高二数学上册开学测试题2.doc

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一套
17．（1）已知直线过点且与直线垂直，求直线的方程．
（2）已知直线经过直线与直线的交点，且平行于直线．求直线与两坐标轴围成的三角形的面积；
【答案】（1）；（2）．
【解析】
（1） 由题意可设所求直线的方程为，由于直线过点，代入解得，
故直线的方程为。
（2）由解得，则点
又因为所求直线与直线平行，可设为
将点代入得，故直线的方程为
令得直线在轴上的截距为，令得直线在轴上的截距为，
所以直线与两坐标轴围成的三角形的面积．
【难度】一般

18．已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是的菱形，又，且PD=CD，点M、N分别是棱AD、PC的中点．

（Ⅰ）证明：DN//平面PMB；
（Ⅱ）证明：平面PMB平面PAD；
【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析
【解析】
（Ⅰ）证明：取PB中点Q，连结MQ、NQ，
因为M、N分别是棱AD、PC中点，
所以QN//BC//MD，且QN=MD，于是DN//MQ．

（Ⅱ）
又因为底面ABCD是的菱形，且M为中点，
所以．又所以

【难度】较难

19．中，三个内角A、B、C所对的边分别为、、，若，．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）已知的面积为，求函数的最大值．
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】
（1）因为，所以，
因为，由正弦定理可得：

，整理可得：
所以，。
(2)由得
从而=
当时，函数取得最大值。
【难度】一般

20．已知各项均为正数的数列的前项和为，且，，成等差数列，
（1）求数列的通项公式；
（2）若，设，求数列的前项和
【答案】（1）（2）
【解析】
（1），当n=1时，。当n时，
。∴数列是以为首项，以为公比的等比数列，
∴
（2）解：由题意可得：

错位相减得

【难度】较难
二套
17．在三角形ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为且
（1）求∠A；
（2）若，求的取值范围．
【答案】（1）（2）
【解析】
（1）由余弦定理有
， 5分
（2）方法一：且，
，，（当且仅当时取等号）

方法二、由正弦定理
7分

=
因为，所以
所以即．
【难度】一般

18．已知直线的方程为，
（1）若直线的斜率是；求的值；
（2）若直线在轴、轴上的截距之和等于；求的值；
（3）求证：直线恒过定点。
【答案】（1）（2）（3）详见解析
【解析】
（1） ，所以

（2）当x=0时，；当y=0时，x=k-3
,
k=1或k=3（舍）
k=1
（3）
可整理为，它表示过的交点（0,2）的直线系，所以过定点（0,2）
【难度】较易

19．数列{}的前项和为，是和的等差中项，等差数列{}满足，．
（1）求数列，的通项公式；
（2）若，求数列的前项和
【答案】（1）（2）
【解析】
（1）∵
当

当
∴

设的公差为，

（2）
．
【难度】一般

20．已知ABCD是矩形,AD=4,AB=2,E、F分别是线段AB、BC的中点,PA⊥平面ABCD．
P
A
B
C
D
F
E
·
G

（1）求证:PF⊥FD；
（2）设点G在PA上,且EG//平面PFD,试确定点G的位置．
【答案】（1）详见解析 （2）G为AP的四等分点
【解析】
（1）证明：在矩形ABCD中
∵F是BC的中点，∴，AD=4
有
∴AF⊥DF
又∵PA⊥平面ABCD
∴PA⊥DF
∵PA∩FA=A
∴DF⊥平面PAF
∴DF⊥PF
（2）过点E作EH∥DF，交AD于点H，∴，连接GH，
∵EH平面PDF
∴EH∥平面PDF
又∵EG∥平面PDF，又GE∩HE=E
∴平面EHG∥平面PDF
∴GH∥平面PDF
又∵平面ADP∩平面PDF=PD
∴GH∥PD
∵
∴
∴G为AP的四等分点（靠近A点）
【难度】较难
三套
17．已知直线
（1）若直线的斜率等于2，求实数的值；
（2）若直线分别与x轴、y轴的正半轴交于A、B两点，O是坐标原点，求△AOB面积的最大值及此时直线的方程．
【答案】（1）-4；（2）x+y-4=0
【解析】
（1）直线l过点（m,0）,（0,4-m）,则,则m=-4
（2）由m>0,4-m<0,得0<m<4，,则
则m=2时，S有最大值2,直线l的方程为x+y-2=0
【难度】较易

18．已知数列的前项和为，点均在二次函数的图象上．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和
【答案】（1）（2）
【解析】
（1）点均在二次函数的图象上，（1）
．
当时，；
当时，，满足上式．
数列的通项公式是．
（2），
．
（10分）

．
【难度】较难

19．在三角形ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为且
（1）求∠A；
（2）若，求的取值范围．
【答案】（1）（2）
【解析】
（1）由余弦定理有
， 5分
（2）方法一：且，
，，（当且仅当时取等号）

方法二、由正弦定理
7分

=
因为，所以
所以即．
【难度】一般

20．如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧面底面，．

（1）求证：面；
（2）设为等边三角形，求直线与平面所成角的大小．
【答案】（1）详见解析（2）
【解析】
（1）∵底面为矩形
∴.
∵侧面底面，交线为,平面.
∴面.
备注：也可以取的中点去证明。
（2）解：由（1）可知面。
∵平面
∴平面底面,且交线为。
取的中,连接.
∵为等边三角形
∴平面.
∴是直线与平面所成角.
在矩形中，. 在正中，
∴ ∴
∴求直线与平面所成角的大小为．

【难度】较难

四套
17．已知数列是各项均为正数的等差数列，其中，且成等比数列；数列的前项和为，满足．
（1）求数列、的通项公式；
（2）如果，设数列的前项和为，是否存在正整数，使得成立，若存在，求出的最小值，若不存在，说明理由．
【答案】（1），；（2）存在；．
【解析】
（1）设数列的公差为，依条件有，
即，解得（舍）或，
所以．
由，得，
当时，，解得，
当时，，
所以，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
故． 7分
（2）由（1）知，，
所以 ①
②
得．
又．
所以，
当时，，
当时，，所以，
故所求的正整数存在，其最小值是2． 15分
【难度】较难

18．如图，直线过点，夹在两已知直线和之间的线段恰被点平分．
x
O
D
x
B
P
y
A
x

（Ⅰ）求直线的方程；
（Ⅱ）设点，且，求：的面积．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．
【解析】
（Ⅰ）点在直线上，可设，又是的中点，
点在直线上，解得：，即
故直线的方程是．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，又，则
点到直线的距离， ，

【难度】较易

19．已知在中，，，分别是角，，的对边，且满足．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若点为边的中点，求面积的最大值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．
【解析】
（Ⅰ）由得
解得，由，所以
（Ⅱ）在中，
即 9分
，所以，当且仅当，时取等号
此时，其最大值为
【难度】一般

20．如图，已知平面，，，，为等边三角形．

（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）求与平面所成角的正弦值．
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）．
【解析】
（Ⅰ）取的中点，连接，，先证，再证面，进而可证平面平面；（Ⅱ）补全成正三棱柱，取中点，连接，，先找出与平面所成的角，再在直角三角形中计算出与平面所成角的正弦值．
试题解析：（Ⅰ）取的中点，连接，

由，知
计算可得，，，则
则面
又面
平面平面
（Ⅱ）如图，补全成正三棱柱，取中点，连接，

为正三角形，则
又平面，则
所以平面，则即为与平面所成的角
在中，，， 13分
，即与平面所成角的正弦值为
【难度】一般

五套
17．第（1）小题5分，第（2）题8分
（1）已知直线过点且与直线垂直，求直线的方程．
（2）已知直线经过直线与直线的交点，且平行于直线．求直线与两坐标轴围成的三角形的面积；
【答案】（1）；（2）．
【解析】
（1） 由题意可设所求直线的方程为，由于直线过点，代入解得，
故直线的方程为．
（2）由解得，则点
又因为所求直线与直线平行，可设为
将点代入得，故直线的方程为
令得直线在轴上的截距为，令得直线在轴上的截距为， 所以直线与两坐标轴围成的三角形的面积．
【难度】较易

18． 如图，在三棱锥中，，，，．
A
C
B
D
P

（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求点到平面的距离．
【答案】（Ⅰ）见解析 （Ⅱ）
【解析】

（Ⅰ）取中点，连结．
，．，
．，平面．
平面，．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面，
平面平面．
过作，垂足为．
平面平面，
平面．
的长即为点到平面的距离．
由（Ⅰ）知，又，且，
平面．
平面，
．在中，，，
．．
点到平面的距离为．
【难度】一般

19．在中,角、、所对的边分别是、、,向量,且与共线．
（Ⅰ）求角的大小;
（Ⅱ）设,求的最大值及此时角的大小．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）,此时．
【解析】
（Ⅰ）因与共线, 所以,
即,
故,
而,所以．
（Ⅱ）因,
所以
故,此时因,所以．
【难度】一般

20．数列满足.
（Ⅰ）证明：数列是等差数列；
（Ⅱ）设，求数列的前项和.
【答案】（Ⅰ）详见解析
（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）由已知可得，即.所以是以为首项，1为公差的等差数列.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，所以，从而.
所以，①
，②
①-②得
所以
【难度】较难

六
17．已知直线的方程为，
（1）若直线的斜率是；求的值；
（2）若直线在轴、轴上的截距之和等于；求的值；
（3）求证：直线恒过定点。
【答案】（1）（2）（3）详见解析
【解析】
（1） ，所以
5分
（2）当x=0时，；当y=0时，x=k-3
,
k=1或k=3（舍）
k=1
（3）
可整理为，它表示过的交点（0,2）的直线系，所以过定点（0,2）
【难度】较易

18．是边长为4的等边三角形，是等腰直角三角形，，平面平面ABD，且平面ABC，EC=2.

（Ⅰ）证明：DE//平面ABC；
（Ⅱ）证明：.
【答案】（1）证明详见解析；（2）证明详见解析.
【解析】
（Ⅰ）取的中点，连结、，

∵是等腰直角三角形，，，
， 又∵平面平面，
平面平面，平面，
由已知得平面，
，又，
四边形为平行四边形，
，
而平面，平面，
平面 .
（Ⅱ）∵为的中点，为等边三角形，
，
又∵平面平面， 平面平面
平面，而平面，
，又∵，
，而，，
平面，又平面，
.
【难度】一般

19．在中，已知.
（Ⅰ）求sinA与角B的值；
（Ⅱ）若角A,B,C的对边分别为的值.
【解析】
（1）当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，∴a＝2，方程即为3x＋y＝0.
当直线不经过原点时，截距存在且均不为0，
∴＝a－2，即a＋1＝1.
∴a＝0，方程即为x＋y＋2＝0.综上，l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.
（2）将l的方程化为y＝－（a＋1）x＋a－2，
∴或
∴a≤－1.
综上可知a的取值范围是（－∞，－1]．
【难度】一般

18．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，
侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点.

（1）求证：PA∥平面BDE；
（2）求证：平面BDE⊥平面PBC.
【答案】证明见解析.
【解析】
（1）连接AC，设AC与BD的交点为O，连接OE.

∵在△PCA中，OE是△PCA的中位线，∴PA∥OE.
又PA不在平面BDE内，∴PA∥平面BDE.
（2）∵PD⊥底面ABCD。∴CB⊥PD.
又BC⊥DC，∴BC⊥平面PDC.
,∴DE⊥BC
在△PDC中，PD＝DC，E是PC的中点，∴DE⊥PC.
因此有DE⊥平面PBC.
∵DE平面BDE，∴平面BDE⊥平面PBC.
【难度】一般

19．设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，设S为△ABC的面积，满足.
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若，设，，求函数的解析式和最大值.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（），．
【解析】
（Ⅰ）由已知及三角形面积公式和余弦定理得

∴，又
所以
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，△ABC的内角和，又得．
由正弦定理，
，

所以

当，即时，取得最大值
【难度】一般

20．设数列{an}是一个公差为的等差数列，已知它的前10项和为，且a1，a2，a4 成等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若，求数列的前项和Tn．
【答案】（1）（2）Tn
【解析】
（1）设数列{an}的前项和为，
∵S10 = 110，∴．
则．①
∵a1，a2，a4 成等比数列，
∴，即．∴．
∵d ¹ 0，∴a1 = d．②
由①，②解得，∴．
（2）∵=，
∴．
∴ ．
【难度】较难

九
17．已知直线l：x＋2y－2＝0，试求：
（1）点P（－2，－1）关于直线l的对称点坐标；
（2）直线l1：y＝x－2关于直线l对称的直线l2的方程；
（3）直线l关于点（1，1）对称的直线方程．
【答案】（1）；（2）l2的方程为7x－y－14＝0；（3）x＋2y－4＝0
【解析】
（1）设点P关于直线l的对称点为P′（x0，y0），
则线段PP′的中点M在对称轴l上，且PP′⊥l.
∴即P′坐标为.
（2）直线l1：y＝x－2关于直线l对称的直线为l2，则l2上任一点P（x，y）关于l的对称点P′（x′，y′）一定在直线l1上，反之也成立．由
把（x′，y′）代入方程y＝x－2并整理，得7x－y－14＝0.
即直线l2的方程为7x－y－14＝0.
（3）设直线l关于点A（1，1）的对称直线为l′，则直线l上任一点P（x1，y1）关于点A的对称点P′（x，y）一定在直线l′上，反之也成立．由
将（x1，y1）代入直线l的方程得x＋2y－4＝0.
∴直线l′的方程为x＋2y－4＝0.
【难度】一般

18．已知ABCD是矩形,AD=4,AB=2,E、F分别是线段AB、BC的中点,PA⊥平面ABCD．
P
A
B
C
D
F
E
·
G

（1）求证:PF⊥FD；
（2）设点G在PA上,且EG//平面PFD,试确定点G的位置．
【答案】（1）详见解析；（2）G为AP的四等分点
【解析】
（1）证明：在矩形ABCD中
∵F是BC的中点，∴，AD=4
有
∴AF⊥DF
又∵PA⊥平面ABCD
∴PA⊥DF
∵PA∩FA=A
∴DF⊥平面PAF
∴DF⊥PF 7分
（2）过点E作EH∥DF，交AD于点H，∴，连接GH，
∵EH平面PDF
∴EH∥平面PDF
又∵EG∥平面PDF，又GE∩HE=E
∴平面EHG∥平面PDF
∴GH∥平面PDF
又∵平面ADP∩平面PDF=PD
∴GH∥PD
∵
∴
∴G为AP的四等分点（靠近A点）
【难度】一般

19．在中，的对边分别为,已知
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，求的面积．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）∵cosA＝＞0，∴sinA＝，
又cosC＝sinB＝sin（A＋C）＝sinAcosC＋sinCcosA＝cosC＋sinC．
整理得：tanC＝．所以sinC＝．
（Ⅱ）由正弦定理知：，故． （1）
对角A运用余弦定理：cosA＝． （2）
解（1）（2）得： or b＝（舍去）．
∴ABC的面积为：S＝．
【难度】一般

20．已知数列{an}为等差数列,a3=5,a7=13,数列{bn}的前n项和为Sn,且有Sn=2bn-1,
（1）求{an},{bn}的通项公式.
（2）若cn=anbn,{cn}的前n项和为Tn,求Tn.
【答案】（1）an=2n-1（n∈N*） bn=2n-1（n∈N*）.
（2）Tn=（2n-3）·2n+3（n∈N*）
【解析】
（1）因为{an}是等差数列,且a3=5,a7=13,设公差为d.
所以解得
所以an=1+2（n-1）=2n-1（n∈N*）.
在{bn}中,因为当n=1时,b1=2b1-1,所以b1=1.
当n≥2时,由Sn=2bn-1及Sn-1=2bn-1-1可得bn=2bn-2bn-1,所以bn=2bn-1.
所以{bn}是首项为1公比为2的等比数列,
所以bn=2n-1（n∈N*）.
（2）cn=anbn=（2n-1）·2n-1,
Tn=1+3×2+5×22+…+（2n-1）×2n-1 ①
2Tn=1×2+3×22+5×23+…+（2n-3）·2n-1+（2n-1）·2n②
①-②得
-Tn=1+2×2+2×22+…+2×2n-1-（2n-1）·2n
=1+2×-（2n-1）·2n
=1+4（2n-1-1）-（2n-1）·2n=-3-（2n-3）·2n,
所以Tn=（2n-3）·2n+3（n∈N*）.
【难度】较难

十
17．已知两直线和直线，试确定的值，使
（1）和相交于点；
（2）且在y轴上的截距为.
【答案】(1);(2).
【解析】
（1）由题意：，解得：.
（2）由题意：，所以：
此时直线的方程为：，即，令，得.
【难度】较易

18．如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO底面ABCD，E是PC的中点。

求证：（1）PA∥平面BDE
（2）平面PAC平面BDE
【答案】（1）详见解析（2）详见解析
【解析】
（1）证明：连接OE
∵E，O分别为BD，PC的中点
∴有OE∥AP

∴PA∥平面BDE
（2）ABCD为正方形，所以AC⊥BD
∵PO⊥平面ABCD
∴PO⊥BD
PO，AC平面APC
POAC=O
∴BD⊥平面APC
BD平面BDE
∴平面BDE⊥平面APC
【难度】一般

19．设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，设S为△ABC的面积，
满足.
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若，设，，求函数的解析式和最大值.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（），．
【解析】
（Ⅰ）由已知及三角形面积公式和余弦定理得
∴，又
所以
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，△ABC的内角和，又得． 6分
由正弦定理，知，

所以

当，即时，取得最大值
【难度】较难

20．已知等差数列的公差它的前项和为，若且成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求证：
【答案】（1）；（2）见解析.
【解析】
（1）由题意得
解得
（2）

【难度】一般

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

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