定积分的应用省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

第五节 定积分应用一、平面图形面积五、变力所作功二、平行截面面积为已知立体体积三、旋转体体积四、函数平均值六、小结 思索题Applications of Integration第1页一、平面图形面积一、平面图形面积曲边梯形面积曲边梯形面积曲边梯形面积曲边梯形面积第2页解解两曲线交点两曲线交点面积元面积元选选 为积分变量为积分变量第3页解解两曲线交点两曲线交点选选 为积分变量为积分变量第4页于是所求面积于是所求面积说明：注意各积分区间上被积函数形式说明：注意各积分区间上被积函数形式问题：问题：积分变量只能选积分变量只能选 吗？吗？第5页解解两曲线交点两曲线交点（一）选（一）选 x 为积分变量为积分变量第6页选选 为积分变量为积分变量x86422-2-44y第7页解解由对称性知总面积等于由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积倍第一象限部分面积第8页二、平行截面面积为已知立体体积二、平行截面面积为已知立体体积 一个立体如图所表示，假如已知该立体上垂一个立体如图所表示，假如已知该立体上垂直于一定轴各个截面面积，那么，这个立体体直于一定轴各个截面面积，那么，这个立体体积可用定积分来计算积可用定积分来计算.立体体积立体体积体积元体积元第9页解解取坐标系如图取坐标系如图底圆方程为底圆方程为截面面积截面面积立体体积立体体积第10页解解取坐标系如图取坐标系如图底圆方程为底圆方程为截面面积截面面积立体体积立体体积第11页三、旋转体体积三、旋转体体积 旋转体旋转体就是由一个平面图形饶这平就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成立体这直面内一条直线旋转一周而成立体这直线叫做线叫做旋转轴旋转轴圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台第12页xyo旋转体体积为旋转体体积为第13页解解直线直线 方程为方程为第14页第15页第16页 绕绕y轴及轴及x轴旋转所成轴旋转所成椭球体体积椭球体体积 解解由对称性知总体由对称性知总体积等于第一象限积等于第一象限部分曲线绕部分曲线绕x轴旋轴旋转体积转体积2倍倍yx旋转轴第17页yx旋转轴第18页四、函数平均值四、函数平均值实例：实例：用某班全部学生考试成绩算术平均值来用某班全部学生考试成绩算术平均值来描述这个班成绩概貌描述这个班成绩概貌.算术平均值公式算术平均值公式只适合用于有限个数只适合用于有限个数值值问题：问题：求气温在一昼夜间平均温度求气温在一昼夜间平均温度.入手点：入手点：连续函数连续函数 在区间在区间 上平均值上平均值.讨论思想：讨论思想：分割、求和、取极限分割、求和、取极限.第19页（1）分割：）分割：每个小区间长度每个小区间长度设各分点处函数值为设各分点处函数值为函数函数 在区间在区间 上平均值近似为上平均值近似为每个小区间长度趋于零每个小区间长度趋于零.（2）求和：）求和：（3）取极限：）取极限：第20页函数函数 在区间在区间 上上平均值平均值为为几何平均值公式几何平均值公式区间长度区间长度第21页解解例例1 已知某化学反应速度为已知某化学反应速度为 ，其中，其中a、k为常数，求时间区间为常数，求时间区间 内平均速度。内平均速度。第22页解解例例2 假设试验中所测到血液胰岛素水平按以下假设试验中所测到血液胰岛素水平按以下函数形式改变：函数形式改变：问在问在60分钟内胰岛素水平平均值是多少？分钟内胰岛素水平平均值是多少？第23页第24页五、物理学及医学上应用五、物理学及医学上应用第25页解解 设木板对铁钉阻力为设木板对铁钉阻力为第一次锤击时所作功为第一次锤击时所作功为例例1 1 用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉阻力用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉阻力与铁钉进入木板深度成正比，铁锤在第一次锤击与铁钉进入木板深度成正比，铁锤在第一次锤击时将铁钉击入时将铁钉击入1厘米，若每次锤击所作功相等，厘米，若每次锤击所作功相等，问第问第 n 次锤击时又将铁钉击入多少？次锤击时又将铁钉击入多少？设设 次击入总深度为次击入总深度为 厘米厘米次锤击所作总功为次锤击所作总功为第26页依题意知，每次锤击所作功相等依题意知，每次锤击所作功相等次击入总深度为次击入总深度为第第 次击入深度为次击入深度为第27页P1L例例2 2 脉管稳定流动中血流量。脉管稳定流动中血流量。求单位时间内，经过求单位时间内，经过该截面血流量该截面血流量Q。解解将截面分为将截面分为n个环，每个环，每个环厚度为个环厚度为P2Rr 血管某截面上血管某截面上某点与血管中心距离为某点与血管中心距离为r，第28页第29页解解 设均匀细杆线密度为设均匀细杆线密度为 ，则则例例3 3 求质量为求质量为M，长为，长为 l 均匀细杆过其端点且垂均匀细杆过其端点且垂直于杆轴转动惯量。过其中心呢？直于杆轴转动惯量。过其中心呢？第30页第31页x0y第32页六、小结六、小结1、求在直角坐标系下平面图形面积求在直角坐标系下平面图形面积.（注意恰当（注意恰当选择积分变量选择积分变量有利于简化有利于简化 积分运算）积分运算）3、旋转体体积旋转体体积2、平行截面面积为已知立体体积。平行截面面积为已知立体体积。绕绕 轴旋转一周轴旋转一周绕绕 轴旋转一周轴旋转一周第33页5、利用、利用“微元法微元法”思想求变力作功等物理、思想求变力作功等物理、医学问题医学问题（注意熟悉相关物理、医学知识）（注意熟悉相关物理、医学知识）4、函数平均值、函数平均值第34页思索题思索题第35页思索题思索题一、填空题：一、填空题：第36页三、计算定积分：三、计算定积分：二、依据定积分几何意义，判断以下定积分二、依据定积分几何意义，判断以下定积分 正负：正负：第37页