高一数学下册暑假知识点梳理检测题21.doc

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第四十讲　椭圆
一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)
1．(2010·天门)设P是椭圆＋＝1上一动点，F1、F2是椭圆的两个焦点，则cos∠F1PF2的最小值是(　　)
A.　　　　　　　　　 B.
C．－ D．－
解析：设|PF1|＝m，|PF2|＝n，由题意m＋n＝6，
c＝，则cos∠F1PF2＝＝＝－1≥－1＝－.
答案：C
2．(2010·新创题)定义：离心率e＝的椭圆为“黄金椭圆”，已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的一个焦点为F(c,0)(c>0)，P为椭圆E上的任意一点，若a，b，c不是等比数列，则(　　)
A．E是“黄金椭圆”
B. E一定不是“黄金椭圆”
C. E不一定是“黄金椭圆”
D. 可能不是“黄金椭圆”
解析：假设E为黄金椭圆，则e＝＝，
即c＝a，
∴b2＝a2－c2＝a2－2＝a2＝ac.
即a，b，c成等比数列，与已知矛盾，故椭圆E一定不是“黄金椭圆”．
答案：B
3．(2010·长沙模拟)已知F1、F2分别为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，若△ABF2为钝角三角形，则椭圆C的离心率e的取值范围为(　　)

A．(0，－1)　　　　　　　 B．(0，－1)
C．(－1,1) D．(－1,1)
解析：由△ABF2为钝角三角形，得AF1>F1F2，∴>2c，化简得c2＋2ac－a2<0，∴e2＋2e－1<0，又0<e<1，解得0<e<－1，选A.
答案：A
4．B1、B2是椭圆短轴的两端点，O为椭圆中心，过左焦点F1作长轴的垂线交椭圆于P，若|F1B2|是|OF1|和|B1B2|的等比中项，则的值是(　　)
A. B.
C. D.
解析：设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，
令x＝－c得y2＝，∴|PF1|＝，
∴＝＝，
又由|F1B2|2＝|OF1|·|B1B2|得a2＝2bc，
∴a4＝4b2(a2－b2)，
∴(a2－2b2)2＝0，∴a2＝2b2，∴＝.
答案：B
5．椭圆M：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，P为椭圆M上任一点，且最大值的取值范围是，其中c＝，则椭圆M的离心率e的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
解析：设与的夹角为θ，由于
cosθ≤，的夹角为0°时取“＝”．
所以的最大值为(a＋c)(a－c)，
因此c2≤a2－c2≤3c2，所以e2≤1－e2≤3e2.又e∈(0,1)，
所以e∈.故选B.
答案：B
6．设椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为e＝，右焦点为F(c,0)，方程ax2＋bx－c＝0的两个实根分别为x1和x2，则点P(x1，x2)(　　)
A．必在圆x2＋y2＝2内
B．必在圆x2＋y2＝2上
C．必在圆x2＋y2＝2外
D．以上三种情形都有可能
解析：∵x1＋x2＝－，x1·x2＝－，
∴x＋x＝(x1＋x2)2－2x1·x2＝＋＝，
∵e＝＝，∴c＝a，
∴b2＝a2－c2＝a2－2＝a2，
∴x＋x＝＝<2.
∴P(x1，x2)在圆x2＋y2＝2内．故应选A.
答案：A
二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．)
7．F1、F2是椭圆＋＝1的左、右两焦点，P为椭圆的一个顶点，若△PF1F2是等边三角形，则a2＝________.
解析：由题意，因为△PF1F2是等边三角形，故2c＝a，又b＝3，所以a2＝12.
答案：12
8．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)、F2(c,0)，若椭圆上存在点P使＝，则该椭圆的离心率的取值范围为________．
解析：e＝＝＝＝＝－1.

∵|PF2|<a＋c，
∴e＝－1>－1，
即e>－1，∴e2＋2e－1>0.
又∵0<e<1，∴－1<e<1.
答案：(－1,1)
9．椭圆具有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、B是它的焦点，长轴长为2a，焦距为2c，静放在点A的小球(小球的半径忽略不计)从点A沿直线出发，经椭圆壁反射后第一次回到点A时，小球经过的路程是________．
解析：设靠近A的长轴端点为M，另一长轴的端点为N.若小球沿AM方向运动，则路程应为2(a－c)；若小球沿AN方向运动，则路程为2(a＋c)；若小球不沿AM与AN方向运动，则路程应为4a.
答案：4a或2(a－c)或2(a＋c)
10．(2010·皖南八校)已知A、B为椭圆C：＋＝1的长轴的两个端点，P是椭圆C上的动点，且∠APB的最大值是，则实数m的值是________．
解析：由椭圆知识知，当点P位于短轴的端点时∠APB取得最大值，根据题意则有tan＝⇒m＝.
答案：
三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．)
11．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值．
解：(1)设椭圆的半焦距为c，依题意
∴b＝1.∴所求椭圆方程为＋y2＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
①当AB⊥x轴时，|AB|＝，
②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝kx＋m.由已知＝，得m2＝(k2＋1)，把y＝kx＋m代入椭圆方程，整理得
(3k2＋1)x2＋6kmx＋3m2－3＝0
∴x1＋x2＝，x1x2＝.
∴|AB|2＝(1＋k2)(x2－x1)2
＝(1＋k2)
＝＝
＝3＋＝3＋(k≠0)
≤3＋＝4.
当且仅当9k2＝，即k＝±时等号成立|AB|＝2.
当k＝0时，|AB|＝，
综上所述，|AB|max＝2.
∴当|AB|最大时，△AOB面积取最大值，
S＝×|AB|max×＝.
点评：一般地，在涉及直线与曲线交点的问题时，先设出交点的坐标，再由方程组转化的一元二次方程中，利用根与系数的关系转化为待求的系数方程，像这种设交点坐标但不具体求出的方法称为“设而不求”．

12．如图，已知A、B、C是长轴为4的椭圆上三点，点A是长轴的一个顶点，BC过椭圆中心O，且

(1)建立适当的坐标系，求椭圆方程；
(2)如果椭圆上两点P、Q使直线CP、CQ与x轴围成底边在x轴上的等腰三角形，是否总存在实数λ使？请给出证明．
解：(1)以O为原点，OA所在的直线为x轴建立如图所示的直角坐标系，则A(2,0)，椭圆方程可设为＋＝1(0<b<2)．

而O为椭圆中心，由对称性知|OC|＝|OB|.
又，所以AC⊥BC.
又，所以|OC|＝|AC|，
所以△AOC为等腰直角三角形，所以点C的坐标为(1,1)．
将(1,1)代入椭圆方程得b2＝，
则椭圆方程为＋＝1.
(2)由直线CP、CQ与x轴围成底边在x轴上的等腰三角形，设直线CP的斜率为k，则直线CQ的斜率为－k，直线CP的方程为y－1＝k(x－1)，直线CQ的方程为y－1＝－k(x－1)．由椭圆方程与直线CP的方程联立，消去y得
(1＋3k2)x2－6k(k－1)x＋3k2－6k－1＝0.①
因为C(1,1)在椭圆上，所以x＝1是方程①的一个根，于是
xP＝，同理xQ＝.
这样，kPQ＝＝.
又B(－1，－1)，所以kAB＝，
即kAB＝kPQ.所以PQ∥AB，即存在实数λ使.
评析：利用斜率互为相反数关系，采用整体替换，简化了解题过程．
13．设F1、F2分别为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右两个焦点．
(1)若椭圆C上的点A(1，)到F1、F2两点的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；
(2)设点K是(1)中所得椭圆上的动点，求线段F1K的中点的轨迹方程；
(3)若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时．
求证：kPM·kPN是与点P位置无关的定值．
解：(1)椭圆C的焦点在x轴上，由椭圆上的点A到F1、F2两点的距离之和是4，得2a＝4，即a＝2.
又点A在椭圆上，
因此＋＝1得b2＝3，
于是c2＝1.
所以椭圆C的方程为＋＝1，
焦点F1(－1,0)，F2(1,0)．
(2)设椭圆C上的动点为K(x1，y1)，线段F1K的中点Q(x，y)满足：
x＝，y＝，
即x1＝2x＋1，y1＝2y.因此＋＝1.
即2＋＝1为所求的轨迹方程．
(3)设点M(m，n)是椭圆＋＝1①
上的任一点，N(－m，－n)是M关于原点的中心对称点，则＋＝1②
又设P(x，y)是椭圆上任一点，且kPM·kPN存在．
则kPM＝，kPN＝，
∴kPM·kPN＝·＝.
①－②得＋＝0，＝－，
∴kPM·kPN＝－.
故kPM·kPN与P的取值无关．
、

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