吉林省白山市2016届高三数学上册期中试题.doc

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2015-2016学年吉林省白山市长白山一中高三（上）期中数学试卷（文科）

一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．已知点B（1，0），P是函数y=ex图象上不同于A（0，1）的一点．有如下结论：
①存在点P使得△ABP是等腰三角形；
②存在点P使得△ABP是锐角三角形；
③存在点P使得△ABP是直角三角形．
其中，正确的结论的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3

2．下列函数中，为奇函数的是( )
A． B．f（x）=lnx C．f（x）=2x D．f（x）=sinx

3．已知向量=（1，﹣2），=（m，﹣1），且∥，则实数m的值为( )
A．﹣2 B． C． D．2

4．若函数f（x）=sinx﹣kx存在极值，则实数k的取值范围是( )
A．（﹣1，1） B．[0，1） C．（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）

5．已知数列{an}的前n项和为Sn，且，则Sn取最小值时，n的值是( )
A．3 B．4 C．5 D．6

6．若函数在上单调递增，则实数a的取值范围( )
A．（0，1] B．（0，1） C．[1，+∞） D．（0，+∞）

7．“”是“”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

8．已知集合A={﹣1，0，1，2}，B={x|x≥1}，则A∩B=( )
A．{2} B．{1，2} C．{﹣1，2} D．{﹣1，1，2}

二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9．函数的定义域是__________．

10．已知10a=5，b=lg2，则a+b=__________．

11．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3=4，S3=3，则公差d=__________．

12．函数的图象如图所示，则ω=__________，φ=__________．

13．向量，在正方形网格中的位置如图所示，设向量=﹣λ，若⊥，则实数λ=__________．

14．定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足：①当x∈[1，3）时，；②f（3x）=3f（x）．
（i）f（6）=__________；
（ii）若函数F（x）=f（x）﹣a的零点从小到大依次记为x1，x2，…，xn，…，则当a∈（1，3）时，x1+x2+…+x2n﹣1+x2n=__________．

三．解答题：本大题共6小题，共80分.应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
15．（14分）已知函数．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在区间上的取值范围．

16．（13分）在△ABC中，A=60°，3b=2c，S△ABC=．
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）求sinB的值．

17．（13分）已知等比数列{an}满足a3﹣a1=3，a1+a2=3．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若bn=an2+1，求数列{bn}的前n项和公式．

18．（13分）如图，已知点A（11，0），函数的图象上的动点P在x轴上的射影为H，且点H在点A的左侧．设|PH|=t，△APH的面积为f（t）．
（Ⅰ）求函数f（t）的解析式及t的取值范围；
（Ⅱ）求函数f（t）的最大值．

19．（14分）已知函数f（x）=x+alnx
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若函数f（x）没有零点，求a的取值范围．

20．（13分）已知数列{an}的首项a1=a，其中a∈N*，，集合A={x|x=an，n=1，2，3，…}．
（I）若a=4，写出集合A中的所有的元素；
（II）若a≤2014，且数列{an}中恰好存在连续的7项构成等比数列，求a的所有可能取值构成的集合；
（III）求证：1∈A．

2015-2016学年吉林省白山市长白山一中高三（上）期中数学试卷（文科）

一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．已知点B（1，0），P是函数y=ex图象上不同于A（0，1）的一点．有如下结论：
①存在点P使得△ABP是等腰三角形；
②存在点P使得△ABP是锐角三角形；
③存在点P使得△ABP是直角三角形．
其中，正确的结论的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】命题的真假判断与应用．
【专题】探究型．
【分析】利用导数法，可判断出线段AB与函数y=ex图象在（0，1）点的切线垂直，进而可判断出三个结论的正误，得到答案．
【解答】解：∵函数y=ex的导函数为y′=ex，
∴y′|x=0=1，
即线段AB与函数y=ex图象在（0，1）点的切线垂直
故△ABP一定是钝角三角形，
当PA=AB=时，得△ABP是等腰三角形；
故①正确，②③错误
故正确的结论有1个
故选：B
【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了指数函数的导数及三角形形状判断，难度不大，属于基础题．

2．下列函数中，为奇函数的是( )
A． B．f（x）=lnx C．f（x）=2x D．f（x）=sinx
【考点】函数奇偶性的判断．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】利用函数奇偶性的定义进行判断即可．
【解答】解：A．函数的定义域为{x|x≥0}，定义域不关于原点对称，∴A为非奇非偶函数．
B．函数f（x）的定义域为{x|x＞0}，定义域不关于原点对称，∴B为非奇非偶函数．
C．函数f（x）的定义域为R，定义域关于原点对称，∵，∴C不是奇函数．
D．函数f（x）的定义域为R，定义域关于原点对称，∵f（﹣x）=sin（﹣x）=﹣sinx=﹣f（x），∴D是奇函数．
故选D．
【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，利用函数奇偶性的定义是判断的主要依据，注意要先判断函数的定义域是否关于原点对称．

3．已知向量=（1，﹣2），=（m，﹣1），且∥，则实数m的值为( )
A．﹣2 B． C． D．2
【考点】平行向量与共线向量．
【专题】平面向量及应用．
【分析】直接由向量平行的坐标表示列式求解m的值．
【解答】解：由向量=（1，﹣2），=（m，﹣1），且∥，
∴1×（﹣1）﹣（﹣2）×m=0，解得：m=．
故选：C．
【点评】本题考查了平行向量与共线向量，考查了向量平行的坐标表示，是基础的计算题．

4．若函数f（x）=sinx﹣kx存在极值，则实数k的取值范围是( )
A．（﹣1，1） B．[0，1） C．（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）
【考点】利用导数研究函数的极值．
【专题】导数的综合应用．
【分析】求f（x）的导函数，利用导数为0时左右符号不同的规律，求出k的取值范围．
【解答】解：∵函数f（x）=sinx﹣kx，∴f′（x）=cosx﹣k，
当k≥1时，f′（x）≤0，∴f（x）是定义域上的减函数，无极值；
当k≤﹣1时，f′（x）≥0，∴f（x）是定义域上的增函数，无极值；
当﹣1＜k＜1时，令f′（x）=0，得cosx=k，从而确定x的值，使f（x）在定义域内存在极值；
∴实数k的取值范围是（﹣1，1）．
故选：A．
【点评】本题考查了导数知识的运用与函数的极值问题，也考查了一定的计算能力，是中档题．

5．已知数列{an}的前n项和为Sn，且，则Sn取最小值时，n的值是( )
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】数列递推式．
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】由递推式得到给出的数列是公差为3的递增等差数列，利用通项公式求出数列从第五项开始为正值，则Sn取最小值时的n的值可求．
【解答】解：在数列{an}中，由an+1=an+3，得an+1﹣an=3（n∈N*），
∴数列{an}是公差为3的等差数列．
又a1=﹣10，∴数列{an}是公差为3的递增等差数列．
由an=a1+（n﹣1）d=﹣10+3（n﹣1）=3n﹣13≥0，解得．
∵n∈N*，∴数列{an}中从第五项开始为正值．
∴当n=4时，Sn取最小值．
故选：B．
【点评】本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，考查了等差数列的通项公式及数列的和，是中档题．

6．若函数在上单调递增，则实数a的取值范围( )
A．（0，1] B．（0，1） C．[1，+∞） D．（0，+∞）
【考点】函数单调性的性质．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】根据分段函数的单调性确定a的取值范围．
【解答】解：∵当时，y=tanx，单调递增，
∴要使f（x）在（﹣）上单调递增，如图的示意图
则，即，
解得0＜a≤1．
故实数a的取值范围是（0，1]．
故选A．

【点评】本题主要考查分段函数的单调性的应用，要保证分段函数满足单调递增，同时两个函数在端点处的函数值也存在一定的大小关系，利用数形结合的思想去解决．

7．“”是“”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【专题】规律型．
【分析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断．
【解答】解：当时，成立．
当α=时，满足，但不成立．
故“”是“”的充分不必要条件．
故选A．
【点评】本题主要考查才充分条件和必要条件的应用，比较基础．

8．已知集合A={﹣1，0，1，2}，B={x|x≥1}，则A∩B=( )
A．{2} B．{1，2} C．{﹣1，2} D．{﹣1，1，2}
【考点】交集及其运算．
【专题】计算题；规律型．
【分析】集合A中元素个数较少，是有限集合，B是无限集合，可以利用交集的定义逐一确定A∩B中元素，得出结果．
【解答】解：根据交集的定义A∩B={x|x∈A，且x∈B}，
∵A={﹣1，0，1，2}，B={x|x≥1}，
∴A∩B={1，2}．
故选：B．
【点评】本题考查了集合的交集运算，属于基础题．

二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9．函数的定义域是（﹣∞，﹣1]∪[0，+∞）．
【考点】函数的定义域及其求法．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】根据分式函数的定义域求法求定义域即可．
【解答】解：要使函数有意义，则x2+x≥0，解得x≥0或x≤﹣1．
即函数的定义域为：（﹣∞，﹣1]∪[0，+∞）．
故答案为：（﹣∞，﹣1]∪[0，+∞）．
【点评】本题主要考查函数定义域的求法，要求熟练掌握常见函数的定义域的求法．

10．已知10a=5，b=lg2，则a+b=1．
【考点】对数的运算性质；指数式与对数式的互化．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】由10a=5，得到a=lg5，然后利用对数的运算法则进行求值．
【解答】解：∵10a=5，∴a=lg5，
∴a+b=lg5+lg2=lg10=1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查指数式和对数式的互化，对数的运算法则，比较基础．

11．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3=4，S3=3，则公差d=3．
【考点】等差数列的前n项和．
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】由等差数列的性质可得S3=3a2=3，解得a2的值，由公差的定义可得．
【解答】解：由等差数列的性质可得S3===3，
解得a2=1，故公差d=a3﹣a2=4﹣1=3
故答案为：3
【点评】本题考查等差数列的前n项和公式和公差的定义，属基础题．

12．函数的图象如图所示，则ω=，φ=．

【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【专题】三角函数的图像与性质．
【分析】由图象可得==2﹣0.5，可得ω，把点（2，﹣2）代入解析式可得φ值
【解答】解：由图象可得==2﹣0.5，解得ω=，
故，
把点（2，﹣2）代入可得﹣2=，
解得+φ=2kπ﹣，k∈Z，即φ=2kπ﹣，
又，故当k=1时，φ=
故答案为：；
【点评】本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，属中档题．

13．向量，在正方形网格中的位置如图所示，设向量=﹣λ，若⊥，则实数λ=．

【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】计算题；平面向量及应用．
【分析】由向量垂直的条件得到（﹣λ）•=0，求出向量AB，AC的坐标和模，再由数量积的坐标公式，即可求出实数λ的值．
【解答】解：∵向量=﹣λ，⊥，
∴=0，即（﹣λ）•=0，
∴=λ
∵，，
∴=6，||=2，
∴λ=．
故答案为：．
【点评】本题考查向量的数量积的坐标表示、向量垂直的条件、向量的模，考查基本的运算能力，是一道基础题．

14．定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足：①当x∈[1，3）时，；②f（3x）=3f（x）．
（i）f（6）=3；
（ii）若函数F（x）=f（x）﹣a的零点从小到大依次记为x1，x2，…，xn，…，则当a∈（1，3）时，x1+x2+…+x2n﹣1+x2n=6（3n﹣1）．
【考点】数列的求和；函数的值；函数的零点．
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】（i）由于f（3x）=3f（x），可得f（6）=3f（2），又当x=2时，f（2）=2﹣1=1，即可得到f（6）．
（ii）如图所示，由题意当x∈[0，1）时，不必考虑．利用已知可得：当x∈[3，6]时，由，可得，f（x）∈[0，3]；同理，当x∈（6，9）时，f（x）∈[0，3]；此时f（x）∈[0，3]．分别作出y=f（x），y=a，则F（x）=f（x）﹣a在区间（3，6）和（6，9）上各有一个零点，分别为x1，x2，且满足x1+x2=2×6，依此类推：x3+x4=2×18，…，x2n﹣1+x2n=2×2×3n．利用等比数列的前n项和公式即可得出．
【解答】解：当1≤x≤2时，0≤f（x）≤1；当2＜x＜3时，0＜f（x）＜1，可得当x∈[1，3）时，f（x）∈[0，1]．
（i）∵f（3x）=3f（x），∴f（6）=3f（2），又当x=2时，f（2）=2﹣1=1，
∴f（6）=3×1=3．
（ii）当时，则1≤3x＜3，由可知：．
同理，当时，0≤f（x）＜1，因此不必要考虑．
当x∈[3，6]时，由，可得，f（x）∈[0，3]；
同理，当x∈（6，9）时，由，可得，f（x）∈[0，3]；
此时f（x）∈[0，3]．作出直线y=a，a∈（1，3）．
则F（x）=f（x）﹣a在区间（3，6）和（6，9）上各有一个零点，分别为x1，x2，且满足x1+x2=2×6，
依此类推：x3+x4=2×18，…，x2n﹣1+x2n=2×2×3n．
∴当a∈（1，3）时，x1+x2+…+x2n﹣1+x2n=4×（3+32+…+3n）==6×（3n﹣1）．

【点评】本题考查了函数的图象与性质、区间转换、对称性、等比数列的前n项和公式等基础知识与基本技能，属于难题．

三．解答题：本大题共6小题，共80分.应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
15．（14分）已知函数．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在区间上的取值范围．
【考点】三角函数的周期性及其求法；两角和与差的正弦函数；二倍角的余弦；正弦函数的定义域和值域．
【专题】三角函数的图像与性质．
【分析】（I）函数解析式后两项利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式即可求出f（x）的最小正周期；
（II）根据x的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的图象与性质即可求出f（x）的取值范围．
【解答】解：（I）f（x）=cos2x+cos（﹣2x）=cos2x+sin2x=2sin（2x+），
∵ω=2，∴f（x）最小正周期为T=π；
（II）∵﹣≤x≤，∴﹣≤2x+≤，
∴﹣≤sin（2x+）≤1，即﹣≤2sin（2x+）≤2，
则f（x）取值范围为（﹣，2]．
【点评】此题考查了三角函数的周期性及其求法，两角和与差的正弦函数公式，二倍角的余弦函数公式，以及正弦函数的图象与性质，熟练掌握公式是解本题的关键．

16．（13分）在△ABC中，A=60°，3b=2c，S△ABC=．
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）求sinB的值．
【考点】余弦定理的应用．
【专题】计算题；解三角形．
【分析】（Ⅰ）由A=60°和，利用面积公式，可得bc=6，结合3b=2c求b的值；
（Ⅱ）由余弦定理可得a，再利用正弦定理可求sinB的值．
【解答】解：（Ⅰ）由A=60°和可得，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
所以bc=6，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
又3b=2c，
所以b=2，c=3．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（Ⅱ）因为b=2，c=3，A=60°，
由余弦定理a2=c2+b2﹣2bccosA可得a=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
由正弦定理可得，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
所以sinB=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）
【点评】本题考查余弦定理、正弦定理，考查面积公式，考查学生的计算能力，属于中档题．

17．（13分）已知等比数列{an}满足a3﹣a1=3，a1+a2=3．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若bn=an2+1，求数列{bn}的前n项和公式．
【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】（I）设等比数列{an}的公比为q，由a3﹣a1=3，a1+a2=3．可得，即可解得；
（II）由（ I）可得，再利用等比数列的前n项和公式即可得出．
【解答】解：（ I）设等比数列{an}的公比为q，
由a3﹣a1=3得，
由a1+a2=3得a1（1+q）=3，（*）（q≠﹣1），
两式作比可得q﹣1=1，∴q=2，
把q=2代入解得a1=1，
∴．
（ II）由（ I）可得，
可知数列{4n﹣1}是公比为4的等比数列，
由等比数列求和公式可得．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式及前n项和公式，属于基础题．

18．（13分）如图，已知点A（11，0），函数的图象上的动点P在x轴上的射影为H，且点H在点A的左侧．设|PH|=t，△APH的面积为f（t）．
（Ⅰ）求函数f（t）的解析式及t的取值范围；
（Ⅱ）求函数f（t）的最大值．

【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．
【专题】计算题；导数的概念及应用．
【分析】（ I）S△APH=PH×AH．其中AH=OA﹣OH，OH等于P的横坐标，P的纵坐标即为|PH|=t，利用函数解析式可求OH．得出面积的表达式．
（ II）由（ I），面积为．利用导数工具研究单调性，求出最值．
【解答】解：（ I）由已知可得，所以点P的横坐标为t2﹣1，
因为点H在点A的左侧，所以t2﹣1＜11，即．
由已知t＞0，所以，
所以AH=11﹣（t2﹣1）=12﹣t2，
所以△APH的面积为．
（ II），
由f'（t）=0，得t=﹣2（舍），或t=2．
函数f（t）与f'（t）在定义域上的情况如右图：
所以当t=2时，函数f（t）取得最大值8．

【点评】本题考查了函数的综合应用，其中有利用导数来求函数在某一区间上的最值问题，属于中档题．

19．（14分）已知函数f（x）=x+alnx
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若函数f（x）没有零点，求a的取值范围．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点；利用导数研究函数的单调性．
【专题】导数的综合应用．
【分析】（Ⅰ）把a=1代入函数解析式，求出f（1）的值，求出f′（1）的值，然后直接代入直线方程的点斜式得切线方程；
（Ⅱ）求出原函数的导函数，当a≥0时，在定义域内恒有f'（x）＞0，∴f（x）的单调增区间是（0，+∞）；当a＜0时，由导函数的零点对定义域分段，判出在各区间段内导函数的符号，由导函数的符号判断原函数的单调性；
（Ⅲ）利用（Ⅱ）求出的函数的单调区间，分a≥0和a＜0讨论，当a＜0时求出原函数的最小值，由最小值大于0求解实数a的取值范围．
【解答】解：（I）当a=1时，f（x）=x+lnx，，
∴f（1）=1，f'（1）=2，
∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为2x﹣y﹣1=0；
（II）函数f（x）=x+alnx，．
当a≥0时，在x∈（0，+∞）时f'（x）＞0，∴f（x）的单调增区间是（0，+∞）；
当a＜0时，函数f（x）与f'（x）在定义域上的情况如下：

∴f（x）的单调减区间为（0，﹣a），单调增区间为（﹣a，+∞）．
∴当a≥0时f（x）的单调增区间是（0，+∞）；
当a＜0时，f（x）的单调减区间为（0，﹣a），单调增区间为（﹣a，+∞）．
（III）由（II）可知，
①当a＞0时，（0，+∞）是函数f（x）的单调增区间，
且有，f（1）=1＞0，
此时函数有零点，不符合题意；
②当a=0时，函数f（x）=x，在定义域（0，+∞）上没零点；
③当a＜0时，f（﹣a）是函数f（x）的极小值，也是函数f（x）的最小值，
∴当f（﹣a）=a（ln（﹣a）﹣1）＞0，即a＞﹣e时，函数f（x）没有零点．
综上所述，当﹣e＜a≤0时，f（x）没有零点．
【点评】本题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用导数研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的最值．考查了数学转化思想方法．该类问题在高考试卷中常以压轴题的形式出现．

20．（13分）已知数列{an}的首项a1=a，其中a∈N*，，集合A={x|x=an，n=1，2，3，…}．
（I）若a=4，写出集合A中的所有的元素；
（II）若a≤2014，且数列{an}中恰好存在连续的7项构成等比数列，求a的所有可能取值构成的集合；
（III）求证：1∈A．
【考点】数列递推式；等比关系的确定．
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】（Ⅰ）由a1=a=4，利用递推关系依次求出a2，a3，a5，a6，a7，发现a6以后的值与前6项中的值重复出现，由此可知集合A中共有6个元素；
（Ⅱ）设出数列中的一项为ak，若ak是3的倍数，则有；若ak是被3除余1，由递推关系得到；若ak被3除余2，由递推关系得到．说明构成的连续7项成等比数列的公比为，结合数列递推式得到ak符合的形式，再保证满足ak≤2014即能求出答案；
（Ⅲ）分ak被3除余1，ak被3除余2，ak被3除余0三种情况讨论，借助于给出的递推式得到数列{an}中必存在某一项am≤3，然后分别由am=1，am=2，am=3进行推证，最终证得1∈A．
【解答】（I）解：∵a1=a=4，∴a2=a1+1=5，a3=a2+1=6，
，a5=a4+1=3，，
a7=a6+1=2，…
∴集合A的所有元素为：4，5，6，2，3，1；
（II）解：不妨设数列中的一项为ak，
如果ak是3的倍数，则；
如果ak是被3除余1，则由递推关系可得ak+2=ak+2，∴ak+2是3的倍数，∴；
如果ak被3除余2，则由递推关系可得ak+1=ak+1，∴ak+1是3的倍数，∴．
∴该7项等比数列的公比为．
又∵，∴这7项中前6项一定都是3的倍数，而第7项一定不是3的倍数（否则构成等比数列的连续项数会多于7项），
设第7项为p，则p是被3除余1或余2的正整数，则可推得．
∵36＜2014＜37，∴或．
由递推关系式可知，在该数列的前k﹣1项中，满足小于2014的各项只有：ak﹣1=36﹣1，或2×36﹣1，
ak﹣2=36﹣2，或2×36﹣2，
∴首项a的所有可能取值的集合为：{36，2×36，36﹣1，2×36﹣1，36﹣2，2×36﹣2}．
（III）证明：若ak被3除余1，则由已知可得ak+1=ak+1，；
若ak被3除余2，则由已知可得ak+1=ak+1，，；
若ak被3除余0，则由已知可得，；
∴，
∴
∴对于数列{an}中的任意一项ak，“若ak＞3，则ak＞ak+3”．
∵，∴ak﹣ak+3≥1．
∴数列{an}中必存在某一项am≤3（否则会与上述结论矛盾）
若am=1，结论得证．
若am=3，则am+1=1；若am=2，则am+1=3，am+2=1，
∴1∈A．
【点评】本题考查了数列的递推式，考查由递推公式推导数列的通项公式，其中渗透了周期数列这一知识点，考查了学生的抽象思维能力，属中高档题．

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

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