微积分实际应用举例省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

数学分析数学分析数学分析数学分析第第五五节节 微积分实际应用举例微积分实际应用举例一一、微元法、微元法三三、平均值与均方、平均值与均方根根二二、定积分在物理上应用、定积分在物理上应用四、简单数学模型和求解四、简单数学模型和求解五、小五、小 结结重点：求功、压力、引力重点：求功、压力、引力第1页数学分析数学分析数学分析数学分析1 1、面积、面积表示为定积分表示为定积分步骤步骤（3）求和，得求和，得A近似值近似值一一、微元法、微元法第2页数学分析数学分析数学分析数学分析ab xyo（4）求极限，得求极限，得A准确值准确值提醒提醒面面积积元元素素第3页数学分析数学分析数学分析数学分析第4页数学分析数学分析数学分析数学分析2、微元法步骤、微元法步骤第5页数学分析数学分析数学分析数学分析这个方法通常叫做这个方法通常叫做微元法微元法或或元素法元素法应用方向：应用方向：平面图形面积；体积；平面曲线弧长；功；平面图形面积；体积；平面曲线弧长；功；水压力；引力和平均值等水压力；引力和平均值等定积分物理意义：定积分物理意义：非均匀线形物体质量非均匀线形物体质量第6页数学分析数学分析数学分析数学分析解解例例 1推广推广第7页数学分析数学分析数学分析数学分析解法二解法二第8页数学分析数学分析数学分析数学分析解解体积元素为体积元素为例例 2第9页数学分析数学分析数学分析数学分析二、定积分二、定积分在物理上应用在物理上应用2、变力沿直线所作功变力沿直线所作功3、水压力水压力4、引力引力1、质量、质量第10页数学分析数学分析数学分析数学分析06x图图7.5.1解解例例 3二、定积分在物理上应用二、定积分在物理上应用1 1、质量、质量第11页数学分析数学分析数学分析数学分析2 2、变力沿直线所作功变力沿直线所作功第12页数学分析数学分析数学分析数学分析点击图片任意处播放点击图片任意处播放暂停暂停解解建立坐标系如图建立坐标系如图例例 4第13页数学分析数学分析数学分析数学分析这一薄层水重力为这一薄层水重力为功元素为功元素为(千焦千焦)第14页数学分析数学分析数学分析数学分析解解 建立坐标系建立坐标系第一次锤击时所作功为第一次锤击时所作功为例例5 5 用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉阻用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉阻力与铁钉进入木板深度成正比，铁锤在第一次力与铁钉进入木板深度成正比，铁锤在第一次锤击时将铁钉击入锤击时将铁钉击入1厘米，若每次锤击所作功相厘米，若每次锤击所作功相等，问第等，问第 次锤击时又将铁钉击入多少？次锤击时又将铁钉击入多少？设设 次击入总深度为次击入总深度为 厘米厘米次锤击所作总功为次锤击所作总功为第15页数学分析数学分析数学分析数学分析依题意知，每次锤击所作功相等依题意知，每次锤击所作功相等次击入总深度为次击入总深度为第第 次击入深度为次击入深度为第16页数学分析数学分析数学分析数学分析3 3、水压力水压力第17页数学分析数学分析数学分析数学分析解解 在端面建立坐标系如图在端面建立坐标系如图例例 6第18页数学分析数学分析数学分析数学分析第19页数学分析数学分析数学分析数学分析xy解解 建立坐标系如图建立坐标系如图任取任取y例例 7x第20页数学分析数学分析数学分析数学分析4 4、引力引力第21页数学分析数学分析数学分析数学分析解解 建立坐标系如图建立坐标系如图将经典小段近似看成质点将经典小段近似看成质点小段质量为小段质量为例例8第22页数学分析数学分析数学分析数学分析小段与质点距离为小段与质点距离为引力引力水平方向分力元素水平方向分力元素由对称性知，引力在铅直方向分力为由对称性知，引力在铅直方向分力为第23页数学分析数学分析数学分析数学分析函数函数 在区间在区间 上上平均值平均值为为几何平均值公式几何平均值公式区间长度区间长度三三、平均值与均方根、平均值与均方根第24页数学分析数学分析数学分析数学分析解解设电阻为，设电阻为，则电路中电压为则电路中电压为功率功率一个周期区间一个周期区间平均功率平均功率例例 10第25页数学分析数学分析数学分析数学分析结论：纯电阻电路中正弦交流电平均功率等结论：纯电阻电路中正弦交流电平均功率等于电流、电压峰值乘积二分之一于电流、电压峰值乘积二分之一第26页数学分析数学分析数学分析数学分析 通常交流电器上标明功率就是平均功率通常交流电器上标明功率就是平均功率交流电器上标明电流值都是一个特定平交流电器上标明电流值都是一个特定平均值，习惯上称为均值，习惯上称为有效值有效值第27页数学分析数学分析数学分析数学分析按定义有按定义有有效值计算公式推导有效值计算公式推导即即第28页数学分析数学分析数学分析数学分析结论：正弦交流电有效值等于电流峰值结论：正弦交流电有效值等于电流峰值第29页数学分析数学分析数学分析数学分析四、简单数学模型和求解四、简单数学模型和求解第30页数学分析数学分析数学分析数学分析解解例例 10Malthus人口模型人口模型第31页数学分析数学分析数学分析数学分析例例 11Logistic人口人口模型模型第32页数学分析数学分析数学分析数学分析第33页数学分析数学分析数学分析数学分析利用利用“微元法微元法”思想求变力作功、思想求变力作功、水压力和引力等物理问题水压力和引力等物理问题（注意熟悉相关物理知识）（注意熟悉相关物理知识）五、五、小结小结第34页数学分析数学分析数学分析数学分析函数平均值函数平均值函数有效值函数有效值（了解平均功率、电流有效值等概念）（了解平均功率、电流有效值等概念）第35页数学分析数学分析数学分析数学分析 作作 业业P345:2,4,5,6,10,12,16.P330:6,7(4)第36页数学分析数学分析数学分析数学分析练习练习有二分之一径为四分之一圆周，有二分之一径为四分之一圆周，线密度为线密度为r r均匀细丝，均匀细丝，在其圆心处在其圆心处有一质量为有一质量为m质点，质点，计算该细丝对质点计算该细丝对质点引力引力解解 建立坐标系如图建立坐标系如图质量微元为质量微元为x x+dx引力微元引力微元水平方向分力微元水平方向分力微元第37页数学分析数学分析数学分析数学分析x x+dx于是于是引力微元引力微元水平方向分力微元水平方向分力微元:垂直方向分力微元垂直方向分力微元第38页