f()≤f.
答案　A≤B≤C
6．定义一种运算“*”：对于自然数n满足以下运算性质：
(ⅰ)1]　　　　.
解析　由(n＋1)*1＝n*1＋1，得
n*1＝(n－1)*1＋1＝(n－2)*1＋2＝…＝1*1+(n-1).
又∵1*1=1,∴n*1=n.
答案　n
7．如果a＋b＞a＋b，则a、b应满足的条件是________．　
解析　首先a≥0，b≥0且a与b不同为0.
要使a＋b＞a＋b，只需(a＋b)2＞(a＋b)2，即a3＋b3＞a2b＋ab2，只需(a＋b)(a2－ab＋b2)＞ab(a＋b)，只需a2－ab＋b2＞ab，即(a－b)2＞0，只需a≠b.故a，b应满足a≥0，b≥0且a≠b.
答案　a≥0，b≥0且a≠b
8．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝________.
解析 通过观察所给的结论可知，若f(x)是偶函数，则导函数g(x)是奇函数．
答案 －g(x)
二、解答题
9．在△ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若＋＝，试问A，B，C是否成等差数列，若不成等差数列，请说明理由．若成等差数列，请给出证明．
解 A、B、C成等差数列．
证明如下：
∵＋＝，
∴＋＝3.
∴＋＝1，
∴c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，
∴b2＝a2＋c2－ac.
在△ABC中，由余弦定理，得
cos B＝＝＝，
∵0°＜B＜180°，∴B＝60°.
∴A＋C＝2B＝120°.
∴A、B、C成等差数列．
10．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a5＋a13＝34，S3＝9.
(1)求数列{an}的通项公式及前n项和公式；
(2)设数列{bn}的通项公式为bn＝，问是否存在正整数t，使得b1，b2，bm(m≥3，m∈N*)成等差数列？若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明理由．
解　(1)设等差数列{an}的公差为d，则由得解得故an＝2n－1，Sn＝n2.
(2)假设存在正整数t.由(1)知bn＝，
要使b1，b2，bm成等差数列；
则需2b2＝b1＋bm，
即2×＝＋，整理，得m＝3＋.
当t＝2时，m＝7；当t＝3时，m＝5；当t＝5时，m＝4.
故存在正整数t，使得b1，b2，bm成等差数列．
11．已知函数f(x)＝ln x－ax2＋(2－a)x.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)设a>0，证明：当0<x<时，f>f；
(3)若函数y＝f(x)的图象与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明：f′(x0)<0.
(1)解　f(x)的定义域为(0，＋∞)．
f′(x)＝－2ax＋(2－a)＝－.
①若a≤0，则f′(x)>0，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
②若a>0，则由f′(x)＝0得x＝，且当x∈时，
f′(x)>0；当x>时，f′(x)<0.
∴f(x)在上单调递增，
在上单调递减．
(2)证明　设函数g(x)＝f－f，
则g(x)＝ln(1＋ax)－ln(1－ax)－2ax，
g′(x)＝＋－2a＝.
当0<x<时，g′(x)>0，
而g(0)＝0，∴g(x)>0，
故当0<x<时，f>f.
(3)证明　由(1)可得，当a≤0时，函数y＝f(x)的图象与x轴至多有一个交点．
∴a>0，从而f(x)的最大值为f，且f>0.
不妨设A(x1,0)，B(x2,0)，0<x1<x2，则0<x1<<x2.
由(2)得f＝f>
f＝f(x1)＝0.
从而x2>－x1，于是x0＝>.
由(1)知f′(x0)<0.

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