2016届高考理科数学第一轮知能闯关复习检测11.doc

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1．(2015·河南郑州市质量检测)设α，β分别为两个不同的平面，直线l⊂α，则“l⊥β”是“α⊥β”成立的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A.依题意，由l⊥β，l⊂α可以推出α⊥β；反过来，由α⊥β，l⊂α不能推出l⊥β.因此“l⊥β”是“α⊥β”成立的充分不必要条件．
2．(2015·黑龙江齐齐哈尔模拟)在如图所示的四个正方体中，能得出AB⊥CD的是(　　)

解析：选A.A中，∵CD⊥平面AMB，∴CD⊥AB；B中，AB与CD成60°角；C中，AB与CD成45°角；D中，AB与CD夹角的正切值为.
3．(2014·高考浙江卷)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．(　　)
A．若m⊥n，n∥α，则m⊥α
B．若m∥β，β⊥α，则m⊥α
C．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α
D．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α
解析：选C.A中，由m⊥n，n∥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误；
B中，由m∥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误；
C中，由m⊥β，n⊥β可得m∥n，又n⊥α，所以m⊥α，正确；
D中，由m⊥n，n⊥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误．
4. (2015·衡阳联考)如图，在斜三棱柱ABC­A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则点C1在平面ABC上的射影H必在(　　)

A．直线AB上
B．直线BC上
C．直线AC上
D．△ABC的内部
解析：选A.连接AC1(图略)，∵AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，∴AC⊥平面ABC1.又AC⊂平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC，∴点C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上，故选A.
5. 如图，在三棱锥D­ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列结论正确的是(　　)

A．平面ABC⊥平面ABD
B．平面ABD⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE
D．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE
解析：选C.要判断两个平面的垂直关系，就需固定其中一个平面，找另一个平面内的一条直线与第一个平面垂直．因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因为AC在平面ABC内，所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC⊂平面ADC，所以平面ADC⊥平面BDE.
6. 如图，∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有________；与AP垂直的直线有________．

解析：∵PC⊥平面ABC，
∴PC垂直于直线AB，BC，AC.
∵AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，
∴AB⊥平面PAC，
∴AB⊥AP，与AP垂直的直线是AB.
答案：AB，BC，AC　AB
7．设α，β是空间中两个不同的平面，m，n是平面α及β外的两条不同直线．从“①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题：________(填序号)．
解析：因为当n⊥β，m⊥α时，平面α及β所成的二面角与直线m，n所成的角相等或互补，所以若m⊥n，则α⊥β，从而由①③④⇒②正确；同理②③④⇒①也正确．
答案：①③④⇒②(或②③④⇒①)
8. 如图，PA垂直于圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的射影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.其中正确结论的序号为________．

解析：因为PA垂直于圆O所在的平面，所以PA⊥平面ABC，即PA⊥BC，又因为AB是圆O的直径，所以BC⊥AC，所以BC⊥平面PAC，又AF⊂平面PAC，所以AF⊥BC，又AF⊥PC，所以AF⊥平面PBC，所以AF⊥PB.又因为AE⊥PB，所以PB⊥平面AEF，即PB⊥EF.
答案：①②③
9．(2015·忻州市第一次联考) 已知四棱锥S­ABCD的底面ABCD为正方形，顶点S在底面ABCD上的射影为其中心O，高为，设E、F分别为AB、SC的中点，且SE＝2，M为CD边上的点．

(1)求证：EF∥平面SAD；
(2)试确定点M的位置，使得平面EFM⊥底面ABCD.
解：(1)证明：取SB的中点P，连接PF，PE(图略)．
∵F为SC的中点，
∴PF∥BC，又底面ABCD为正方形，
∴BC∥AD，即PF∥AD，
又PE∥SA，∴平面PFE∥平面SAD.
∵EF⊂平面PFE，
∴EF∥平面SAD.
(2)连接AC(图略)，AC的中点即为点O，连接SO(图略)，由题知SO⊥平面ABCD，
取OC的中点H，连接FH(图略)，则FH∥SO，
∴FH⊥平面ABCD，∴平面EFH⊥平面ABCD，则连接EH并延长EH与DC的交点即为M点．
连接OE(图略)，由题知SO＝，SE＝2，∴OE＝1，AB＝2，AE＝1，
∴＝＝，∴MC＝，即点M的位置在CD边上靠近C点距离为.
)
1. (2015·唐山市统考)如图，在三棱锥P­ABC中，PA＝PB＝AB＝BC，∠PBC＝90°，D为AC的中点，AB⊥PD.

(1)求证：平面PAB⊥平面ABC；
(2)如果三棱锥P­BCD的体积为3，求PA.
解：(1)证明：取AB中点为O，连接OD，OP.
因为PA＝PB，所以AB⊥OP.
又AB⊥PD，OP∩PD＝P，所以AB⊥平面POD，

因为OD⊂平面POD，所以AB⊥OD.
由已知，BC⊥PB，又OD∥BC，所以OD⊥PB，
因为AB∩PB＝B，所以OD⊥平面PAB.
又OD⊂平面ABC，所以平面PAB⊥平面ABC.
(2)由(1)知，OP⊥平面ABC.
设PA＝a，因为D为AC的中点，
所以VP­BCD＝VP­ABC＝××a2×a＝a3，
由a3＝3，解得a＝2，即PA＝2.
2. 如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，P，Q，M，N分别是棱AB，AD，DD1，BB1，A1B1，A1D1的中点．求证：

(1)直线BC1∥平面EFPQ；
(2)直线AC1⊥平面PQMN.
证明：(1)连接AD1，由ABCD­A1B1C1D1是正方体，知AD1∥BC1，
因为F，P分别是AD，DD1的中点，所以FP∥AD1.
从而BC1∥FP.

而FP⊂平面EFPQ，且BC1⊄平面EFPQ，
故直线BC1∥平面EFPQ.
(2)如图，连接AC，BD，则AC⊥BD.
由CC1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，可得CC1⊥BD.
又AC∩CC1＝C，
所以BD⊥平面ACC1.
而AC1⊂平面ACC1，所以BD⊥AC1.
因为M，N分别是A1B1，A1D1的中点，
所以MN∥BD，从而MN⊥AC1.
同理可证PN⊥AC1.
又PN∩MN＝N，所以直线AC1⊥平面PQMN.
3．如图(1)，在平面四边形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝135°，∠C＝60°，AB＝AD，M，N分别是边AD，CD上的点，且2AM＝MD，2CN＝ND.如图(1)，将△ABD沿对角线BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，并连接AC，MN(如图(2))．

(1)证明：MN∥平面ABC；
(2)证明：AD⊥BC；
(3)若BC＝1，求三棱锥A­BCD的体积．

解：(1)证明：在△ACD中，
∵2AM＝MD，2CN＝ND，∴MN∥AC，
又MN⊄平面ABC，AC⊂平面ABC，
∴MN∥平面ABC.
(2)证明：在△ABD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，
∴∠ABD＝45°，
∵在平面四边形ABCD中，∠ABC＝135°，∴BC⊥BD.
又平面ABD⊥平面BCD，
且BC⊂平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，
∴BC⊥平面ABD，又AD⊂平面ABD，∴AD⊥BC.
(3)在△BCD中，∵BC＝1，∠CBD＝90°，∠BCD＝60°，
∴BD＝.
又在△ABD中，∠BAD＝90°，AB＝AD，∴AB＝AD＝.
∴S△ABD＝AB×AD＝，
由(2)知BC⊥平面ABD，
∴VA­BCD＝VC­ABD＝××1＝.
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

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