高阶微分方程省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作名家之言名家之言“有很多人很聪明，却被聪明所误。有很多人很聪明，却被聪明所误。”“样样好，样样也干不好。样样好，样样也干不好。”学会观赏学会观赏第1页内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作名言警句名言警句 车尔尼雪夫斯基车尔尼雪夫斯基人活动假如没有理想鼓舞，就会变得人活动假如没有理想鼓舞，就会变得空虚而渺小空虚而渺小!在今天和明天之间，有一段很长时间；趁在今天和明天之间，有一段很长时间；趁你还有精神时候，学习快速办事你还有精神时候，学习快速办事!歌德歌德读书之法读书之法,在循序而渐进在循序而渐进,熟读而精思熟读而精思!朱熹朱熹第2页内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作第四章第四章 高阶微分方程高阶微分方程第3页内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作主要内容主要内容 微分方程一些基本概念及其应用；微分方程一些基本概念及其应用；一阶微分方程初等求解方法一阶微分方程初等求解方法;一阶微分方程解存在定理及其分析性质。一阶微分方程解存在定理及其分析性质。一、复习一、复习结论结论 求解微分方程一些基本方法；求解微分方程一些基本方法；微分方程解性质。微分方程解性质。第4页内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作二、引言二、引言 在前面讨论中已经看出，在实际问题中除了已在前面讨论中已经看出，在实际问题中除了已讨论一阶微分方程外，还将碰到一些其它类型非一讨论一阶微分方程外，还将碰到一些其它类型非一阶微分方程，即阶微分方程，即高阶微分方程高阶微分方程，也就是二阶及二阶，也就是二阶及二阶以上微分方程。对于高阶微分方程度基本理论（包以上微分方程。对于高阶微分方程度基本理论（包含存在唯一性定理）和求解方法，分两步来处理：含存在唯一性定理）和求解方法，分两步来处理：对于线性微分方程（组）在本章和下一章讨论；而对于线性微分方程（组）在本章和下一章讨论；而非线性微分方程（组）在第六章讨论。非线性微分方程（组）在第六章讨论。第5页内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作 在微分方程理论中，线性微分方程是非常值得在微分方程理论中，线性微分方程是非常值得重视一部分内容，这不但因为线性微分方程普通理重视一部分内容，这不但因为线性微分方程普通理论已被研究得十分清楚，而且线性微分方程是研究论已被研究得十分清楚，而且线性微分方程是研究非线性微分方程基础，它在物理、力学和工程技术非线性微分方程基础，它在物理、力学和工程技术中也有着广泛应用。所以，本章着重讨论线性微分中也有着广泛应用。所以，本章着重讨论线性微分方程基本理论和常系数微分方程解法，对于高阶微方程基本理论和常系数微分方程解法，对于高阶微分方程降阶问题和二阶线性方程幂级数解法也作适分方程降阶问题和二阶线性方程幂级数解法也作适当地介绍。当地介绍。二、引言二、引言第6页内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作主要内容主要内容 线性微分方程普通理论线性微分方程普通理论;常系数线性微分方程解法常系数线性微分方程解法;高阶微分方程降阶和幂级数解法高阶微分方程降阶和幂级数解法.本章重点本章重点 线性微分方程基本理论线性微分方程基本理论;常系数微分方程解法常系数微分方程解法.主要伎俩主要伎俩 转化法转化法，即即简化问题简化问题.三、主要内容和方法三、主要内容和方法第7页内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作普通普通n阶线性微分方程为阶线性微分方程为 这里这里 是是 已知函数。已知函数。主主 题：题：讨论以下形式微分方程解及其结构讨论以下形式微分方程解及其结构.第8页内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作4.1 线性微分方程普通理论线性微分方程普通理论1、n阶线性微分方程阶线性微分方程称（称（4.2）为）为n阶齐次线性微分方程，简称阶齐次线性微分方程，简称齐线性微分方程齐线性微分方程。4.1.1 基本概念和主要定理基本概念和主要定理2、n阶齐次线性微分方程阶齐次线性微分方程第9页内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作定义：（定义：（n阶齐次线性微分方程阶齐次线性微分方程，或，或齐线性方程齐线性方程）称（称（4.2）为）为n阶齐线性微分方程，简称阶齐线性微分方程，简称齐线性方程齐线性方程。3、基本概念、基本概念定义：（定义：（n阶非齐次线性微分方程，或非齐线性方程阶非齐次线性微分方程，或非齐线性方程）而普通方程（而普通方程（4.1）称为）称为n阶非齐线性微分方程，或简称阶非齐线性微分方程，或简称非齐线性方程非齐线性方程，而且通常把方程（，而且通常把方程（4.2）叫做对应于方）叫做对应于方程（程（4.1）齐线性方程。）齐线性方程。第10页内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作4、高阶微分方程解存在唯一定理、高阶微分方程解存在唯一定理则对于任一则对于任一 及任意及任意 ，方程（，方程（4.1）存）存在唯一解在唯一解 ，定义在区间，定义在区间 上，且满足初始条件：上，且满足初始条件：假如假如 及及 都是区间都是区间 上连续函数，上连续函数，定理定理1 证实证实：利用线性微分方程组相关理论证实（在此略）。：利用线性微分方程组相关理论证实（在此略）。以后将给出该定理证实。以后将给出该定理证实。第11页内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作4.1.2 齐线性方程解性质与结构齐线性方程解性质与结构当当k=n时，有时，有 在什么条件下，表示式（在什么条件下，表示式（4.4）能组成为）能组成为n阶齐次线性方程阶齐次线性方程（4.2）通解？它将含有什么特征？为此，先研究）通解？它将含有什么特征？为此，先研究函数组相关性函数组相关性。1、叠加原理、叠加原理(定理定理2)2、问题、问题 假如假如 是方程（是方程（4.2）k个解，则它们个解，则它们线性组合线性组合 也是齐次线性微分也是齐次线性微分方程（方程（4.2）解，这里）解，这里 是任意常数。是任意常数。注注：齐次线性微分方程任意：齐次线性微分方程任意k个解线性组合依然是这个方程解。个解线性组合依然是这个方程解。第12页内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作3、函数相关性、函数相关性考虑定义在区间考虑定义在区间 上函数上函数 ，假，假如存在不全为零常数如存在不全为零常数 ，使得恒等式，使得恒等式对于全部对于全部 都成立，则称这些函数是都成立，则称这些函数是线性相关线性相关，不，不然就称这些函数在所给区间上然就称这些函数在所给区间上线性无关线性无关。线性无关线性无关 ；线性相关线性相关 .第13页内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作4、函数组伏朗斯基（、函数组伏朗斯基（Wronsky）行列式）行列式由定义在区间由定义在区间 上上k个可微个可微k-1次函数次函数 组组所作成行列式所作成行列式第14页内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作定理定理3 若函数若函数 在区间在区间 上上n-1次可微次可微且线性相关，则在且线性相关，则在a,b上它们伏朗斯基（上它们伏朗斯基（Wronsky）行列式为）行列式为零，即有零，即有 .证实证实（理论基础）：（理论基础）：线性方程组解理论。线性方程组解理论。(除教材上除教材上p123证实方法外，还能够用反证法。证实方法外，还能够用反证法。)方法方法：结构法证实，即结构一个以伏郎斯基行列式为：结构法证实，即结构一个以伏郎斯基行列式为 系数行列式线性方程组。系数行列式线性方程组。第15页内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作注：该定理逆命题不一定成立。以下函数：注：该定理逆命题不一定成立。以下函数：要求要求：同学们验证。：同学们验证。结论结论：定理：定理3条件必要而不充分，即条件必要而不充分，即W(t)=0是函数组线性相关是函数组线性相关必要条件，而不是充分条件。必要条件，而不是充分条件。不过，假如不过，假如 是齐线性微分方程（是齐线性微分方程（4.2）解，则有以下解，则有以下定理定理：第16页内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作定理定理4 假如方程（假如方程（4.2）解）解 在区在区间间 上线性无关，则上线性无关，则 在在a,b内任何点上都不等于零，即有：内任何点上都不等于零，即有：证实基本思想：证实基本思想：反证法，并用结构法进行证实，以及反证法，并用结构法进行证实，以及解唯一性定理解唯一性定理。第17页内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作证实证实：采取反正法。设有某个：采取反正法。设有某个 使得使得 。考虑。考虑关于关于 齐次线性代数方程组齐次线性代数方程组(4.9)依据假定，线性方程组依据假定，线性方程组(4.9)有非零解有非零解 。现以这组。现以这组常数结构函数常数结构函数第18页内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作依据叠加原理，依据叠加原理，是方程是方程(4.2)解，注意到解，注意到(4.9)，知道这个解，知道这个解 满满足初始条件足初始条件(4.10)不过不过 显然也是方程显然也是方程(4.2)满足初始条件满足初始条件(4.10)解，由解唯一解，由解唯一性定理，即知性定理，即知 ，即，即因为因为 不全为不全为0，这就与，这就与 线性无关假线性无关假定矛盾。定矛盾。命题得证命题得证。第19页内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作注释注释：依据定理：依据定理3和定理和定理4知道，由知道，由n 阶齐线性方程（阶齐线性方程（4.2）n个解组成伏朗斯个解组成伏朗斯基行列式，或等于零，或在方程系数函数为连续区间内处处不等于零。并依基行列式，或等于零，或在方程系数函数为连续区间内处处不等于零。并依据定理据定理1，结构一组初始条件：，结构一组初始条件：满足这组初始条件解满足这组初始条件解 一定存在，且又因为一定存在，且又因为于是由定理于是由定理3知道，这知道，这n个解一定是线性无关。于是有：个解一定是线性无关。于是有：第20页内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作定理定理5 n阶齐线性方程（阶齐线性方程（4.2）一定存在）一定存在n个线性无关个线性无关解。解。于是由定理于是由定理3知道，这知道，这n个解一定是线性无关。于是有：个解一定是线性无关。于是有：第21页内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作定理定理6（通解结构定理通解结构定理）假如假如 是方程是方程（4.2）n个线性无关解，则方程（个线性无关解，则方程（4.2）通解可表为：）通解可表为：（4.11）其中其中 是任意常数。且通解（是任意常数。且通解（4.11）包含了方程）包含了方程（4.2）全部解。）全部解。证实基本步骤：证实基本步骤：1、（、（4.11）是（）是（4.2）通解）通解(含有含有n个独立常数个独立常数)；2、（、（4.11）包含了（）包含了（4.2）全部解，即任给一初始条件能）全部解，即任给一初始条件能 确定（确定（4.11）中常数）中常数,使（使（4.11）满足该初始条件。）满足该初始条件。5、通解结构定理通解结构定理第22页内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作第一步：第一步：（4.11）是（）是（4.2）通解）通解(含有含有n个独立常数个独立常数)只须证实只须证实 相互独马上可。实际上，有相互独马上可。实际上，有第23页内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作第二步第二步（4.11）包含了（）包含了（4.2）全部解，即任给一初始条件能确定（）全部解，即任给一初始条件能确定（4.11）中常）中常数数,使（使（4.11）满足该初始条件。）满足该初始条件。分析：分析：要证实（要证实（4.11）包含了（）包含了（4.2）全部解，由定理）全部解，由定理1，方程解唯一地决定，方程解唯一地决定于初始条件，所以，只须证实，任给一初始条件于初始条件，所以，只须证实，任给一初始条件(4.12)能够确定能够确定(4.11)中常数中常数 值，使值，使(4.11)满足满足(4.12).若若(4.11)满足满足(4.12),得到以下关于得到以下关于 线性代数方程组线性代数方程组(4.13)该方程组系数矩阵是由这该方程组系数矩阵是由这n个线性无关解组成个线性无关解组成Wronsky行列式，于是不等于行列式，于是不等于0，所，所以，该方程组有唯一解。命以，该方程组有唯一解。命题得证。题得证。第24页内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作推论：推论：方程（方程（4.2）线性无关解最大个数等于）线性无关解最大个数等于n。所以有：所以有：n阶齐线性方程全部解组成一个阶齐线性方程全部解组成一个n维线性空间。维线性空间。注意：注意：把方程（把方程（4.2）一组）一组n个线性无关解个线性无关解称为称为方程一个方程一个基本基本解组解组。显然。显然,基本解组不唯一。基本解组不唯一。上述通解定理：给出了求解高阶奇次线性方程方法和步骤：上述通解定理：给出了求解高阶奇次线性方程方法和步骤：求出求出n个线性无关解；个线性无关解；写出对应写出对应n阶奇次线性方程通解。阶奇次线性方程通解。尤其地，当尤其地，当 时称其为时称其为标准基本解组标准基本解组。第25页内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作例例1 已知方程已知方程 ，求它基本解组？并写出，求它基本解组？并写出它通解。它通解。分析：试探方法求其基本解组。分析：试探方法求其基本解组。则原方程通解为则原方程通解为第26页内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作性质性质2 方程（方程（4.1）任意两个解之差必为方程）任意两个解之差必为方程(4.2)解。解。其中其中 为任意常数，而且这个通解（为任意常数，而且这个通解（4.14）包含了）包含了方程（方程（4.1）全部解。）全部解。4.1.3 非齐线性方程与常数变易法非齐线性方程与常数变易法性质性质1 假如假如 是方程（是方程（4.1）解，而）解，而 是方程（是方程（4.2）解，）解，则则 也是方程（也是方程（4.1）解。）解。定理定理7 设设 为方程（为方程（4.2）基本解组，而）基本解组，而 是方程（是方程（4.1）某一个解，则方程（）某一个解，则方程（4.1）通解可表为）通解可表为1、基本性质和定理、基本性质和定理第27页内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作（4.14）是（）是（4.1）解：检验式证实方法）解：检验式证实方法;（4.14）是（）是（4.1）通解：只需证实（）通解：只需证实（4.14）中）中n个常数是独立即可个常数是独立即可;（4.14）包含了（）包含了（4.1）全部解：证实（）全部解：证实（4.1）任意解都能够由（）任意解都能够由（4.14）表示。）表示。利用性质利用性质2.本质：本质：定理定理6和定理和定理7反应了齐线性方程与非齐线性方程解结构反应了齐线性方程与非齐线性方程解结构之间紧密联络。于是得到求解非奇次线性方程基本步骤：之间紧密联络。于是得到求解非奇次线性方程基本步骤：2、定理、定理7证实思绪证实思绪第28页内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作 由定理可知：要求解非齐线性方程，只需要知道它一个解和对应齐线性由定理可知：要求解非齐线性方程，只需要知道它一个解和对应齐线性方程基本解组。只要知道对应齐线性方程基本解组就能够利用方程基本解组。只要知道对应齐线性方程基本解组就能够利用常数变易法常数变易法求求得非齐线性方程解。得非齐线性方程解。一阶非齐线性微分方程求解中常数变易法精神实质是什么？一阶非齐线性微分方程求解中常数变易法精神实质是什么？提问提问：为了寻找为了寻找 ，只要再找，只要再找n-1个限制条件即可，而个限制条件即可，而这些条件在理论上是任意取，当然以运算上这些条件在理论上是任意取，当然以运算上“方便方便”为前提。为前提。适当选取方法适当选取方法，就可得到一关于，就可得到一关于 线性方程组，线性方程组，进而利用求解线性方程组方法可求得进而利用求解线性方程组方法可求得 。注意注意：方程：方程 。第29页内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作3、非齐线性方程求解步骤、非齐线性方程求解步骤求对应齐线性方程一个基本解组；求对应齐线性方程一个基本解组；用常数变易法求非齐线性方程通解。用常数变易法求非齐线性方程通解。方法一方法一方法一方法一求非齐线性方程一个特解；求非齐线性方程一个特解；求对应齐线性方程一个基本解组；求对应齐线性方程一个基本解组；写出非齐线性方程通解。写出非齐线性方程通解。方法二方法二方法二方法二常数变易方法：常数变易方法：常数变易方法：常数变易方法：把对应齐线性方程通解中任意常数看成待定函数，给出把对应齐线性方程通解中任意常数看成待定函数，给出n个限制条件即可求解。个限制条件即可求解。第30页内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作例例1 求方程求方程 通解，已知它对应齐线性方通解，已知它对应齐线性方程基本解组为：程基本解组为：.解：（常数变易方法）。解：（常数变易方法）。第二步，用常数变易法求非齐线性方程通解第二步，用常数变易法求非齐线性方程通解,令令步骤：第一步，求对应齐线性方程一个基本解组步骤：第一步，求对应齐线性方程一个基本解组 ；将它代入原方程，则可得相关将它代入原方程，则可得相关 方程组：方程组：第31页内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作然后求解得原方程解然后求解得原方程解解得解得由此由此其中其中 是任意常数。是任意常数。第32页内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作例例2 求方程求方程 于域于域 上全部解上全部解.求解方法选择：求解方法选择：第二种（第二种（先求一特解，再求对应齐线性方程基本解组先求一特解，再求对应齐线性方程基本解组）；）；求一特解：求一特解：u再求对应齐线性方程再求对应齐线性方程 基本解组：基本解组：u于是原方程全部解为：于是原方程全部解为：分析：分析：注意注意：能够采取第一个方法进行求解，而且直观而含有公式化。：能够采取第一个方法进行求解，而且直观而含有公式化。第33页内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作作业 P.131132 1(思),2,3（1,3,5）,4,5,7(思)介绍了齐次线性微分方程解性质和结构；介绍了齐次线性微分方程解性质和结构；介绍了非齐线性微分方程解与齐线性微分方程解之间关系；介绍了非齐线性微分方程解与齐线性微分方程解之间关系；高阶微分方程常数变易求解方法。高阶微分方程常数变易求解方法。小结小结第34页