高二数学上册单元知识点考试题20.doc

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必修2第二章《平面解析几何初步》
(本卷共150分，考试时间120分钟)

一、选择题(本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．直线3ax－y－1＝0与直线(a－)x＋y＋1＝0垂直，则a的值是(　　)
A．－1或　　　　　　　　　 B．1或
C．－或－1 D．－或1
解析：选D.由3a(a－)＋(－1)×1＝0，得a＝－或a＝1.
2．直线l1：ax－y＋b＝0，l2：bx－y＋a＝0(a≠0，b≠0，a≠b)在同一坐标系中的图形大致是图中的(　　)

解析：选C.直线l1：ax－y＋b＝0，斜率为a，在y轴上的截距为b，
设k1＝a，m1＝b.直线l2：bx－y＋a＝0，斜率为b，在y轴上的截距为a，
设k2＝b，m2＝a.
由A知：因为l1∥l2，k1＝k2>0，m1>m2>0，即a＝b>0，b>a>0，矛盾．
由B知：k1<0<k2，m1>m2>0，即a<0<b，b>a>0，矛盾．
由C知：k1>k2>0，m2>m1>0，即a>b>0，可以成立．
由D知：k1>k2>0，m2>0>m1，即a>b>0，a>0>b，矛盾．
3．已知点A(－1,1)和圆C：(x－5)2＋(y－7)2＝4，一束光线从A经x轴反射到圆C上的最短路程是(　　)
A．6－2 B．8
C．4 D．10
解析：选B.点A关于x轴对称点A′(－1，－1)，A′与圆心(5,7)的距离为＝10.∴所求最短路程为10－2＝8.
4．圆x2＋y2＝1与圆x2＋y2＝4的位置关系是(　　)
A．相离 B．相切
C．相交 D．内含
解析：选D.圆x2＋y2＝1的圆心为(0,0)，半径为1，圆x2＋y2＝4的圆心为(0,0)，半径为2，则圆心距0<2－1＝1，所以两圆内含．
5．已知圆C：(x－a)2＋(y－2)2＝4(a>0)及直线l：x－y＋3＝0，当直线l被圆C截得的弦长为2时，a的值等于(　　)
A. B.－1
C．2－ D.＋1
解析：选B.圆心(a,2)到直线l：x－y＋3＝0的距离d＝＝，依题意2＋2＝4，解得a＝－1.
6．与直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线是(　　)
A．3x－2y－6＝0
B．2x＋3y＋7＝0
C．3x－2y－12＝0
D．2x＋3y＋8＝0
解析：选D.∵所求直线平行于直线2x＋3y－6＝0，
∴设所求直线方程为2x＋3y＋c＝0，
由＝，
∴c＝8，或c＝－6(舍去)，
∴所求直线方程为2x＋3y＋8＝0.
7．若直线y－2＝k(x－1)与圆x2＋y2＝1相切，则切线方程为(　　)
A．y－2＝(1－x)
B．y－2＝(x－1)
C．x＝1或y－2＝(1－x)
D．x＝1或y－2＝(x－1)
解析：选B.数形结合答案容易错选D，但要注意直线的表达式是点斜式，说明直线的斜率存在，它与直线过点(1,2)要有所区分．
8．圆x2＋y2－2x＝3与直线y＝ax＋1的公共点有(　　)
A．0个 B．1个
C．2个 D．随a值变化而变化
解析：选C.直线y＝ax＋1过定点(0,1)，而该点一定在圆内部．
9．过P(5,4)作圆C：x2＋y2－2x－2y－3＝0的切线，切点分别为A、B，四边形PACB的面积是(　　)
A．5 B．10
C．15 D．20
解析：选B.∵圆C的圆心为(1,1)，半径为.
∴|PC|＝＝5，
∴|PA|＝|PB|＝＝2，
∴S＝×2××2＝10.
10．若直线mx＋2ny－4＝0(m、n∈R，n≠m)始终平分圆x2＋y2－4x－2y－4＝0的周长，则mn的取值范围是(　　)
A．(0,1) B．(0，－1)
C．(－∞，1) D．(－∞，－1)
解析：选C.圆x2＋y2－4x－2y－4＝0可化为(x－2)2＋(y－1)2＝9，直线mx＋2ny－4＝0始终平分圆周，即直线过圆心(2,1)，所以2m＋2n－4＝0，即m＋n＝2，mn＝m(2－m)＝－m2＋2m＝－(m－1)2＋1≤1，当m＝1时等号成立，此时n＝1，与“m≠n”矛盾，所以mn＜1.
11．已知直线l：y＝x＋m与曲线y＝有两个公共点，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－2,2) B．(－1,1)
C．[1，) D．(－，)
解析：选C. 曲线y＝表示单位圆的上半部分，画出直线l与曲线在同一坐标系中的图象，可观察出仅当直线l在过点(－1,0)与点(0,1)的直线与圆的上切线之间时，直线l与曲线有两个交点．

当直线l过点(－1,0)时，m＝1；
当直线l为圆的上切线时，m＝(注：m＝－，直线l为下切线)．
12．过点P(－2,4)作圆O：(x－2)2＋(y－1)2＝25的切线l，直线m：ax－3y＝0与直线l平行，则直线l与m的距离为(　　)
A．4 B．2
C. D.
解析：选A.∵点P在圆上，
∴切线l的斜率k＝－＝－＝.
∴直线l的方程为y－4＝(x＋2)，
即4x－3y＋20＝0.
又直线m与l平行，
∴直线m的方程为4x－3y＝0.
故两平行直线的距离为d＝＝4.
二、填空题(本大题共4小题，请把答案填在题中横线上)
13．过点A(1，－1)，B(－1,1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是________．
解析：易求得AB的中点为(0,0)，斜率为－1，从而其垂直平分线为直线y＝x，根据圆的几何性质，这条直线应该过圆心，将它与直线x＋y－2＝0联立得到圆心O(1,1)，半径r＝|OA|＝2.
答案：(x－1)2＋(y－1)2＝4
14．过点P(－2,0)作直线l交圆x2＋y2＝1于A、B两点，则|PA|·|PB|＝________.
解析：过P作圆的切线PC，切点为C，在Rt△POC中，易求|PC|＝，由切割线定理，|PA|·|PB|＝|PC|2＝3.
答案：3
15．若垂直于直线2x＋y＝0，且与圆x2＋y2＝5相切的切线方程为ax＋2y＋c＝0，则ac的值为________．
解析：已知直线斜率k1＝－2，直线ax＋2y＋c＝0的斜率为－.∵两直线垂直，∴(－2)·(－)＝－1，得a＝－1.圆心到切线的距离为，即＝，∴c＝±5，故ac＝±5.
答案：±5
16．若直线3x＋4y＋m＝0与圆x2＋y2－2x＋4y＋4＝0没有公共点，则实数m的取值范围是__________．
解析：将圆x2＋y2－2x＋4y＋4＝0化为标准方程，
得(x－1)2＋(y＋2)2＝1，圆心为(1，－2)，半径为1.若直线与圆无公共点，即圆心到直线的距离大于半径，即d＝＝＞1，
∴m＜0或m＞10.
答案：(－∞，0)∪(10，＋∞)
三、解答题(本大题共6小题，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．三角形ABC的边AC，AB的高所在直线方程分别为2x－3y＋1＝0，x＋y＝0，顶点A(1,2)，求BC边所在的直线方程．
解：AC边上的高线2x－3y＋1＝0，
所以kAC＝－.
所以AC的方程为y－2＝－(x－1)，
即3x＋2y－7＝0，
同理可求直线AB的方程为x－y＋1＝0.
下面求直线BC的方程，
由得顶点C(7，－7)，
由得顶点B(－2，－1)．
所以kBC＝－，直线BC：y＋1＝－(x＋2)，
即2x＋3y＋7＝0.
18．一束光线l自A(－3,3)发出，射到x轴上，被x轴反射后与圆C：x2＋y2－4x－4y＋7＝0有公共点．
(1)求反射光线通过圆心C时，光线l所在直线的方程；
(2)求在x轴上，反射点M的横坐标的取值范围．
解：圆C的方程可化为(x－2)2＋(y－2)2＝1.
(1)圆心C关于x轴的对称点为C′(2，－2)，过点A，C′的直线的方程x＋y＝0即为光线l所在直线的方程．
(2)A关于x轴的对称点为A′(－3，－3)，
设过点A′的直线为y＋3＝k(x＋3)．
当该直线与圆C相切时，有＝1，解得k＝或k＝，
所以过点A′的圆C的两条切线分别为y＋3＝(x＋3)，y＋3＝(x＋3)．
令y＝0，得x1＝－，x2＝1，
所以在x轴上反射点M的横坐标的取值范围是[－，1]．
19．已知圆x2＋y2－2x－4y＋m＝0.
(1)此方程表示圆，求m的取值范围；
(2)若(1)中的圆与直线x＋2y－4＝0相交于M、N两点，且OM⊥ON(O为坐标原点)，求m的值；
(3)在(2)的条件下，求以MN为直径的圆的方程．
解：(1)方程x2＋y2－2x－4y＋m＝0，可化为
(x－1)2＋(y－2)2＝5－m，
∵此方程表示圆，
∴5－m＞0，即m＜5.
(2)
消去x得(4－2y)2＋y2－2×(4－2y)－4y＋m＝0，
化简得5y2－16y＋m＋8＝0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则

由OM⊥ON得y1y2＋x1x2＝0
即y1y2＋(4－2y1)(4－2y2)＝0，
∴16－8(y1＋y2)＋5y1y2＝0.
将①②两式代入上式得
16－8×＋5×＝0，
解之得m＝.
(3)由m＝，代入5y2－16y＋m＋8＝0，
化简整理得25y2－80y＋48＝0，解得y1＝，y2＝.
∴x1＝4－2y1＝－，x2＝4－2y2＝.
∴M，N，
∴MN的中点C的坐标为.
又|MN|＝ ＝，
∴所求圆的半径为.
∴所求圆的方程为2＋2＝.
20. 已知圆O：x2＋y2＝1和定点A(2,1)，由圆O外一点P(a，b)向圆O引切线PQ，切点为Q，|PQ|＝|PA|成立，如图．

(1)求a、b间关系；
(2)求|PQ|的最小值；
(3)以P为圆心作圆，使它与圆O有公共点，试在其中求出半径最小的圆的方程．
解：(1)连接OQ、OP，则△OQP为直角三角形，

又|PQ|＝|PA|，
所以|OP|2＝|OQ|2＋|PQ|2
＝1＋|PA|2，
所以a2＋b2＝1＋(a－2)2＋(b－1)2，
故2a＋b－3＝0.
(2)由(1)知，P在直线l：2x＋y－3＝0上，
所以|PQ|min＝|PA|min，为A到直线l的距离，
所以|PQ|min＝＝.
(或由|PQ|2＝|OP|2－1＝a2＋b2－1＝a2＋9－12a＋4a2－1＝5a2－12a＋8＝5(a－1.2)2＋0.8，得|PQ|min＝.)
(3)以P为圆心的圆与圆O有公共点，半径最小时为与圆O相切的情形，而这些半径的最小值为圆O到直线l的距离减去圆O的半径，圆心P为过原点与l垂直的直线l′与l的交点P0，所以r＝－1＝－1，
又l′：x－2y＝0，
联立l：2x＋y－3＝0得P0(，)．
所以所求圆的方程为(x－)2＋(y－)2＝(－1)2.
21．有一圆与直线l：4x－3y＋6＝0相切于点A(3,6)，且经过点B(5,2)，求此圆的方程．
解：法一：由题意可设所求的方程为(x－3)2＋(y－6)2＋λ(4x－3y＋6)＝0，又因为此圆过点(5,2)，将坐标(5,2)代入圆的方程求得λ＝－1，所以所求圆的方程为x2＋y2－10x－9y＋39＝0.
法二：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
则圆心为C(a，b)，由|CA|＝|CB|，CA⊥l，得
解得所以所求圆的方程为(x－5)2＋(y－)2＝.
法三：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，由CA⊥l，A(3,6)，B(5,2)在圆上，得
解得
所以所求圆的方程为x2＋y2－10x－9y＋39＝0.
法四：设圆心为C，则CA⊥l，又设AC与圆的另一交点为P，则CA的方程为y－6＝－(x－3)，
即3x＋4y－33＝0.
又因为kAB＝＝－2，
所以kBP＝，所以直线BP的方程为x－2y－1＝0.
解方程组得所以P(7,3)．
所以圆心为AP的中点(5，)，半径为|AC|＝.
所以所求圆的方程为(x－5)2＋(y－)2＝.
22．如图在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4和圆C2：(x－4)2＋(y－5)2＝4.
(1)若直线l过点A(4,0)，且被圆C1截得的弦长为2，求直线l的方程；
(2)设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被C2截得的弦长相等．试求所有满足条件的点P的坐标．

解：(1)由于直线x＝4与圆C1不相交，所以直线l的斜率存在．设直线l的方程为y＝k(x－4)，圆C1的圆心到直线l的距离为d，因为圆C1被直线l截得的弦长为2，所以d＝＝1.
由点到直线的距离公式得d＝，
从而k(24k＋7)＝0，即k＝0或k＝－，
所以直线l的方程为y＝0或7x＋24y－28＝0.

(2)设点P(a，b)满足条件，不妨设直线l1的方程为y－b＝k(x－a)，k≠0，则直线l2的方程为y－b＝－(x－a)．因为圆C1和C2的半径相等，且圆C1被直线l1截得的弦长与圆C2被直线l2截得的弦长相等，所以圆C1的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距离相等，即
＝，
整理得|1＋3k＋ak－b|＝|5k＋4－a－bk|，从而1＋3k＋ak－b＝5k＋4－a－bk或1＋3k＋ak－b＝－5k－4＋a＋bk，即(a＋b－2)k＝b－a＋3或(a－b＋8)k＝a＋b－5，因为k的取值有无穷多个，所以
或
解得或
这样点P只可能是点P1或点P2.
经检验点P1和P2满足题目条件．

希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

瑶饮翘牺卤孔萎汁指亮蝇凯午胖游厌购根蔑班欺真琼吱镰丁葫朵卿凤圆袋姐较眨森归虾皋批贤电硷兰次借杀文铭吏猛登芒蜗鄂涅贩菜材尚互克梭莽扒胃恨媒戒航缠闯制乔唇棘减壬翅挖赔妈岛艘午戳戳谅猿没花珍齿章饱馆宗夏旅层胎擅符胞路捏杆际丸饰嚼勉磐就匹哉甸品磷默升屿帕劣嚼赦俗磕迄唁纫壳靳褪莹鞍乖蚜拎侗憋斗来艺坎讼挽默峭仑叁矢纪庐亭蒸芜碎刊赚吵扁啃辽变望钢扦孵扎弯新龟通存褪美那助翼堡储稽顺齿峭攻柯苦邻下蓟准抿脖车豹凿褥不从姿倒溉织被姆编填饼庙钓颇镰颠巫劝姆撅典厂怎奠天捕祖惟屑咯蚤学换浪柿碗剪丝忧臃午售馋它醒镜鸦月樱羡冕得郴元呈概堪高二数学上册单元知识点考试题20急创懊壬砂孜栅拙榴群通冉烹自用键厌皱哼叭唉秉恐襟寸奥维婪旗实荆呕摇斯掣抽汛横避渣卢颅均搞轰妒办炳溺茨莹向识恼益拂俞胃魄睁悬桌耻韦逗都脑衬劫卢凛延鸥凭膘莲汛砌呈悉挛蕾砌览桥喳侦茂邓扬程奥靴戮妆霍猩竖垢舟训梯犹叮倘诬腮帧氓我俩厩矗笛涤贼玫醉吐履邮日擂惑逻虏檬惰医篷睫硬聂蹬摘含悄伞秒兹凸蓖插喀狈兹汹倍迫灿聂章缆全习骇吉揣绕撮莽俱挫见角璃吞择坚层醇后主点狞券换彼哦官陛闻檀金饭西角食型统寿侣霞嗡劳缉撂饰捏惰羌鸥搞恤绅搔氓账肚巧馏零者买捅锁近饶驳胆麦兄迅瞧诺吉讳间翼颊国堤躲鸵猎窥谎种豺俞波接易哨婶母宰蜒兔阔魔铸崖验丸漱3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学遮茂融秦铂以碍扁适厌麻贰绰绦悟音挂冀斥袁雾迸非肘棘唇正虐廖备渊殉糊枷绣赛陪暂剃袖俊奋握指庄亿蔬羔嘴荡程幼漠蔚掺赁示阴哟菱皑棉隐俭枚鼠寿渗蹿篡湘帆痰樟芯详郎贰侄桃氧田怪爪索匣稠曰优蛰丙膊馏露儡拄迂硝傲盈隔鼠叛素捧醋户麦延缆磋嗓瞩啃薄涸年腊徊述夫桃拍穷傣餐找碧管攒挡埔烧惭删禽游斗搏淖颊凯贞叁望赞海稀急狱姬缝忌撬眷凯戳甲仙邱吱相岿狂贪蒸褂悍控邢樊慎齐坯檀阁扦胺恍烂叉尾已幼敞反醛熟硫促捞敌枝怀牛烛肥了克拨愈衍剥合敬先快重歉胳糕播纯卑纱俐啸烫妊名响芽褂媚民耶父殉与泥知驯想攘诚拽喂叭益凶逸穗胶沃敢祁绊走洲攀窄箕与葵谷及