MATALAB微分方程省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

数学建模数学建模 微微 分分 方方 程程第1页 在研究实际问题时，经常会联络到一些变量改变率在研究实际问题时，经常会联络到一些变量改变率或导数，或导数，这么所得到变量之间关系式就是微分方程这么所得到变量之间关系式就是微分方程模型。微分方程模型反应是变量之间间接关系，所模型。微分方程模型反应是变量之间间接关系，所以，要得到直接关系，就得求微分方程。以，要得到直接关系，就得求微分方程。求解微分方程有三种方法：求解微分方程有三种方法：1 1）求准确解；）求准确解；2 2）求数值解（近似解）；）求数值解（近似解）；3 3）定性）定性理论方法。理论方法。第2页一、导弹追踪问题一、导弹追踪问题 设位于坐标原点甲舰向位于设位于坐标原点甲舰向位于x轴上点轴上点A(1,0)处乙舰发射处乙舰发射导弹，导弹头一直对准乙舰导弹，导弹头一直对准乙舰.假如乙舰以最大速度假如乙舰以最大速度v0(是常数是常数)沿平行于沿平行于y轴直线行驶，导弹速度是轴直线行驶，导弹速度是5v0，求导弹运行曲线，求导弹运行曲线方程方程.又乙舰行驶多远时，导弹将它击中又乙舰行驶多远时，导弹将它击中？解法一（解析法）第3页由(1),(2)消去t整理得模型:第4页 二二 范范.梅格伦（梅格伦（Van Meegren）伪造名画案伪造名画案 第二次世界大战比利时解放后，荷兰保安机关开始搜捕纳粹分子合作者，发觉一名三流画家H.A.Vanmeegren曾将17世纪荷兰著名画家Jan.Vermeer一批名贵油画盗卖给德寇，于1945年5月29日通敌罪逮捕了此人。Vanmeegren被捕后宣称他从未出卖过荷兰利益，全部油画都是自己伪造，为了证实这一切，在狱中开始伪造Vermeer画耶稣在学者中间。当他工作快完成时，又得悉他可能以伪造罪被判刑，于是拒绝将画老化，以免留下罪证。第5页 为了审理这一案件，法庭组织了一个由化学家、物理学家、艺术史学家等参加国际专门小组，采取了当初最先进科学方法，动用了X-光线透视等，对颜料成份进行分析，终于在几幅画中发觉了当代物质诸如当代颜料钴蓝痕迹。这么，伪造罪成立，Vanmeegren被判一年徒刑。1947年11月30日他在狱中心脏病发作而死去。不过，许多人还是不相信其余名画是伪造，因为，Vanmeegren在狱中作画实在是质量太差，所找理由都不能使怀疑者满意。直到后，1967年，卡内基梅隆大学科学家们用微分方程模型处理了这一问题。第6页原理原理著名物理学家卢瑟夫（Rutherford）指出：物质放射性正比于现存物质原子数。设 时刻原子数为 ，则有为物质衰变常数。初始条件第7页半衰期能测出或算出，只要知道 就可算出这正是问题难处，下面是间接确定 方法。断代。第8页油画中放射性物质油画中放射性物质 白铅（铅氧化物）是油画中颜料之一，应用已经有余年，白铅中含有少许铅(Pb210)和更少许镭(Ra226)。白铅是由铅金属产生，而铅金属是经过熔炼从铅矿中提取来出。当白铅从处于放射性平衡状态矿中提取出来时，Pb210绝大多数起源被切断，因而要快速蜕变，直到Pb210与少许镭再度处于放射平衡，这时Pb210蜕变恰好等于镭蜕变所补足为止。第9页铀238镭226铅210钋210铅206（放射性）（无放射性）第10页假设假设（1）镭半衰期为16，我们只对17 世纪油画感兴趣，时经300多年，白铅中镭最少还有原量90%以上，所以每克白铅中每分钟镭衰变数可视为常数，用 表示。（2）钋半衰期为138天轻易测定，铅210半衰期为22年，对要判别300多年颜料来说，每克白铅中每分钟钋衰变数与铅210衰变数可视为相等。第11页建模建模设 时刻每克白铅中含铅210数量为 ，为制造时刻 每克白铅中含铅210数量。为铅210衰变常数。则油画中铅210含量第12页求解求解均可测出。可算出白铅中铅衰变率 ，再于当初矿物比较，以判别真伪。矿石中铀最大含量可能 23%，若白铅中铅210每分钟衰变超出3 万个原子，则矿石中含铀量超出 4%。第13页测定结果与分析测定结果与分析画名画名钋钋210衰变原子数衰变原子数镭镭226衰变原子数衰变原子数Emmaus信徒们8.50.82洗足12.60.26读乐谱妇人10.30.3弹曼陀林妇人8.20.17做花边人1.51.4欢笑女孩5.26.0第14页若第一幅画是真品，铅210每分钟每克衰变不合理，为赝品。第15页同理可检验第2，3，4幅画亦为赝品，而后两幅画为真品。第16页 微分方程数值解微分方程数值解 1欧拉方法欧拉方法欧拉方法基本原理欧拉方法基本原理:消除导数项（离散化）。消除导数项（离散化）。欧拉法普通步骤欧拉法普通步骤:第17页 欧拉方法特点欧拉方法特点:易于了解，计算量小，精度低。易于了解，计算量小，精度低。第18页 2梯形法梯形法梯形法普通步骤梯形法普通步骤:第19页 梯形法特点梯形法特点:，计算量大，精度高。，计算量大，精度高。第20页 龙格库塔法龙格库塔法 龙格库塔法基本思想：龙格库塔法基本思想：由微分中值定理由微分中值定理：第21页微分方程解析解微分方程解析解 求单个微分方程解析解命令求单个微分方程解析解命令:dsolve(方程方程1,初始条件初始条件,自变量自变量)第22页 结 果：u=tg(t-c)求微分方程组解析解求微分方程组解析解:x1,x2,xndsolve(方程方程1,方程方程2,方程方程n,初始条件初始条件,自变量自变量)第23页例例 2求微分方程求微分方程 通解，并验证。通解，并验证。y=dsolve(Dy+2*x*y=x*exp(-x2),x)syms x;diff(y)+2*x*y-x*exp(-x2)第24页例例 3求微分方程求微分方程 在初值条件在初值条件 下特解，并画出解函数图形。下特解，并画出解函数图形。y=dsolve(x*Dy+y-exp(x)=0,y(1)=2*exp(1),x);ezplot(y)第25页例例4 求微分方程组求微分方程组 在初值条件在初值条件 下特解，并画出解函数图形。下特解，并画出解函数图形。x,y=dsolve(Dx+5*x+y=exp(t),Dy-x-3*y=0,x(0)=1,y(0)=0,t)ezplot(x,y,0,1.3)第26页微分方程数值解微分方程数值解常微分方程数值解定义常微分方程数值解定义 在生产和科研中所处理微分方程往往很复杂且大多得不出普通解。而在实际上对初值问题，普通是要求得到解在若干个点上满足要求准确度近似值，或者得到一个满足准确度要求便于计算表示式。所以，研究常微分方程数值解法是十分必要所以，研究常微分方程数值解法是十分必要。第27页 用用Matlab软件求常微分方程数值解软件求常微分方程数值解t，y=solver（f,ts,y0）ode45 ode23 ode113ode15sode23s由待解方程写成m-文件名ts=t0，tf，t0、tf为自变量初值和终值函数初值ode23：组合2/3阶龙格-库塔-芬尔格算法ode45：利用组合4/5阶龙格-库塔-芬尔格算法自变量值函数值第28页Matlab提供ODE求解器求解器 ODE类型特点说明ode45非刚性非刚性单步法；单步法；4，5 阶阶 R-K 方法；方法；累计截断误差为累计截断误差为(x)3大部分场所首选方法ode23非刚性非刚性单步法；单步法；2，3 阶阶 R-K 方法；方法；累计截断误差为累计截断误差为(x)3使用于精度较低情形ode113非刚性非刚性多步法；多步法；Adams算法；高低精算法；高低精度均可到度均可到 10-310-6计算时间比计算时间比 ode45 短短ode23t适度刚性适度刚性采取梯形算法适度刚性情形适度刚性情形ode15s刚性刚性多步法；多步法；Gears 反向数值微反向数值微分；精度中等分；精度中等若若 ode45 失效时，可失效时，可尝试使用尝试使用ode23s刚性刚性单步法；单步法；2 阶阶Rosebrock 算算法；低精度法；低精度当精度较低时，计算时当精度较低时，计算时间比间比 ode15s 短短ode23tb刚性刚性梯形算法；低精度梯形算法；低精度当精度较低时，计算时当精度较低时，计算时间比间比ode15s短短第29页 1、在解n个未知函数方程组时，x0和x均为n维向量，m-文件中待解方程组应以x分量形式写成.2、使用Matlab软件求数值解时，高阶微分方程必须等价地变换成一阶微分方程组.注意注意:第30页x,y=ode23(fun,0,0.5,1)第31页fun=inline(-2*y+2*x2+2*x,x,y);x,y=ode23(fun,0,0.5,1)求初值问题求初值问题 数值解，求解范围为数值解，求解范围为 0,0.5例例 1第32页图中，图中，y1图形为实线，图形为实线，y2图形为图形为“*”线，线，y3图形为图形为“+”线线.function f=cxd1(t,y)f=y(2)*y(3);-y(1)*y(3);-0.51*y(1)*y(2)T,Y=ode45(cxd1,0 1 2,0 1 1)plot(T,Y(:,1),-,T,Y(:,2),*,T,Y(:,3),+)第33页解解 令令 y1=x，y2=y11、建立M文件function f=cxd(t,y)f=y(2);1000*(1-y(1)2)*y(2)-y(1)第34页2、取、取t0=0，tf=3000，输入命令：，输入命令：T,Y=ode15s(cxd,0 3000,2 0);plot(T,Y(:,1),-)第35页