1、1一阶微分方程一阶微分方程 习题课习题课(一)一、一阶微分方程求解一、一阶微分方程求解二、解微分方程应用问题二、解微分方程应用问题 解法及应用解法及应用 第七章 第1页2基本概念基本概念一阶方程一阶方程 类类 型型1.1.直接积分法直接积分法2.2.可分离变量可分离变量3.3.齐次方程齐次方程4.4.可化为齐次可化为齐次方程方程5.5.全微分方程全微分方程6.6.线性方程线性方程7.7.伯努利方程伯努利方程可降阶方程可降阶方程线性方程线性方程解结构解结构定理定理1;1;定理定理2 2定理定理3;3;定理定理4 4欧拉方程欧拉方程二阶常系数线性二阶常系数线性方程解结构方程解结构特征方程根特征方程
2、根及其对应项及其对应项f(x)f(x)形式及其形式及其特解形式特解形式高阶方程高阶方程待定系数法待定系数法特征方程法特征方程法一、主要内容一、主要内容第2页3微分方程解题思绪微分方程解题思绪一阶方程一阶方程高阶方程高阶方程分离变量法分离变量法全微分方程全微分方程常数变易法常数变易法特征方程法特征方程法待定系数法待定系数法非全微分方程非全微分方程非变量可分离非变量可分离幂级数解法幂级数解法降降降降阶阶阶阶作作变变换换作变换作变换积分因子积分因子第3页4一、一阶微分方程求解一、一阶微分方程求解 1.一阶标准类型方程求解一阶标准类型方程求解 关键关键:区分方程类型区分方程类型,掌握求解步骤掌握求解步
3、骤2.一阶非标准类型方程求解一阶非标准类型方程求解(1)变量代换法变量代换法 代换代换自变量自变量代换代换因变量因变量代换代换某组合式某组合式(2)积分因子法积分因子法 选积分因子选积分因子,解全微分方程解全微分方程四个标准类型四个标准类型:可分离变量方程可分离变量方程,齐次方程齐次方程,线性方程线性方程,全微分方程全微分方程 第4页5例例1.求以下方程通解求以下方程通解提醒提醒:(1)故为分离变量方程故为分离变量方程:通解通解第5页6方程两边同除以方程两边同除以 x 即为即为齐次方程齐次方程,令令 y=u x,化为分化为分离变量方程离变量方程.调换自变量与因变量地位调换自变量与因变量地位,用
4、线性方程通解公式求解用线性方程通解公式求解.化为化为第6页7例例2.求以下方程通解求以下方程通解:提醒提醒:(1)令令 u=x y,得得(2)将方程改写为将方程改写为(贝努里方程贝努里方程)(分离变量方程分离变量方程)原方程化为原方程化为第7页8令令 y=u t(齐次方程齐次方程)令令 t=x 1,则则可分离变量方程求解可分离变量方程求解化方程为化方程为第8页9例例3.设设F(x)f(x)g(x),其中函数其中函数 f(x),g(x)在在(,+)内满足以下条件内满足以下条件:(1)求求F(x)所满足一阶微分方程所满足一阶微分方程;(考研考研)(2)求出求出F(x)表示式表示式.解解:(1)所以
5、所以F(x)满足一阶线性非齐次微分方程满足一阶线性非齐次微分方程:第9页10(2)由一阶线性微分方程解公式得由一阶线性微分方程解公式得于是于是 第10页11练习题练习题:1、求以求以为通解微分方程为通解微分方程.提醒提醒:消去消去 C 得得2、求以下微分方程通解、求以下微分方程通解:提醒提醒:令令 u=x y,化成可分离变量方程化成可分离变量方程:提醒提醒:这是一阶线性方程这是一阶线性方程,其中其中第11页12提醒提醒:可化为可化为关于关于 x 一阶线性方程一阶线性方程提醒提醒:为贝努里方程为贝努里方程,令令提醒提醒:可化为贝努里方程可化为贝努里方程令令第12页13原方程化为原方程化为,即即则
6、则故原方程通解故原方程通解提醒提醒:令令第13页14例例4.设河边点设河边点 O 正对岸为点正对岸为点 A,河宽河宽 OA=h,一鸭子从点一鸭子从点 A 游向点游向点二、解微分方程应用问题二、解微分方程应用问题利用利用共性建立微分方程共性建立微分方程,利用个性确定定解条件利用个性确定定解条件.为平行直线为平行直线,且鸭子游动方向一直朝着点且鸭子游动方向一直朝着点O,提醒提醒:如图所表示建立坐标如图所表示建立坐标系系.设时刻设时刻t 鸭子位于点鸭子位于点P(x,y),设鸭子设鸭子(在静水中在静水中)游速大小为游速大小为b求鸭子游动轨迹方程求鸭子游动轨迹方程.O,水流速度大小为水流速度大小为 a,
7、两岸两岸 则则关键问题是正确建立数学模型关键问题是正确建立数学模型,关键点关键点:则鸭子游速则鸭子游速 b 为为第14页15定解条件定解条件由此得微分方程由此得微分方程即即鸭子实际运动速度为鸭子实际运动速度为(齐次方程齐次方程)第15页16题题6.已知某车间容积为已知某车间容积为新鲜空气新鲜空气问每分钟应输入多少才能在问每分钟应输入多少才能在 30 分钟后使车间空分钟后使车间空含量不超出含量不超出 0.06%?提醒提醒:设每分钟应输入设每分钟应输入 t 时刻车间空气中含时刻车间空气中含则在则在内车间内内车间内两端除以两端除以 并令并令与原有空气很快混合均匀后与原有空气很快混合均匀后,以相同流量
8、排出以相同流量排出)得微分方程得微分方程(假定输入新鲜空气假定输入新鲜空气 输入输入,改变量为改变量为 第16页17t=30 时时解定解问题解定解问题所以每分钟应最少输入所以每分钟应最少输入 250 新鲜空气新鲜空气.初始条件初始条件得得 k=?第17页18二阶微分方程二阶微分方程 习题课习题课(二)二、微分方程应用二、微分方程应用 解法及应用解法及应用 一、两类二阶微分方程解法一、两类二阶微分方程解法 第七章 第18页19一、两类二阶微分方程解法一、两类二阶微分方程解法 1.可降阶微分方程解法可降阶微分方程解法 降阶法降阶法令令令令逐次积分求解逐次积分求解 第19页20解答提醒解答提醒1、求
9、以、求以为通解微分方程为通解微分方程.提醒提醒:由通解式可知特征方程根为由通解式可知特征方程根为故特征方程为故特征方程为所以微分方程为所以微分方程为2、求以下微分方程通解求以下微分方程通解提醒提醒:(6)令令则方程变为则方程变为第20页21特征根特征根:齐次方程齐次方程通解通解:令非齐次方程令非齐次方程特解特解为为代入方程可得代入方程可得思思 考考若若(7)中非齐次项改为中非齐次项改为提醒提醒:原方程通解原方程通解为为特解设法有何改变特解设法有何改变?第21页22求解求解提醒提醒:令令则方程变为则方程变为积分得积分得利用利用再解再解并利用并利用定常数定常数思索思索若问题改为求解若问题改为求解则
10、求解过程中得则求解过程中得问开方时问开方时正负号怎样确定正负号怎样确定?第22页23例例2.且满足方程且满足方程提醒提醒:则则问题化为解初值问题问题化为解初值问题:最终求得最终求得第23页24思索思索:设设提醒提醒:对积分换元对积分换元,则有则有解初值问题解初值问题:答案答案:第24页25解解.例例3.设函数设函数内含有连续二阶导内含有连续二阶导(1)试将试将 xx(y)所满足微分方程所满足微分方程 变换为变换为 yy(x)所满足微分方程所满足微分方程;(2)求变换后微分方程满足初始条件求变换后微分方程满足初始条件 数数,且且解解:上式两端对上式两端对 x 求导求导,得得:(1)由反函数导数公
11、式知由反函数导数公式知(考研考研)第25页26代入原微分方程得代入原微分方程得 (2)方程方程对应齐次方程通解为对应齐次方程通解为 设设特解为特解为 代入代入得得 A0,从而得从而得通解通解:第26页27由初始条件由初始条件 得得故所求初值问题解为故所求初值问题解为 第27页28二、微分方程应用二、微分方程应用 1.建立数学模型建立数学模型 列微分方程问题列微分方程问题建立微分方程建立微分方程(共性共性)利用物理规律利用物理规律利用几何关系利用几何关系确定确定定解定解条件条件(个性个性)初始条件初始条件边界条件边界条件可能还要衔接条件可能还要衔接条件2.解微分方程问题解微分方程问题3.分析解所
12、包含实际意义分析解所包含实际意义 第28页29例例4.解解:欲向宇宙发射一颗人造卫星欲向宇宙发射一颗人造卫星,为使其摆脱地球为使其摆脱地球 引力引力,初始速度应大于第二宇宙速度初始速度应大于第二宇宙速度,试计算此速度试计算此速度.设人造卫星质量为设人造卫星质量为 m,地球质量为地球质量为 M,卫星卫星质心到地心距离为质心到地心距离为 h,由牛顿第二定律得由牛顿第二定律得:(G 为引力系数为引力系数)则有初值问题则有初值问题:又设卫星初速度又设卫星初速度第29页30代入原方程代入原方程,得得两边积分得两边积分得利用初始条件利用初始条件,得得所以所以注意到注意到 第30页31为使为使因为当因为当h
13、=R(在地面上在地面上)时时,引力引力=重力重力,即即代入代入即得即得这说明第二宇宙速度为这说明第二宇宙速度为 第31页32求质点运动规求质点运动规例例5.上力上力 F 所作功与经过时间所作功与经过时间 t 成正比成正比(百分比系数百分比系数提醒提醒:两边对两边对 s 求导得求导得:牛顿第二定律牛顿第二定律为为 k),开方怎样定开方怎样定+?已知一质量为已知一质量为 m 质点作直线运动质点作直线运动,作用在质点作用在质点第32页33例例6.一链条挂在一钉子上一链条挂在一钉子上,开启时一端离钉子开启时一端离钉子 8 m,另一端离钉子另一端离钉子 12 m,如不计钉子对链条所产生摩擦如不计钉子对链
14、条所产生摩擦 力力,求链条滑下来所需时间求链条滑下来所需时间.解解:建立坐标系如图建立坐标系如图.设在时刻设在时刻 t,链条较长一段链条较长一段下垂下垂 x m,又设链条线密度为常数又设链条线密度为常数此时链条受力此时链条受力由牛顿第二定律由牛顿第二定律,得得第33页34由初始条件得由初始条件得故定解问题解为故定解问题解为解得解得当当 x=20 m 时时,(s)微分方程通解微分方程通解:思索思索:若摩擦力为链条若摩擦力为链条 1 m 长重量长重量,定解问题定解问题数学模型是什么数学模型是什么?第34页35摩擦力为链条摩擦力为链条 1 m 长重量长重量 时数学模型为时数学模型为不考虑摩擦力时数学
15、模型为不考虑摩擦力时数学模型为此时链条滑下来此时链条滑下来所需时间为所需时间为第35页36练习题练习题从船上向海中沉放某种探测仪器从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测按探测要求要求,需确定仪器下沉深度需确定仪器下沉深度 y 与下沉速度与下沉速度 v 之间函之间函数关系数关系.设仪器在重力作用下从海平面由静止开始下沉设仪器在重力作用下从海平面由静止开始下沉,在下沉过程中还受到阻力和浮力作用在下沉过程中还受到阻力和浮力作用,设仪器质量为设仪器质量为 m,体积为体积为B,海水比重为海水比重为 ,仪器所受阻力与下沉速度成正仪器所受阻力与下沉速度成正 比比,百分比系数为百分比系数为 k(k 0),试建立
16、试建立 y 与与 v 所满足微分所满足微分方程方程,并求出函数关系式并求出函数关系式 y=y(v).(95考研考研)提醒提醒:建立坐标系如图建立坐标系如图.质量质量 m体积体积 B由牛顿第二定律由牛顿第二定律重力重力浮力浮力 阻力阻力注意注意:第36页37初始条件为初始条件为用分离变量法解上述初值问题得用分离变量法解上述初值问题得质量质量 m体积体积 B得得第37页38备用题备用题 有特有特而对应齐次方程有解而对应齐次方程有解微分方程通解微分方程通解.解解:故所给二阶非齐次方程为故所给二阶非齐次方程为方程化为方程化为1.设二阶非齐次方程设二阶非齐次方程一阶线性非齐次方程一阶线性非齐次方程第38
17、页39故故再积分得通解再积分得通解复习复习:一阶线性微分方程通解公式一阶线性微分方程通解公式 第39页40 2.(1)验证函数验证函数满足微分方程满足微分方程(2)利用利用(1)结果求幂级数结果求幂级数和和.解解:(1)(02考研考研)第40页41所以所以(2)由由(1)结果可知所给级数和函数满足结果可知所给级数和函数满足其特征方程其特征方程:特征根特征根:齐次方程通解为齐次方程通解为设非齐次方程特解为设非齐次方程特解为代入原方程得代入原方程得故非齐次方程通解为故非齐次方程通解为第41页42代入初始条件可得代入初始条件可得故所求级数和故所求级数和第42页43 4.(02,)设设特解。当特解。当 时，函数时，函数 极限（极限（).是二阶常系数线性微分方程是二阶常系数线性微分方程满足条件满足条件(A)不存在；不存在；(B)等于等于1；(C)等于等于2 ；(D)等于等于 3 。第43页44 5.(97,)设函数设函数求求 。通解为通解为:含有二阶连续导数，而含有二阶连续导数，而，满足偏微分方程，满足偏微分方程 4.(93,)试确定常数试确定常数 ，并求该方程通解。，并求该方程通解。设二阶常系数线性微分方程设二阶常系数线性微分方程一个特解为一个特解为第44页
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