微积分自考复习资料省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

常微分方程常微分方程 Ordinary differential equation王高雄王高雄 周之铭周之铭 朱思铭朱思铭 王寿松编王寿松编电子课件电子课件第1页常微分方程常微分方程Ordinary differential equation第一章 绪 论第二章第二章 一阶微分方程初等积分法一阶微分方程初等积分法第三章第三章 一阶微分方程解存在定理一阶微分方程解存在定理第四章第四章 高阶微分方程高阶微分方程第五章第五章 线性微分方程组线性微分方程组第六章第六章 定性理论初步定性理论初步1 2第七章第七章 一阶线性偏微分方程一阶线性偏微分方程第2页课程目标课程目标/Major Subjection of Course/Major Subjection of Course/学习各类可求解常微分方程和方程组类型及其求解方法。熟悉常微分方程解基本性质，如解存在性，唯一性等内容，了解研究常微分方程基本方法，如稳定性分析、定性分析等。参考书目参考书目/Reference Books/Reference Books/叶彦谦，常微分方程讲义，高等教育出版社。王柔怀，伍卓群，常微分方程讲义，人民教育出版社。第3页第一章第一章 绪绪 论论 Introduction第4页 微分方程概述微分方程概述/Sketch of ODE/基本概念基本概念/Basic Conception/练习题练习题/Exercise/第5页本章要求本章要求/Requirements/能快速判断微分方程类型；能快速判断微分方程类型；掌握高阶微分方程及其初值问题普通形式；掌握高阶微分方程及其初值问题普通形式；了解微分方程解意义。了解微分方程解意义。CH.1 Introduction第6页 微分方程理论起始于十七世纪末，是研究自然现象强有微分方程理论起始于十七世纪末，是研究自然现象强有力工具，是数学科学联络实际主要路径之一。力工具，是数学科学联络实际主要路径之一。1676 1676年，莱布尼兹在给年，莱布尼兹在给NewtonNewton（牛顿）信中首次提到（牛顿）信中首次提到Differential EquationsDifferential Equations（微分方程）这个名词。（微分方程）这个名词。微分方程研究领域代表人物：微分方程研究领域代表人物：BernoulliBernoulli、CauchyCauchy、Euler Euler、Taylor Taylor、LeibnizLeibniz、PoincarePoincare、LiyapunovLiyapunov等。等。微分方程理论发展经历了微分方程理论发展经历了三个过程三个过程：求微分方程解；：求微分方程解；定性理论与稳定性理论；微分方程当代分支理论。定性理论与稳定性理论；微分方程当代分支理论。1.1 1.1 微分方程概述微分方程概述/Sketch of ODE/1.1 Sketch of ODE第7页 含有未知量(数)等式(或关系式)。比如:1 1 代数方程代数方程(组组)，其未知量为数 一元n次代数方程：无理方程：方程组：2 2 超越方程（组）超越方程（组），其含有超越函数三角方程：指数方程：其特点：方程解为实数（有限个或者无限个）方程方程/Equation/Equation/1.1 Sketch of ODE第8页例例 3 函数方程（或泛函方程），其未知量为函数其特点：方程解为有限个或无穷多个函数。定义定义：一个或几个包含自变量，未知函数以及未知函数某些阶导数（或微商）关系式，称之为微分方程微分方程。1.1 Sketch of ODE第9页n阶隐式方程n阶显式方程方程组 偏微分方程偏微分方程不是微分方程1.1 Sketch of ODE第10页 1.2 1.2 基本概念基本概念/Basic Conception/Basic Conception/1.常微分方程和偏微分方程常微分方程和偏微分方程 2.一阶与高阶微分方程一阶与高阶微分方程 3.线性和非线性微分方程线性和非线性微分方程 4.解和隐式解解和隐式解 5.通解和特解通解和特解 6.积分曲线和积分曲线族积分曲线和积分曲线族 7.微分方程几何解释微分方程几何解释-方向场方向场第11页l常微分方程与偏微分方程常微分方程与偏微分方程/ODE and PDE/ODE and PDE/常微分方程常微分方程/ODE/ODE/在微分方程中，自变量自变量个数只有一个微分方程称为常微分方程常微分方程。偏微分方程偏微分方程/PDE/PDE/自变量自变量个数有两个或两个以上微分方程称为偏偏微分方程微分方程。1.2 Basic ConceptionBasic Conception第12页l一阶与高阶微分方程一阶与高阶微分方程/First and Higher ODE/First and Higher ODE/微分方程微分方程阶阶/Order/Order/在一个微分方程中所出现未知函数导数最高阶数n称为该方程阶阶。当n=1时，称为一阶微分方程一阶微分方程；当n1时，称为高阶微分方程高阶微分方程。比如1.2 Basic ConceptionBasic Conception第13页一阶常微分方程普通隐式形式可表示为：一阶常微分方程普通显式形式可表示为：类似，n阶隐方程普通形式可表示为：n阶显方程普通形式为其中F及f分别是它所依赖变元已知函数。1.2 Basic ConceptionBasic Conception第14页l线性和非线性微分方程线性和非线性微分方程/Linear and Nonlinear/Linear and Nonlinear ODE/ODE/假如方程左端为未知函数及其各阶导数一次有理整式，则称它为线性微分方程，不然，称它为非线性微分方程。比如：1.2 Basic ConceptionBasic Conception第15页n阶线性微分方程普通形式为：其中均为 已知函数如：2阶线性方程普通形式1.2 Basic ConceptionBasic Conception第16页l解和隐式解和隐式/Solution/Solution/对于方程若将函数代入方程后使其有意义且两端成立即则称函数 为该方程一个解解.或一阶微分方程 有解即关系式若方程解是某关系式隐函数，称这个关系式为该方程隐式解隐式解。把方程解和隐式解统称为方程解方程解。包含了方程解，1.2 Basic ConceptionBasic Conception第17页l通解和特解通解和特解/General Solution and Special/General Solution and Special Solution/Solution/常微分方程解表示式中，可能包含一个或者几意常数，若其所包含独立任意常数个数恰好与该方程阶数相同，我们称这么解为该微分方程通解通解。常微分方程满足某个初始条件解称为微分方程特解特解。例：二阶方程其通解而是方程满足初始条件解。1.2 Basic ConceptionBasic Conception第18页l积分曲线和积分曲线族积分曲线和积分曲线族/Integral Curve(s)/Integral Curve(s)/一阶微分方程解平面一条曲线，我们称它为微分方程积分曲线积分曲线，而微分方程通解表示表示平面一族曲线，称它们为微分方程积分曲线族。积分曲线族。1.2 Basic ConceptionBasic Conception第19页